2025屆東北三省高三上學期12月聯(lián)考強化數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1東北三省2025屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學強化卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C2.設(shè)集合，則下列選項中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，取可得，則，此時，A錯誤；則，此時，C錯誤；則，此時，D錯誤；對于B，若，則或或，由，可得，此時，與中有三個不同元素矛盾，由，可得，此時，與中有三個不同元素矛盾，由，可得或（舍去），若，則，與中有三個不同元素矛盾，所以，B正確；故選：B.3.已知一圓臺內(nèi)切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形腰相切于點，與上、下底的分別切于點，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺的體積為，球的體積為，則V1V故選：A．4.在中，角所對的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，由正弦定理得，得，所以，即，因為，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所以.故選：D.5.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的值域為，當時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點處的切線方程為故所求的切線方程為.故選：C.7.等比數(shù)列中，為其前項和，，且成等差數(shù)列，則最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】設(shè)公比為，由成等差數(shù)列，得，又數(shù)列為等比數(shù)列，所以得，解得，所以，令，則，所以數(shù)列遞增數(shù)列，所以當時，取得最小值1.故選：D.8.如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移得到的圖像，其中和分別是圖像上相鄰的最高點和最低點，點分別是fx,gx圖像的一個對稱中心，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個單位得的圖像，由于分別是圖像的一個對稱中心，結(jié)合圖像可知：,,故，由于所以，進而可得,故，解得，，故，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程，其中．下列命題為真命題的是（）A.可以是圓的方程 B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標準方程 D.可以是雙曲線的標準方程【答案】ABC【解析】對于A，因為方程，其中，所以當時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，所以A正確；對于B，當時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，所以B正確；對于C，當時，方程為，即是橢圓的標準方程，故方程可以是橢圓的標準方程，所以C正確；對于D，若方程為雙曲線的標準方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標準方程，所以D錯誤.故選：ABC．10.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當時， D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AD【解析】對于A，如圖1，因,故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.11.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則（）A.當時，B.當正整數(shù)時，C.對任意正實數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極大值點D.若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則的取值范圍是【答案】BD【解析】對于選項A：因為函數(shù)滿足，當時，，當時，；當時，，故A錯誤；對于選項B：因為，且f1=0則，，，，可得，所以，故B正確；對于選項CD：由選項A可得：當時，，則，令f'x>0令f'x<0可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個極大值點，即，例如當，則，不合題意，故C錯誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為的夾角為銳角，所以且不能同向共線,所以,解得且故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，離心率為為上一點，且，若的面積為，則__________.【答案】【解析】設(shè)為雙曲線右支上一點，因為面積，所以得，因為，所以得，即，因為，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因存在，使得，即需求函數(shù)在上的最大值.由求導得，，因，若，則f'x>0在上恒成立，即函數(shù)在上是增函數(shù)，故此時無最大值，且時，，符合題意；若，由解得，則當時，f'x當時，f'x即函數(shù)在上遞增，在上遞減，則函數(shù)在時取得最大值，即，依題意，需使，整理得，（*）.令，則則當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時，取最大值，即在上恒成立，由（*）可得，即，所以;綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，（1）若與交于點，且，求的長；（2）求四邊形周長的最大值．解：（1）中,由余弦定理得,所以因為，，所以由可知,,所以（2）因為,所以,,故，當且僅當時等號成立，故周長的最大值為16.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：不妨設(shè)，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解:由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17.已知函數(shù)．（1）求在上單調(diào)增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明．解：（1），由得，所以增區(qū)間為，而，故在的單調(diào)增區(qū)間為和．（2）由得，即，其中，．所以當且僅當，即滿足題意．故實數(shù)a的取值范圍為．當時，，即；此時，而，所以，當時，，即；此時，而，所以；綜上，．18.已知函數(shù)．（1）若，曲線y=fx在點處的切線與直線垂直，證明：；（2）若對任意的且，函數(shù)，證明：函數(shù)在上存在唯一零點．（1）證明：，，，，設(shè)，則，設(shè)，則，單調(diào)遞增，又，存在使得即，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，；（2）證明：，，在上單調(diào)遞增，又設(shè)，則，令，解得，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，當時，，即，，又，，存在，使得，又在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上存在唯一零點.19.定義：從數(shù)列中隨機抽取m項按照項數(shù)從小到大的順序依次記為，將它們組成一個項數(shù)為m的新數(shù)列，其中，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”；（1）已知數(shù)列滿足，數(shù)列是的“3項遞增衍生列”，寫出所有滿足條件的﹔（2）已知數(shù)列是項數(shù)為m的等比數(shù)列，其中，若數(shù)列為1，16，81，求證：數(shù)列不是數(shù)列的“3項遞增衍生列”；（3）已知首項為1的等差數(shù)列的項數(shù)為14，且，數(shù)列是數(shù)列的“m項遞增衍生列”，其中．若在數(shù)列中任意抽取3項，且均不構(gòu)成等差數(shù)列，求m的最大值．（1）解：由題意得，數(shù)列為1，8，3，4，5，2，若是數(shù)列的“3項遞增衍生列”，且，則為1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒（2）證明：設(shè)等比數(shù)列的公比為q．假設(shè)數(shù)列是數(shù)列的“3項遞增衍生列”，則存在，使，所以，則，所以．因為，所以為有理數(shù)，但為無理數(shù)，所以（*）式不可能成立．綜上，數(shù)列不是數(shù)列的“3項遞增衍生列”．（3）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d．由，又，所以，故數(shù)列為1，2，3，4，5，，14﹒令，因為數(shù)列中各項均為正整數(shù)，故﹔（若，則，成等差數(shù)列）同理，且，所以，同理，且，所以，這與已知條件矛盾，所以，此時可以構(gòu)造數(shù)列為1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三項均不構(gòu)成等差數(shù)列．綜上所述，m的最大值為8．東北三省2025屆高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學強化卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以.故選：C2.設(shè)集合，則下列選項中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，取可得，則，此時，A錯誤；則，此時，C錯誤；則，此時，D錯誤；對于B，若，則或或，由，可得，此時，與中有三個不同元素矛盾，由，可得，此時，與中有三個不同元素矛盾，由，可得或（舍去），若，則，與中有三個不同元素矛盾，所以，B正確；故選：B.3.已知一圓臺內(nèi)切球與圓臺各個面均相切，記圓臺上、下底面半徑為，若，則圓臺的體積與球的體積之比為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】如圖為該幾何體的軸截面，其中圓是等腰梯形的內(nèi)切圓，設(shè)圓與梯形腰相切于點，與上、下底的分別切于點，設(shè)球的半徑為，圓臺上下底面的半徑為．注意到與均為角平分線，因此，從而，故．設(shè)圓臺的體積為，球的體積為，則V1V故選：A．4.在中，角所對的邊分別為，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，由正弦定理得，得，所以，即，因為，所以，所以，或，所以，或（舍），所以，所以.故選：D.5.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】的值域為，當時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A6.已知定義在上的函數(shù)滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，聯(lián)立可解得，所以，所以.所以曲線y=fx在點處的切線方程為故所求的切線方程為.故選：C.7.等比數(shù)列中，為其前項和，，且成等差數(shù)列，則最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】設(shè)公比為，由成等差數(shù)列，得，又數(shù)列為等比數(shù)列，所以得，解得，所以，令，則，所以數(shù)列遞增數(shù)列，所以當時，取得最小值1.故選：D.8.如圖所示，將函數(shù)的圖像向右平移得到的圖像，其中和分別是圖像上相鄰的最高點和最低點，點分別是fx,gx圖像的一個對稱中心，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖像向右平移個單位得的圖像，由于分別是圖像的一個對稱中心，結(jié)合圖像可知：,,故，由于所以，進而可得,故，解得，，故，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知方程，其中．下列命題為真命題的是（）A.可以是圓的方程 B.可以是拋物線的方程C.可以是橢圓的標準方程 D.可以是雙曲線的標準方程【答案】ABC【解析】對于A，因為方程，其中，所以當時，方程為，即是圓的方程，故方程可以是圓的方程，所以A正確；對于B，當時，方程為，即是拋物線的方程，故方程可以是拋物線的方程，所以B正確；對于C，當時，方程為，即是橢圓的標準方程，故方程可以是橢圓的標準方程，所以C正確；對于D，若方程為雙曲線的標準方程，則有，這與矛盾，故方程不可以是雙曲線的標準方程，所以D錯誤.故選：ABC．10.如圖，正方體的棱長為1，E為棱的中點，P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的動點，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.直線平面C.當時， D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AD【解析】對于A，如圖1，因,故A正確；對于B，如圖2建立空間直角坐標系，則,于是，，設(shè)平面的法向量為，則，故可取，由知與不垂直，故直線與平面不平行，即B錯誤；對于C，由上圖建系，則,,因P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）動點,不妨設(shè)，則，，由題意，，即，于是，此時，故與不垂直，即C錯誤；對于D，由圖知平面的法向量可取為，因，設(shè)直線與平面所成角為，則，故D正確.故選：AD.11.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則（）A.當時，B.當正整數(shù)時，C.對任意正實數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極大值點D.若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則的取值范圍是【答案】BD【解析】對于選項A：因為函數(shù)滿足，當時，，當時，；當時，，故A錯誤；對于選項B：因為，且f1=0則，，，，可得，所以，故B正確；對于選項CD：由選項A可得：當時，，則，令f'x>0令f'x<0可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個極大值點，即，例如當，則，不合題意，故C錯誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若與的夾角為銳角，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為的夾角為銳角，所以且不能同向共線,所以,解得且故答案為：.13.設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，離心率為為上一點，且，若的面積為，則__________.【答案】【解析】設(shè)為雙曲線右支上一點，因為面積，所以得，因為，所以得，即，因為，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因存在，使得，即需求函數(shù)在上的最大值.由求導得，，因，若，則f'x>0在上恒成立，即函數(shù)在上是增函數(shù)，故此時無最大值，且時，，符合題意；若，由解得，則當時，f'x當時，f'x即函數(shù)在上遞增，在上遞減，則函數(shù)在時取得最大值，即，依題意，需使，整理得，（*）.令，則則當時，，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時，取最大值，即在上恒成立，由（*）可得，即，所以;綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在平面四邊形中，（1）若與交于點，且，求的長；（2）求四邊形周長的最大值．解：（1）中,由余弦定理得,所以因為，，所以由可知,,所以（2）因為,所以,,故，當且僅當時等號成立，故周長的最大值為16.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．（1）證明：不妨設(shè)，因為平面平面，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因為平面，所以平面，而平面，所以平面平面；（2）解:由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，所以，因為軸平面，則可取為平面的一個法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17.已知函數(shù)．（1）求在上單調(diào)增區(qū)間；（2）若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，，求實數(shù)a的取值范圍，并證明．解：（1），由得，所以增區(qū)間為，而，故在的單調(diào)增區(qū)間為和．（2）由得，即，其中，．所以當且僅當，即滿足題意．故實數(shù)a的取值范圍為．當時，，即；此時，而，所以，當時，，