2025屆福建省南平市某校高三上學期第二次段考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市某校2025屆高三上學期第二次段考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，因此，.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故選：D.3.某班有5名男同學，4名女同學報名參加辯論賽，現(xiàn)從中選取4名同學組成一個辯論隊，要求辯論隊不能全是男同學也不能全是女同學，則滿足要求的辯論隊數(shù)量是（）A.120 B.126 C.210 D.420【答案】A【解析】若總的辯論隊數(shù)量是，則全是男生的辯論隊數(shù)量是，全是女生的辯論隊數(shù)量是，故滿足的辯論隊數(shù)量是，故選：A．4.中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬?信道內信號的平均功率?信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術提升，帶寬在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】由題意可知：大約增加了，故選：C5.在△中，內角的對邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.有一個內角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因為向量，共線，則，由正弦定理可得：，則，因為，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以形狀為等邊三角形.故選：A6.定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且成立，，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為時，，所以可化為，設，，則，所以函數(shù)在上的單調遞減，因為，所以，所以，即，所以.故選：B.7.函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故，所以，故，由可得，又，設，則，當時，，當時，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，而，故在上的取值范圍為，即的取值范圍為.故選：D.8.已知向量，且，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，a→·即,即，建立如圖所示平面直角坐標系，設，，，，則，，，又，則，即N的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，由圖可知，當與圓相切時，最大，此時，則的最大值為，即與夾角的最大值為.故選：二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點是的中線上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】由題知，設，則，因為，所以，則，且，A正確，B不正確；，當且僅當時，等號成立，C正確；又，當且僅當，即時，等號成立，D正確.故選：ACD10.設函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.，在上單調遞增B.若且，則C.若在上有且僅有個不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A選項，，當時，，因為，，所以，，在上單調遞增，A對；對于B選項，若，則函數(shù)的最小正周期為，因為，則，B錯；對于C選項，若在上有且僅有個不同的解，且當時，，由可得，則，解得，所以，的取值范圍為，C對；對于D選項，因為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，因為，故當時，合乎題意，D對.故選：ACD.11.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，，且，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是 B.C. D.【答案】BCD【解析】令，令，由題可知，，，令，得，顯然，當x∈0,1時，，所以單調遞減；當x∈1,+∞時，，所以單調遞増；，得示意圖所以都符合題意，故A錯誤；由示意圖可知，顯然，當且時，易知取兩個互為倒數(shù)的數(shù)時，函數(shù)值相等，因為，所以互為倒數(shù)，即，故B正確；，等且僅當時等號成立，因為，所以，故C正確；因為，要證，即證，因為，所以，即證，我們分別證明，，證明：因為，所以，證明：要證，即證，不妨設，得，顯然，當時，h'x<0，此時當時，h'x>0，此時故，故，即，所以證得，即證得，即得，故選項D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在方向上的投影向量坐標為__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量為，故答案為：.13.若的展開式中各項系數(shù)的和為，則__________，該展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】①.②.【解析】令，則展開式各項系數(shù)和為，解得：；展開式通項為，令，解得：，此時常數(shù)項為；令，解得：，此時常數(shù)項為；展開式的常數(shù)項為.故答案為：；.14.對于函數(shù)，若對任意的，存在唯一的使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，求導，令，求導，函數(shù)在上單調遞增，當時，；當時，，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則，因此函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，函數(shù)，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，此時，即；在上單調遞增，此時，即，由對任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，其中，若函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值，并求的單調遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，再將得到的圖象上所有點向右平移個單位，得到的圖象，若，求滿足的的取值集合．（1）解：由題意，所以，解得，所以，令，所以所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．（2）解：將圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得，再將得到圖象上所有點向右平移個單位，得，即，由，得或，所以或，故的取值集合．16.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極大值，求的極值及單調區(qū)間；（2）若，不等式對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），定義域為0,+∞，則，因為函數(shù)在處取得極大值，所以，解得或2，當時，，令得或，令得，故在上單調遞增，在12,1上單調遞減，此時為極小值點，不合要求，當時，，令得或，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，此時為極大值點，滿足要求，綜上，，有極大值，極小值，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2），定義域為0,+∞，則，因為，所以，令φ'x>0得，令φ'故φx在上單調遞減，在上單調遞增，則，令得，，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.17.已知的內角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大?。唬?）若為銳角三角形且，求面積的取值范圍.解：（1）由正弦定理得，，所以，即，化簡得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因為是銳角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.18.為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關”的問題，對某班同學的近視情況和看電子產(chǎn)品的時間進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時間合計超過一小時一小時內近視10人5人15人不近視10人25人35人合計20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關；（2）在該班近視的同學中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是多少？（3）以頻率估計概率，在該班所在學校隨機抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為Y，求的值．解：（1）零假設為：學生眼睛近視與長時間使用電子產(chǎn)品無關．計算可得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為眼睛近視與長時間使用電子產(chǎn)品有關．（2）每天看電子產(chǎn)品超過一小時的人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學中隨機抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過一小時的概率是．（3）依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒超過一小時；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過一小時且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒超過一小時，于是，所以．19.已知函數(shù)．（1）若，求的圖象在處的切線方程；（2）若恰有兩個極值點．①求的取值范圍；②證明：．（1）解：當時，，，則則的圖象在處的切線方程為，即.（2）證明：f'x令gx=-x2+4x-a則有兩個不同實數(shù)根，且，則有Δ=16-4a>0x1由知，，且，則，所以，即，則要證，即證，即，令，，令，則在上恒成立，故在上單調遞減，又μ1故存在，使，即，則當時，h'x>0,?即hx在上單調遞增，在上單調遞減，則，由對勾函數(shù)性質可知，上單調遞增，由x0∈1,2即，即，即可得證：.福建省南平市某校2025屆高三上學期第二次段考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，，因此，.故選：B.2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：.故選：D.3.某班有5名男同學，4名女同學報名參加辯論賽，現(xiàn)從中選取4名同學組成一個辯論隊，要求辯論隊不能全是男同學也不能全是女同學，則滿足要求的辯論隊數(shù)量是（）A.120 B.126 C.210 D.420【答案】A【解析】若總的辯論隊數(shù)量是，則全是男生的辯論隊數(shù)量是，全是女生的辯論隊數(shù)量是，故滿足的辯論隊數(shù)量是，故選：A．4.中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信通帶寬?信道內信號的平均功率?信道內部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計，按照香農(nóng)公式，由于技術提升，帶寬在原來的基礎上增加20%，信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）（附：）A.22% B.33% C.44% D.55%【答案】C【解析】由題意可知：大約增加了，故選：C5.在△中，內角的對邊分別為，已知向量共線，則△的形狀為（）A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.有一個內角是的直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A【解析】因為向量，共線，則，由正弦定理可得：，則，因為，則，可知，，，均不為，可得，則，即；同理由向量，共線可得：；綜上所述：.所以形狀為等邊三角形.故選：A6.定義在上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且成立，，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為時，，所以可化為，設，，則，所以函數(shù)在上的單調遞減，因為，所以，所以，即，所以.故選：B.7.函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，故，所以，故，由可得，又，設，則，當時，，當時，，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，而，故在上的取值范圍為，即的取值范圍為.故選：D.8.已知向量，且，則與夾角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知向量，a→·即,即，建立如圖所示平面直角坐標系，設，，，，則，，，又，則，即N的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，由圖可知，當與圓相切時，最大，此時，則的最大值為，即與夾角的最大值為.故選：二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點是的中線上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.的最小值是【答案】ACD【解析】由題知，設，則，因為，所以，則，且，A正確，B不正確；，當且僅當時，等號成立，C正確；又，當且僅當，即時，等號成立，D正確.故選：ACD10.設函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.，在上單調遞增B.若且，則C.若在上有且僅有個不同的解，則的取值范圍為D.存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】對于A選項，，當時，，因為，，所以，，在上單調遞增，A對；對于B選項，若，則函數(shù)的最小正周期為，因為，則，B錯；對于C選項，若在上有且僅有個不同的解，且當時，，由可得，則，解得，所以，的取值范圍為，C對；對于D選項，因為，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，因為，故當時，合乎題意，D對.故選：ACD.11.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，，且，則下列選項正確的是（）A.的取值范圍是 B.C. D.【答案】BCD【解析】令，令，由題可知，，，令，得，顯然，當x∈0,1時，，所以單調遞減；當x∈1,+∞時，，所以單調遞増；，得示意圖所以都符合題意，故A錯誤；由示意圖可知，顯然，當且時，易知取兩個互為倒數(shù)的數(shù)時，函數(shù)值相等，因為，所以互為倒數(shù)，即，故B正確；，等且僅當時等號成立，因為，所以，故C正確；因為，要證，即證，因為，所以，即證，我們分別證明，，證明：因為，所以，證明：要證，即證，不妨設，得，顯然，當時，h'x<0，此時當時，h'x>0，此時故，故，即，所以證得，即證得，即得，故選項D正確.故選：BCD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在方向上的投影向量坐標為__________．【答案】【解析】在方向上的投影向量為，故答案為：.13.若的展開式中各項系數(shù)的和為，則__________，該展開式中的常數(shù)項為_________．【答案】①.②.【解析】令，則展開式各項系數(shù)和為，解得：；展開式通項為，令，解得：，此時常數(shù)項為；令，解得：，此時常數(shù)項為；展開式的常數(shù)項為.故答案為：；.14.對于函數(shù)，若對任意的，存在唯一的使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)，求導，令，求導，函數(shù)在上單調遞增，當時，；當時，，則函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，則，因此函數(shù)在上單調遞增，當時，，即，函數(shù)，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在上單調遞減，此時，即；在上單調遞增，此時，即，由對任意的，存在唯一的使得，得是的子集，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，其中，若函數(shù)的最小正周期為．（1）求的值，并求的單調遞增區(qū)間；（2）將圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，再將得到的圖象上所有點向右平移個單位，得到的圖象，若，求滿足的的取值集合．（1）解：由題意，所以，解得，所以，令，所以所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．（2）解：將圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得，再將得到圖象上所有點向右平移個單位，得，即，由，得或，所以或，故的取值集合．16.已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在處取得極大值，求的極值及單調區(qū)間；（2）若，不等式對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1），定義域為0,+∞，則，因為函數(shù)在處取得極大值，所以，解得或2，當時，，令得或，令得，故在上單調遞增，在12,1上單調遞減，此時為極小值點，不合要求，當時，，令得或，令得，故在上單調遞增，在上單調遞減，此時為極大值點，滿足要求，綜上，，有極大值，極小值，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2），定義域為0,+∞，則，因為，所以，令φ'x>0得，令φ'故φx在上單調遞減，在上單調遞增，則，令得，，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.17.已知的內角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）若為銳角三角形且，求面積的取值范圍.解：（1）由正弦定理得，，所以，即，化簡得：，即，又，所以.（2）由正弦定理得：，所以，，所以，因為是銳角三角形，所以，解得，所以，所以，所以.18.為研究“眼睛近視是否與長時間看電子產(chǎn)品有關”的問題，對某班同學的近視情