2025屆河北省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月階段性測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則（）A.4 B.4 C.6 D.6【答案】C【解析】因為，所以，即，所以,故選：C2.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為、，它的母線長為，則這個圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圓臺的軸截面，則四邊形為等腰梯形，過點、在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為、，如下圖所示：在梯形內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，該圓臺的體積為.故選：D.3.已知向量與向量夾角為鈍角，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】若，的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，且，解得且．故選：B．4.已知等差數(shù)列前項和為Sn，若，則使的最小的的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則有，且，即，，則，，故滿足的最小值為19，故選：C5.已知、，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為、，則，由題意可得，解得，所以，，故.故選：D.6.若兩個等差數(shù)列的前項和分別為，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以當(dāng)時，因此．故選：A7.已知是銳角三角形，角、、所對的邊分別為、、，為的面積，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由三角形的面積公式和余弦定理可得，整理可得，因為，則，可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，解得，所以，，則，所以，.故選：B.8.在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：設(shè)，因為，則，則的外接圓直徑為，，設(shè)，則，可得，，令，其中，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，故該三棱柱外接球的表面積，故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的有（）A.、、 B.、、C.、、 D.、、【答案】BC【解析】對于A選項，因為，所以，、、共面，A不滿足要求；對于B選項，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，因為是空間的一個基底，由空間向量基本定理可得，該方程組無解，故假設(shè)不成立，所以，、、能構(gòu)成空間一個基底，B滿足條件；對于C選項，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，可得，則、、共面，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以，、、能構(gòu)成空間一個基底，C滿足條件；對于D選項，因為，所以，、、共面，D不滿足條件.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在上的值域為C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)的圖象可由上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，再向右平移得到【答案】ACD【解析】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以，即，因為，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時，，所以，所以，故B錯誤；C．是奇函數(shù)，故C正確；D．上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再向右平移得到的圖象，故D正確，故選：ACD．11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A，由得，，故，所以．A正確；對于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．即，且，因此是等比數(shù)列，B正確；對于C，因為，所以，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，數(shù)列是遞增數(shù)列，故C正確；對于D，．所以，顯然不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：ABC．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則_____.【答案】【解析】因為，則.故答案為：.13.已知數(shù)列中，且，則_____【答案】【解析】因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，故答案為：14.在平行六面體中，,，，，若，其中、、，給出下列四個結(jié)論:①若點為的中點，則；②若點在平面內(nèi)，則；③若，則三棱錐的體積為；④若點為的中點，則異面直線與垂直.所有正確結(jié)論的序號是_____（把所有正確命題的序號都填在橫線上）.【答案】①②④【解析】對于①，由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，，若為的中點，則，所以，，故，①對；對于②，若點在平面內(nèi)，則存在實數(shù)、，使得，所以，，所以，，又因為，則，，，所以，，②對；對于③，若，則，可得，則、、共面，又因為平面，則平面，所以，，因為，所以，，因為，，則平行四邊形為正方形，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為，所以，，則，設(shè)，則為的中點，所以，，則，所以，，③錯；對于④，若點為的中點，則平面，又因為平面，故，④對.故答案為：①②④.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以；（2）因為，所以，所以.16.記內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角的大??；（2）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.解：（1）由余弦定理可得,再由正弦定理可得即，因為，所以，所以，所以.（2）由題意，，由正弦定理得，因為為銳角三角形，所以，又，所以，所以，從而，所以面積的取值范圍17.已知四棱錐中，平面，，，，，點為上靠近的三等分點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：在線段上取點，使得，連接、，如下圖所示：因為，則且，因為，，，則，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1則，取，則，設(shè)平面的法向量為n=x2,則，取，則，所以，.由圖可知，平面與平面所成角為銳角，因此，平面與平面所成角的余弦值為.18.設(shè)數(shù)列的前項和為，若對任意的，都有（為非零常數(shù)），則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”，其中為和公比.若，且為“和等比數(shù)列”.（1）求的值，并求出的和公比；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）在（2）的條件下，若不等式對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）因為，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，則，所以，，根據(jù)題意可得，其中為非零常數(shù)，即，所以，，解得.（2）由（1）可得，所以，，則，，上式下式可得，因此，.（3）由可得，整理可得對任意的恒成立，因為，則數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是.19.圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點到達(dá)點的位置，如圖2.（1）求證：；（2）若平面平面，在棱上找一點，使得點到平面的距離為，并求的值；（3）在（2）的前提下，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：取線段的中點，連接、，翻折前，因為四邊形是邊長為的菱形，并且，則，所以，為等邊三角形，同理可知，也為等邊三角形，翻折后，則、都是等邊三角形，因為為的中點，則，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，因此，.（2）解：因為平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，又因為，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，取，可得，設(shè)，其中，則所以，點到平面的距離為，因為，解得，即.（3）解：由（1）得，所以，，所以，直線與平面所成角的正弦值為.河北省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期12月階段性測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位)，則（）A.4 B.4 C.6 D.6【答案】C【解析】因為，所以，即，所以,故選：C2.已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為、，它的母線長為，則這個圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取圓臺的軸截面，則四邊形為等腰梯形，過點、在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為、，如下圖所示：在梯形內(nèi)，，，，則，故四邊形為矩形，所以，，，在、中，，，，所以，，所以，，所以，，因此，該圓臺的體積為.故選：D.3.已知向量與向量夾角為鈍角，則實數(shù)取值范圍是（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】若，的夾角為鈍角，則，且與不共線，即，且，解得且．故選：B．4.已知等差數(shù)列前項和為Sn，若，則使的最小的的值為（）A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】根據(jù)題意，數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則有，且，即，，則，，故滿足的最小值為19，故選：C5.已知、，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為、，則，由題意可得，解得，所以，，故.故選：D.6.若兩個等差數(shù)列的前項和分別為，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，所以當(dāng)時，因此．故選：A7.已知是銳角三角形，角、、所對的邊分別為、、，為的面積，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，由三角形的面積公式和余弦定理可得，整理可得，因為，則，可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，解得，所以，，則，所以，.故選：B.8.在直三棱柱中，底面滿足，，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.本題中，將直三棱柱放在圓柱中，如下圖所示：設(shè)，因為，則，則的外接圓直徑為，，設(shè)，則，可得，，令，其中，則，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，故該三棱柱外接球的表面積，故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的有（）A.、、 B.、、C.、、 D.、、【答案】BC【解析】對于A選項，因為，所以，、、共面，A不滿足要求；對于B選項，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，因為是空間的一個基底，由空間向量基本定理可得，該方程組無解，故假設(shè)不成立，所以，、、能構(gòu)成空間一個基底，B滿足條件；對于C選項，假設(shè)、、共面，則存在、，使得，可得，則、、共面，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以，、、能構(gòu)成空間一個基底，C滿足條件；對于D選項，因為，所以，、、共面，D不滿足條件.故選：BC.10.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)在上的值域為C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)的圖象可由上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮傧蛴移揭频玫健敬鸢浮緼CD【解析】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以，即，因為，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時，，所以，所以，故B錯誤；C．是奇函數(shù)，故C正確；D．上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再向右平移得到的圖象，故D正確，故選：ACD．11.已知數(shù)列的前項和為，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.是等比數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】ABC【解析】對于A，由得，，故，所以．A正確；對于B，將與整體相減得，，所以，又，即，所以．即，且，因此是等比數(shù)列，B正確；對于C，因為，所以，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，數(shù)列是遞增數(shù)列，故C正確；對于D，．所以，顯然不是常數(shù)，所以不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選：ABC．三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則_____.【答案】【解析】因為，則.故答案為：.13.已知數(shù)列中，且，則_____【答案】【解析】因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，即，所以，故答案為：14.在平行六面體中，,，，，若，其中、、，給出下列四個結(jié)論:①若點為的中點，則；②若點在平面內(nèi)，則；③若，則三棱錐的體積為；④若點為的中點，則異面直線與垂直.所有正確結(jié)論的序號是_____（把所有正確命題的序號都填在橫線上）.【答案】①②④【解析】對于①，由空間向量數(shù)量積的定義可得，同理可得，，若為的中點，則，所以，，故，①對；對于②，若點在平面內(nèi)，則存在實數(shù)、，使得，所以，，所以，，又因為，則，，，所以，，②對；對于③，若，則，可得，則、、共面，又因為平面，則平面，所以，，因為，所以，，因為，，則平行四邊形為正方形，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為，所以，，則，設(shè)，則為的中點，所以，，則，所以，，③錯；對于④，若點為的中點，則平面，又因為平面，故，④對.故答案為：①②④.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，所以；（2）因為，所以，所以.16.記內(nèi)角的對邊分別為，且（1）求角的大?。唬?）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍.解：（1）由余弦定理可得,再由正弦定理可得即，因為，所以，所以，所以.（2）由題意，，由正弦定理得，因為為銳角三角形，所以，又，所以，所以，從而，所以面積的取值范圍17.已知四棱錐中，平面，，，，，點為上靠近的三等分點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：在線段上取點，使得，連接、，如下圖所示：因為，則且，因為，，，則，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，因此，平面.（2）解：因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、，設(shè)平面的法向量為m=x1,y1