2024-2025學(xué)年高中物理第3章3萬有引力定律的應(yīng)用教案教科版必修2

PAGE10-3．萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知識脈絡(luò)(老師用書獨具)1.駕馭解決天體運動問題的基本思路．(重點)2．會敏捷計算天體的質(zhì)量和密度．(重點)3．了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.一、預(yù)言彗星回來1．哈雷依據(jù)萬有引力理論對1682年出現(xiàn)的哈雷慧星的軌道運動進行了計算，指出了不同年份出現(xiàn)的狀況，并預(yù)言了再次出現(xiàn)的時間．2．1743年，克雷洛計算了遙遠的木星和土星對哈雷彗星運動規(guī)律的影響，指出了運動經(jīng)過近日點的時間．3．總之，由萬有引力理論可以預(yù)知哈雷彗星每次接近地球的時間，并且經(jīng)過驗證都是正確的．二、預(yù)言未知星體1．已發(fā)覺天體的軌道推算18世紀，人們觀測到太陽系第七個行星——天王星的軌道和用萬有引力定律計算出來的軌道有一些偏差．2．未知天體的發(fā)覺依據(jù)已發(fā)覺的天體的運動軌道結(jié)合萬有引力定律推算出還沒發(fā)覺的未知天體的軌道，如海王星、冥王星就是這樣發(fā)覺的．三、計算天體質(zhì)量1．地球質(zhì)量的計算選擇地球表面的物體為探討對象，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可計算出地球的質(zhì)量．2．太陽質(zhì)量的計算選擇某一行星為探討對象，質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即Geq\f(Msm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，由此可得太陽質(zhì)量Ms＝eq\f(4π2r3,GT2)，由此式可知只要測出行星繞太陽運動的公轉(zhuǎn)周期T和距離r就可以計算出太陽的質(zhì)量．1．思索推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)海王星、冥王星的發(fā)覺表明白萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性． ()(2)天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道發(fā)覺的．()(3)科學(xué)家在觀測雙星系統(tǒng)時，同樣可以用萬有引力定律來分析． ()(4)地球表面的物體，重力就是物體所受的萬有引力． ()(5)繞行星勻速轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星，萬有引力供應(yīng)向心力． ()(6)利用地球繞太陽轉(zhuǎn)動，可求地球的質(zhì)量． ()【提示】(1)√(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×2．下列說法正確的是()A．海王星是人們干脆應(yīng)用萬有引力定律計算出軌道而發(fā)覺的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)覺的C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)覺的D．天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其緣由是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)覺了海王星D[由行星的發(fā)覺歷史可知，天王星并不是依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)覺的；海王星不是通過觀測發(fā)覺，也不是干脆由萬有引力定律計算出軌道而發(fā)覺的，而是人們發(fā)覺天王星的實際軌道與理論軌道存在偏差，然后運用萬有引力定律計算出“新”星的軌道，從而發(fā)覺了海王星．由此可知，A、B、C錯誤，D正確．]3．(多選)由下列哪一組物理量可以計算地球的質(zhì)量()A．月球的軌道半徑和月球的公轉(zhuǎn)周期B．月球的半徑和月球的自轉(zhuǎn)周期C．衛(wèi)星的質(zhì)量和衛(wèi)星的周期D．衛(wèi)星離地面的高度、衛(wèi)星的周期和地球的半徑AD[只要知道天體的一顆衛(wèi)星或行星的周期和軌道半徑，利用公式Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)就可以計算出中心天體的質(zhì)量，故選項A、D正確．]4．若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運動，設(shè)其周期為T，引力常量為G，那么該行星的平均密度為()A.eq\f(GT2,3π) B.eq\f(3π,GT2)C.eq\r(\f(GT2,4π)) D.eq\r(\f(4π,GT2))B[設(shè)飛船的質(zhì)量為m，它做圓周運動的半徑為行星半徑R，則Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，所以行星的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，B項正確．]天體質(zhì)量和密度的估算1．求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運動的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運動，其向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量．2．天體質(zhì)量的計算“自食其力法”“借助外援法”情景已知天體(如地球)的半徑R和天體表面的重力加速度g行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動思路物體的重力近似等于天體(如地球)與物體間的萬有引力：mg＝Geq\f(Mm,R2)gR2＝GM(黃金代換)行星或衛(wèi)星受到的萬有引力充當(dāng)向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)或Geq\f(Mm,r2)＝mω2r或Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r結(jié)果天體(如地球)質(zhì)量：M＝eq\f(gR2,G)中心天體質(zhì)量：M＝eq\f(rv2,G)或M＝eq\f(r3ω2,G)或M＝eq\f(4π2r3,GT2)3.計算天體的密度若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特殊地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).【例1】我國探月的“嫦娥”工程已啟動，在不久的將來，我國宇航員就會登上月球．假設(shè)探月宇航員站在月球表面一斜坡上的M點，并沿水平方向以初速度v0拋出一個小球，測得小球經(jīng)時間t落到斜坡上另一點N，斜面的傾角為θ，如圖所示．將月球視為密度勻稱、半徑為R的球體，引力常量為G，則月球的密度為()A.eq\f(3v0tanθ,4πGRt) B.eq\f(3v0tanθ,πGRt)C.eq\f(3v0tanθ,2πGRT) D.eq\f(v0tanθ,πGRt)思路點撥：利用平拋運動的規(guī)律可確定月球表面的重力加速度g，然后利用“自食其力法”求出月球的質(zhì)量，從而得到月球的密度．C[依據(jù)平拋運動規(guī)律有MN·sinθ＝eq\f(gt2,2)，MN·cosθ＝v0t，兩式相比得月球表面的重力加速度g＝eq\f(2v0tanθ,t)，月球?qū)ξ矬w的萬有引力等于物體的重力，有eq\f(GMm,R2)＝mg，月球的密度ρ＝eq\f(M,\f(4πR3,3))，解得ρ＝eq\f(3v0tanθ,2πGRt)，C正確．]1計算天體質(zhì)量和密度的公式，既可以計算地球質(zhì)量，也可以計算太陽等其他星體的質(zhì)量，需明確計算的是中心天體的質(zhì)量.2要留意理解并區(qū)分公式中的R、r，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，只有在近“地”軌道運行時才有r＝R.1．假設(shè)地球可視為質(zhì)量勻稱分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，則地球的密度為()A.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0－g,g0) B.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g0－g)C.eq\f(3π,GT2) D.eq\f(3π,GT2)eq\f(g0,g)B[物體在地球的兩極時，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，物體在赤道上時，mg＋meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up20(2)R＝Geq\f(Mm,R2)，ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πr3)，以上三式聯(lián)立解得地球的密度ρ＝eq\f(3πg(shù)0,GT2g0－g).故選項B正確，選項A、C、D錯誤．]天體運動問題分析1．解決天體運動問題的基本思路一般行星或衛(wèi)星的運動可看作勻速圓周運動，所須要的向心力都由中心天體對它的萬有引力供應(yīng)，所以探討天體時可建立基本關(guān)系式：Geq\f(Mm,R2)＝ma，式中a是向心加速度．2．常用的關(guān)系式(1)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r，萬有引力供應(yīng)行星或衛(wèi)星做圓周運動的向心力．(2)mg＝Geq\f(Mm,R2)，即gR2＝GM，物體在天體表面時受到的引力等于物體的重力．該公式通常被稱為黃金代換式．3．四個重要結(jié)論設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動．(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r)).r越大，天體的v越?。?2)由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3)).r越大，天體的ω越?。?3)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r越大，天體的T越大．(4)由Geq\f(Mm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2)，r越大，天體的an越?。陨辖Y(jié)論可總結(jié)為“肯定四定，越遠越慢”．4．雙星模型如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量可以相比的兩個星球，它們離其他星球都較遠，因此其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽視不計．在這種狀況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，這種結(jié)構(gòu)叫作“雙星”．5．雙星模型的特點(1)兩星的運行軌道為同心圓，圓心是它們之間連線上的某一點．(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力供應(yīng)．(3)兩星的運動周期、角速度都相同．(4)兩星的運動軌道半徑之和等于它們之間的距離，即r1＋r2＝L.【例2】如圖所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶．假設(shè)該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運動．下列說法正確的是()A．太陽對各小行星的引力相同B．各小行星繞太陽運動的周期均小于一年C．小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于外側(cè)小行星的向心加速度值D．小行星帶內(nèi)各小行星圓周運動的線速度值大于地球公轉(zhuǎn)的線速度值C[太陽對行星的萬有引力供應(yīng)行星運動的向心力．因各小行星到太陽中心的距離不同，皆大于地球到太陽中心的距離，依據(jù)萬有引力公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r＝ma，知太陽對各小行星的引力不相同，各小行星繞太陽運動的周期均大于一年，則選項A、B錯誤．由a＝eq\f(GM,r2)和v2＝eq\f(GM,r)得：r越小，a越大，v越大；r越大，a越小，v越小，則選項C正確，選項D錯誤．]1分析該類問題的關(guān)鍵是抓住“萬有引力供應(yīng)向心力”這一主線.2定量計算時，除抓住以上主線外，有時要借助于“黃金代換式”才能順當(dāng)解決問題.2.探討火星是人類探究向火星移民的一個重要步驟．設(shè)火星和地球均繞太陽做勻速圓周運動，火星軌道在地球軌道外側(cè)，如圖所示，與地球相比較，則下列說法中正確的是()A．火星運行速度較大B．火星運行角速度較大C．火星運行周期較大D．火星運行的向心加速度較大C[依據(jù)萬有引力供應(yīng)向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，a＝eq\f(GM,r2)，由此可知，軌道半徑越大，周期越大，但速度、角速度、加速度越小，因火星的軌道半徑比地球的軌道半徑大，故火星的周期大，但火星的速度、角速度、加速度都較小，故C正確，A、B、D錯誤．]【例3】月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80.有探討者認為月球和地球可視為一個由兩質(zhì)點構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點O做勻速圓周運動．據(jù)此觀點，可知月球與地球繞O點運動的線速度大小之比約為()A．1∶6400 B．1∶80C．80∶1 D．6400∶1C[設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M、m，地月球心間距為r，地球和月球的轉(zhuǎn)動半徑分別為r1、r2，由題意知ω1＝ω2＝ω，則Geq\f(Mm,r2)＝Mω2r1，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r2，所以eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80).地球和月球轉(zhuǎn)動角速度相同，可知兩者繞O點運動的線速度大小之比為eq\f(v1,v2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(m,M)＝eq\f(1,80)，即月球與地球繞O點運動的線速度大小之比為80∶1，選項C正確．]雙星模型的兩個重要結(jié)論(1)雙星模型中，星體運動的軌道半徑和質(zhì)量成反比，即r1∶r2＝m2∶m1，雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動中心離質(zhì)量較大的星體近．(2)雙星系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動周期與雙星的距離L、雙星的總質(zhì)量(m1＋m2)有關(guān)，即T＝2πeq\r(\f(L3,Gm1＋m2)).3.現(xiàn)代觀測表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特點，眾多的恒星組成了不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡潔的恒星系統(tǒng)是兩顆相互繞轉(zhuǎn)的雙星，事實上，冥王星也是和另一星體構(gòu)成雙星，如圖所示，這兩顆行星m1、m2各以肯定速率繞它們連線上某一中心O勻速轉(zhuǎn)動，這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，現(xiàn)測出雙星間的距離始終為L，且它們做勻速圓周運動的半徑r1與r2之比為3∶2，則()A．它們的角速度大小之比為2∶3B．它們的線速度大小之比為3∶2C．它們的質(zhì)量之比為3∶2D．它們的周期之比為2∶3B[雙星的角速度和周期都相同，故A、D均錯誤；由Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C錯誤．由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正確．]1．一衛(wèi)星繞某一行星表面旁邊做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()A.eq\f(mv2,GN) B.eq\f(mv4,GN)C.eq\f(Nv2,Gm) D.eq\f(Nv4,Gm)B[由物體靜止時的平衡條件N＝mg得g＝eq\f(N,m)，依據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg和Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得M＝eq\f(mv4,GN)，故選B.]2.“嫦娥三號”的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道．視察“嫦娥三號”在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)覺每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，該弧長對應(yīng)的圓心角為θ(弧度)，如圖所示．已知引力常量為G，由此可推導(dǎo)出月球的質(zhì)量為()A.eq\f(l3,Gθt2) B.eq\f(l3θ,Gt2)C.eq\f(l,Gθt2) D.eq\f(l2,Gθt2)A[依據(jù)弧長及對應(yīng)的圓心角．可得“嫦娥三號”的軌道半徑r＝eq\f(l,θ)，依據(jù)轉(zhuǎn)過的角度和時間，可得ω＝eq\f(θ,t)，由于月球?qū)Α版隙鹑枴钡娜f有引力供應(yīng)“嫦娥三號”做圓周運動的向心力，可得Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，由以上三式可得M＝eq\f(l3,Gθt2).故選A.]3．設(shè)土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為r，土星繞太陽運動的周期為T，萬有引力常量G已知，依據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有()A．土星線速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的質(zhì)量D．太陽的質(zhì)量C[依據(jù)已知數(shù)據(jù)可求：土星的線速度大小v＝eq\f(2πr,T)、土星的加速度a＝eq\f(4π2,T2)r、太陽的質(zhì)量M＝eq