中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題突破訓(xùn)練專題14 函數(shù)中的最值問題（解析版）

專題14函數(shù)中的最值問題函數(shù)中的最值問題在中考中的考查頻率較高，主要包括求線段之和的最小值（將軍飲馬型）、求線段之和的最小值（修橋模型）、胡不歸求最值問題等。一、求線段之和的最小值（將軍飲馬型）1.在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A、A'是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2.在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長最短.二、求線段之和的最小值（修橋模型）已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定，在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過A點(diǎn)作AC//m，且AC長等于PQ長，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：過A點(diǎn)作AE//m，且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。三、胡不歸求最值（胡不歸模型）一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。洠辞驜C+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型． （2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；(2)如圖甲，點(diǎn)M是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM，OM，是否存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖乙，過點(diǎn)P作PF⊥BC，垂足為F，過點(diǎn)C作CD⊥BC，交x軸于點(diǎn)D，連接DP交BC于點(diǎn)E，連接CP．設(shè)△PEF的面積為S1，△PEC的面積為S2，是否存在點(diǎn)P，使得最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（1）將B（4，0）代入，求出函數(shù)解析式即可求解；（2）作O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接A交BC于點(diǎn)M，連接B，當(dāng)A、M、三點(diǎn)共線時(shí)，AM＋OM有最小值，分別求出直線A的解析式和直線BC的解析式，兩直線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)；（3）連接PB，過P點(diǎn)作PGy軸交CB于點(diǎn)G，設(shè)，則G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得則當(dāng)t＝2時(shí)，有最大值，同時(shí)可求P的坐標(biāo)．【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4）(2)存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，M（，）(3)存在，P（2，4）【詳解】（1）將B（4，0）代入y＝﹣＋（m﹣1）x＋2m，∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，解得m＝2，∴y＝﹣＋x＋4，令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），令y＝0，則﹣＋x＋4＝0，解得x＝4或x＝﹣2，∴A（﹣2，0）；（2）存在點(diǎn)M使AM＋OM最小，理由如下：作O點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接A交BC于點(diǎn)M，連接B，由對(duì)稱性可知，OM＝M，∴AM＋OM＝AM＋MA，當(dāng)A、M、三點(diǎn)共線時(shí)，AM＋OM有最小值，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由對(duì)稱性可知∠BM＝45°，∴B⊥BO，∴（4，4），設(shè)直線A的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x＋，設(shè)直線BC的解析式為，∴4＋4＝0，∴＝﹣1，∴y＝﹣x＋4，聯(lián)立方程組，解得，∴M（）；（3）在點(diǎn)P，使得最大，理由如下：連接PB，過P點(diǎn)作PGy軸交CB于點(diǎn)G，設(shè)P（t，﹣＋t＋4），則G（t，﹣t＋4），∴PG＝﹣＋2t，∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∴S△BCP＝×4×（﹣＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，∴PF＝﹣＋t，∵CD⊥BC，PF⊥BC，∴PFCD，∴＝，∵＝，∴＝，∵B、D兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴CD＝4，∴＝﹣（﹣4t）＝﹣＋，∵P點(diǎn)在第一象限內(nèi)，∴0＜t＜4，∴當(dāng)t＝2時(shí)，有最大值，此時(shí)P（2，4）．本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離的方法，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB周長的最小值；(3)當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．（1）先求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先利用對(duì)稱性找出△PAB周長最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)AP=CP，△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，根據(jù)勾股定理求出AB、BC的長即可求出△PAB最小值；（3）過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周長最小值是2+2；(3)此時(shí)Q（-1，-2），DQ最大值為．【詳解】（1）解：∵直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，-2)，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：當(dāng)a=時(shí)，則b=-，∴拋物線的解析式為y=x2-x-2，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，0)，△PAB的周長為：PB+PA+AB，且AB是定值，∴當(dāng)PB+PA最小時(shí)，△PAB的周長最小，∵點(diǎn)A、C關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時(shí)PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周長最小值為：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周長最小值是：2+2．（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，b=1，∴拋物線的解析式為y=x2+x-2，過點(diǎn)Q作QF⊥x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，設(shè)Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，當(dāng)t=-1時(shí)，DQ有最大值，此時(shí)Q（-1，-2）．本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線（a，b，c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)B．(1)若，①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；(2)若，直線與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．（1）①將b、c的值代入解析式，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；②先令y=0得到B點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線BP的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為，再表示出MG的長，配方求出最值得到M、G的坐標(biāo)；（2）根據(jù)，解析式經(jīng)過A點(diǎn)，可得到解析式：，再表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，接著作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再把和的坐標(biāo)表示出來，由題意可知，當(dāng)取得最小值，此時(shí)，將字母代入可得：，求出a的值，即可得到E、F的坐標(biāo)；【答案】(1)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為；(2)點(diǎn)和點(diǎn)；【詳解】（1）①∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，∴．又，得．∴拋物線的解析式為．∵，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②當(dāng)時(shí)，由，解得．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．設(shè)經(jīng)過B，P兩點(diǎn)的直線的解析式為，有解得∴直線的解析式為．∵直線（m是常數(shù)，）與拋物線相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)G，如圖所示：∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．∴．∴當(dāng)時(shí)，有最大值1．此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為．（2）由（1）知，又，∴．∴拋物線的解析式為．∵，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．∵直線與拋物線相交于點(diǎn)N，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為．作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，如圖所示：得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線上時(shí)，取得最小值，此時(shí)，．延長與直線相交于點(diǎn)H，則．在中，．∴．解得（舍）．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．則直線的解析式為．∴點(diǎn)和點(diǎn)．本題考查二次函數(shù)的幾何綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理解直角三角形等是解決此類問題的關(guān)鍵．1．（2022·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)A．(1)求出拋物線解析式的一般式；(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)D在一次函數(shù)的圖象下方，求面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P為x軸上任意一點(diǎn)，在（2）的結(jié)論下，求的最小值．【答案】(1)；(2)，；(3)3．【思路與分析】（1）利用函數(shù)求解的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得答案，（2）過點(diǎn)作軸交于，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案，（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，證明，從而得到，從而可得答案．【詳解】（1）解：令，解得：，∴點(diǎn)，∴，∴，∴，即．（2）解：令，化簡(jiǎn)可得：解得或，如圖，過點(diǎn)作軸交于，設(shè)，，則，∴，所以：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積有最大值，最大值是，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．（3）解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．∵，，∴，，∴，設(shè)則∴，∴，∵、關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最?。?，∴，∴，∴的最小值是3．2．（2022·重慶銅梁·統(tǒng)考一模）如圖1，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，，點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖2，點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，軸交于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，求的最大值；(3)在（2）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱軸上，滿足的周長最小，點(diǎn)N為該坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【思路與分析】（1）先由點(diǎn)的坐標(biāo)求得的長，然后結(jié)合的大小求得的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，然后結(jié)合得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)而得到，然后求得直線的解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得和的長，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值；（3）求出直線的解析式為，得出，分兩種情況，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入解析式為，，拋物線的解析式為．（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，軸，點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）由（2）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的解析式為．拋物線的對(duì)稱軸為，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，則的周長最小，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，，又，存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，若以為平行四邊形的一邊，，或，若以為平行四邊形的一條對(duì)角線，．綜上所述，存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．3．（2022·廣東中山·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，過B的直線交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于E，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)P，使得的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)，【思路與分析】(1)由得點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，將A、B坐標(biāo)代入中，利用待定系數(shù)法可求；(2)求出直線BE的解析式，用m表示點(diǎn)P、H的坐標(biāo)，進(jìn)而表示線段PH,根據(jù)S△BDP=×PH×3，用含m的代數(shù)式表示的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出S關(guān)于m的二次函數(shù)的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出結(jié)論；(3)過點(diǎn)M作軸，過點(diǎn)E作軸，過A作交于點(diǎn)T，構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)找到與相等的線段，根據(jù)“垂線段最短”得的最小值，將二次函數(shù)與直線方程聯(lián)立，解方程組，先求出點(diǎn)E坐標(biāo)，點(diǎn)M坐標(biāo)可求．【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸為直線，

∴∵拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，∴

解得：∴（2）∵，

∴，∴直線BE的解析式為：過P作軸，交AB于點(diǎn)H設(shè)，則∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)的面積最大．（3）（3）過點(diǎn)M作軸，過點(diǎn)E作軸，過A作交于點(diǎn)T∵軸

∴∵

∴

∴∴

∴∴的最小值為AT．由得：或∴∴的最小值為，此時(shí)4．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(3)若點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，線段PQ是否存在最大值？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為【思路與分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求解即可．（2）連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于N．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短確定當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，MB+MC取得最小值為AC，根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理即可求解．（3）過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．根據(jù)等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，等角對(duì)等邊確定QE=PQ，根據(jù)勾股定理確定，進(jìn)而確定當(dāng)EP取得最大值時(shí)，PQ取得最大值，根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)使用待定系數(shù)法求出直線AC解析式，進(jìn)而用p表示EP的長度，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求出p的值，最后代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式得解得所以拋物線的解析式為．（2）解：如下圖所示，連接MA，設(shè)直線AC與二次函數(shù)的對(duì)稱軸交于N．∵、，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，OA=2．∴MA=MB．∴MB+MC=MA+MC．∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)MA+MC取得最小值，即MB+MC取得最小值為AC．∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴．∴OC=2．∴．∴MB+MC的最小值為．（3）解：如下圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線AC于E，設(shè)，其中，設(shè)直線AC解析式為y=kx+d．∵OA=2，OC=2，∴OA=OC．∴．∵PD⊥x軸，∴∠ADE=90°．∴∠DEA=180°-∠ADE-∠OAC=45°．∴∠QEP=∠DEA=45°．∵PQ⊥AC，∴∠PQE=90°，．∴∠QPE=180°-∠PQE-∠QEP=45°．∴∠QPE=∠QEP．∴QE=PQ．∴．∴．∴當(dāng)EP取得最大值時(shí)，PQ取得最大值．把點(diǎn)A和點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線AC解析式得解得∴直線AC解析式為．∴．∴．∴當(dāng)時(shí)，EP取得最大值．∴．∴線段PQ存在最大值，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為．5．（2022·遼寧沈陽·沈陽市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．(1)分別求拋物線和直線的解析式；(2)在軸上有一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求的最小值．【答案】(1)拋物線的解析式為，直線的解析式為(2)存在，的坐標(biāo)為或或(3)【思路與分析】（1）將點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，?）代入y＝ax2＋bx＋得，可解得拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋，令x＝0得y＝，得C（0，），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋，將B（4，?）代入可得直線BC的解析式為y＝?x＋；（2）設(shè)G（m，0），，又O（0，0），A（3，2），分三種情況：①若GH、OA為對(duì)角線，則GH、OA的中點(diǎn)重合，有，可解得H（?1，2），②若GO、HA為對(duì)角線，則GO、HA的中點(diǎn)重合，有，可解得或；③若GA、OH為對(duì)角線，則GA、OH的中點(diǎn)重合，有，解得H（?1，2）；（3）作A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交拋物線對(duì)稱軸于，設(shè)，則，即知t＝2時(shí)，DE取最小值2，D（2，），拋物線的對(duì)稱軸為直線，得A（3，2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)，有，當(dāng)D、P、共線時(shí)，最小，即最小，的最小值為的長，的最小值為．【詳解】（1）解：把點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，?）代入y＝ax2＋bx＋得解得，拋物線的解析式為，在中，令得，∴，設(shè)直線的解析式為，將代入得：，解得，直線的解析式為，答：拋物線的解析式為，直線的解析式為．（2）存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：設(shè)，，又，，若、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，∴，解得此時(shí)與重合，舍去或，∴；若、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，∴，解得或，∴或；若、為對(duì)角線，則、的中點(diǎn)重合，∴，解得舍去或，∴，綜上所述，的坐標(biāo)為或或．（3）作A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交拋物線對(duì)稱軸于，如圖：設(shè)，則，∴，時(shí)，取最小值，此時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴關(guān)于對(duì)稱軸直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴∴，又、、共線，此時(shí)最小，即最小，的最小值為的長，∵，，，∴的最小值為．6．（2022·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，已知拋物線與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M．①求線段PM長度的最大值．②在①的條件下，若F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)y＝x2－2x－3(2)①；②【思路與分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）①根據(jù)的解析式和拋物線的解析式，設(shè)，則，表示的長，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得：當(dāng)時(shí)，的最大值；②當(dāng)取最大值時(shí)，，確定的位置：在軸的負(fù)半軸取點(diǎn)，使，過作于，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，最小，即的值最小，根據(jù)的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】(1)解：把，點(diǎn)代入拋物線中得：，解得：，拋物線的解析式為：；(2)解：①如圖，令，即，解得或，，，設(shè)的解析式為：，則，解得：，的解析式為：，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值為；②當(dāng)有最大值，，在軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)，使，過作于，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即的值最小，中，，，，，中，，，，的最小值是．7．（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線過B、C兩點(diǎn)，連接AC．(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)M(3，1)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PM的最小值．【答案】(1)；(2)【思路與分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式進(jìn)而求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），由坐標(biāo)得DE＝－（）=，當(dāng)x＝2時(shí)，線段DE的長度最大，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD＋PM最小，連接CM交直線DE于點(diǎn)F，則∠DFC＝90°，由勾股定理得CD＝，根據(jù)PD＋PM＝PC＋PD＝CD，即可求解．【詳解】(1)解：∵直線過B、C兩點(diǎn)，且B，C分別在x軸和y軸上當(dāng)x=0時(shí)，y=1當(dāng)y=0時(shí)，x=4∴點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∴，解得，∴拋物線的解析式為：．(2)解：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，），∵點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，∴DE＝－（）=，∵＜0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，線段DE的長度最大，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，），∵C（0，1），M（3，1），∴點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)PD＋PM最小，連接CM交直線DE于點(diǎn)F，則∠DFC＝90°，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1），∴CD＝==，∵PD＋PM＝PC＋PD＝CD，∴PD＋PM的最小值為．8．（2021·貴州遵義·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，有一拋物線：，頂點(diǎn)為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接，，得．把向右平移，當(dāng)點(diǎn)剛好落在拋物線上時(shí)得，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、，如圖（1）．(1)線段的長為__________，直角三角形平移的距離是__________，拋物線的對(duì)稱軸是直線__________；(2)將繞著點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別記為點(diǎn)、，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，在直線的下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)．線段的長是否存在最大值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3)在（2）的條件下，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離最小時(shí)，求在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長．【答案】(1)3；5；1.(2)存在，.(3).【思路與分析】（1）將代入二次函數(shù)解析式可得或，由題意知，，進(jìn)而可得的長，直角三角形平移的距離，根據(jù)對(duì)稱軸的求解公式計(jì)算可得對(duì)稱軸；（2）由題意知，在中，由勾股定理得，進(jìn)而可得坐標(biāo)，設(shè)，則有，解得或。可知點(diǎn)坐標(biāo)為或，如圖1，由圖可知，設(shè)直線的解析式為，待定系數(shù)法求解直線的解析式為，設(shè)，則，則，計(jì)算求解最大值即可；（3）由，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知在以為圓心，4為半徑的圓上，如圖2，連接，與的交點(diǎn)即為最小時(shí)的點(diǎn)，作軸，為與直線的交點(diǎn)，求解，進(jìn)而可得的值，進(jìn)而根據(jù)弧長的公式求解即可．【詳解】(1)解：將代入得，解得或，∴，,∴，，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，故答案為：3；5；1．(2)解：由題意知，在中，由勾股定理得，∵，∴，設(shè)，則有，解得或，∴點(diǎn)坐標(biāo)為或，如圖1，由圖可知，設(shè)直線的解析式為，將，代入解析式得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴∵，∴當(dāng)時(shí)，線段的長最大，∴，∴存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(3)解：由，可知頂點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知在以為圓心，4為半徑的圓上，如圖2，連接，與的交點(diǎn)即為最小時(shí)的點(diǎn)，作軸，為與直線的交點(diǎn)，∵，，，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∵，∴，∴整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑的長為．9．（2022·甘肅天水·?？既＃┤鐖D，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線過B、C兩點(diǎn)，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【思路與分析】（1）先利用直線得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解；（2