中考數(shù)學二輪復習題型訓練【選擇題】必考重點03 幾何變換之翻折問題（解析版）

【選擇題】必考重點03幾何變換之翻折問題幾何變換中的折疊問題，是江蘇各地中考中?？嫉念}型，難度多為一般或者較難。幾何的翻折問題，本質(zhì)上考查的是軸對稱的性質(zhì)，常和矩形相結(jié)合。在解題時，首先要明確折疊前后的圖形全等，折疊前后的對應邊、對應角相等，對稱軸垂直平分對應點之間的連線，在結(jié)合矩形、菱形、三角形等的性質(zhì)，運用勾股定理，列出方程，求出相應的線段長度?！?022·江蘇連云港·中考母題】如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【考點分析】本題主要考查了折疊問題，解題時，我們常常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．【思路分析】由折疊的性質(zhì)知∠FGE=90°，∠GEC=90°，點G為AD的中點，點E為AB的中點，設AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，據(jù)此求解即可．【答案】B【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正確；根據(jù)折疊的性質(zhì)知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即點G為AD的中點，同理可得點E為AB的中點，設AD=BC=2a，AB=CD=2b，則DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=，∴AB=2=AD，故②不正確；設DF=FO=x，則FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x==，即DF=FO=，GE=a，∴，∴GE=DF；故③正確；∴，∴OC=2OF；故④正確；∵∠FCO與∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正確；綜上，正確的有①③④，故選：B．【2021·江蘇蘇州·中考母題】如圖，在平行四邊形中，將沿著所在的直線翻折得到，交于點，連接，若，，，則的長是（

）A．1 B． C． D．【考點分析】本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．【思路分析】利用平行四邊形的性質(zhì)、翻折不變性可得△AEC為等腰直角三角形，根據(jù)已知條件可得CE得長，進而得出ED的長，再根據(jù)勾股定理可得出；【答案】B【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC為等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故選：B1．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖把一張矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，點B的對應點為B′，AB′與DC相交于點E，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．BC＝AC B．AE＝CE C．AD＝DE D．∠DAE＝∠CAB【答案】B【思路分析】由翻折可得∠EAC=∠BAC，由平行線的性質(zhì)可得∠ACD=∠BAC，則∠EAC=∠ECA，即AE=CE．【詳解】由翻折可得∠EAC=∠BAC，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，故B選項正確；A、C、D選項根據(jù)現(xiàn)有條件不能推理證明成立，條件不足，故選項錯誤；故選：B．2．（2022·江蘇南京·二模）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標軸上，點B的坐標為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路分析】如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計算求出、的長，進而可得點坐標．【詳解】解：如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得，，∴，故選A．3．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平后再次折疊，使點A落在EF上的點A′處，得到折痕BM，BM與EF相交于點N．若直線BA′交直線CD于點O，BC＝11，EN＝2，則FO的長為（）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】根據(jù)中位線定理及折疊的性質(zhì)可得，再由矩形的性質(zhì)可得，過點M作于G，由勾股定理求出MG的長度，再證明，由相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】，對折矩形紙片ABCD，由中位線定理得，由折疊的性質(zhì)可得，,四邊形ABCD是矩形，，，，，，，，，過點M作于G，，，由勾股定理得，，，，，即，，故選：D．4．（2022·江蘇宿遷·三模）已知長方形紙條ABCD，點E、G在AD邊上，點F、H在BC邊上．將紙條分別沿著EF、GH折疊，如圖，當DC恰好落在上時，與的數(shù)量關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【思路分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余的性質(zhì)計算選擇即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠GDC==90°，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得∴180°-2∠1+180°-2∠2=90°，解得，故選A．5．（2022·江蘇蘇州·二模）如圖①，②，③，④，兩次折疊等腰三角形紙片ABC，先使AB與AC重合，折痕為AD，展平紙片：再使點A與點C重合，折痕為EF，展平紙片，AD、EF交于點G．若，，則DG的長為（

）A． B． C．1cm D．【答案】B【思路分析】由折疊的性質(zhì)可得CD、CF，解Rt△ADC可得sin∠CAD、tan∠CAD，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CEF，解Rt△CFE可得CE，進而求得DE，再解Rt△EDG可得DG；【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：AD垂直平分BC，EF垂直平分AC，∴CD=3cm，CF=cm，Rt△ADC中，AD==4cm，∴sin∠CAD==，tan∠CAD=，∵∠C+∠CAD=90°，∠C+∠CEF=90°，∴∠CAD=∠CEF，Rt△CFE中，CE=CF÷sin∠CEF=÷=cm，∴DE=CE-DC=-3=cm，Rt△EDG中，DG=DE?tan∠DEG=×=cm，故選：B．6．（2022·江蘇·蘇州中學二模）如圖，菱形ABCD中，點E在AD上，將△ABE沿著BE翻折，點A恰好落在CD上的點F處．若∠A=65°，則∠DFE的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】根據(jù)翻折變換可得AB=FB，∠A=∠EFB=65°，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)可得，∠A=∠C=65°=∠BFC，最后根據(jù)平角的意義求出答案即可．【詳解】由翻折變換可知，AB=FB，∠A=∠EFB=65°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=65°，∴BF=BC，∴∠BFC=∠C=65°，∴∠DFE=180°-∠EFB-∠BFC=180°-65°-65°=50°，故選：D．7．（2022·江蘇揚州·二模）如圖，在矩形ABCD中，，，E是BC的中點，將沿直線AE翻折，點B落在點F處，連結(jié)CF，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【思路分析】利用翻折的性質(zhì)，以及外角定理證得∠AEB=∠ECF，進行角度轉(zhuǎn)換即可求出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∵E是BC的中點，，∴BE＝CE=，∴AE=，由翻折變換的性質(zhì)得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=，∴EF＝CE，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB=∠ECF，∴=，故選：B．8．（2022·江蘇蘇州·模擬）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，若，，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【思路分析】根據(jù)矩形和軸對稱的性質(zhì)，得，，；設，根據(jù)勾股定理的性質(zhì)列方程并求解，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，即可得到答案．【詳解】∵矩形ABCD，，∴，，∵將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處，∴，設，∴

∴∵∴∴∴∴故選：C．9．（2022·江蘇蘇州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，平行四邊形ABCD的邊AB在x軸上，頂點D在y軸的正半軸上，點C在第一象限，將△AOD沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處、點B恰好為OE的中點．DE與BC交于點F．若y＝（k≠0）圖象經(jīng)過點C．且S△BEF＝1，則k的值為（

）A．18 B．20 C．24 D．28【答案】C【思路分析】連接OC，BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OA＝OE，得到OE＝2OB，求得OA＝2OB，設OB＝BE＝x，則OA＝2x，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD＝AB＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即，求得S△BDF＝3，S△CDF＝9，即可求得S△CDO＝S△BDC＝12，于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接OC，BD，∵將△AOD沿y軸翻折，使點A落在x軸上的點E處，∴OA＝OE，∵點B恰好為OE的中點，∴OE＝2OB，∴OA＝2OB，設OB＝BE＝x，則OA＝2x，∴AB＝3x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝3x，∵CDAB，∴△CDF∽△BEF，∴，即，∵S△BEF＝1，∴S△BDF＝3，S△CDF＝9，∴S△BCD＝S△BDF+S△CDF＝3+9=12，∴S△CDO＝S△BDC＝12，∴｜k｜＝2S△CDO＝24，∵反比例函數(shù)圖像在第一象限，∴k＞0，∴k＝24．故選擇：C．10．（2022·江蘇·江陰市第一初級中學一模）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當點A落在四邊形BCDE外部時，則∠A與∠1、∠2之間的數(shù)量關系是（

）A．2∠A=∠1-∠2 B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2 D．∠A=∠1-∠2【答案】A【思路分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)平角等于用表示出，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用與表示出，然后利用三角形的內(nèi)角和等于列式整理即可得解．【詳解】解：是沿折疊得到，，又，，，即，整理得：．故選：A．11．（2022·江蘇·無錫市天一實驗學校二模）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=，點N是邊AC的中點，點M是射線BC上的一動點（不與B，C重合），連接MN，將△CMN沿MN翻折得△EMN，連接BE，CE，當線段BE的長取最大值時，sin∠NCE的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】由翻折可知：NC=NE，所以點E在以N為圓心，NC長為半徑的圓上，點B，N，E共線時，如圖所示：此時BE最大，由翻折可知：MN是CE的垂直平分線，延長GN交AB于點D，可得DN平分∠ANB，過點D作DH⊥BN，然后證明Rt△AND≌Rt△HND（HL），可得AN=HN=6，根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，由翻折可知：NC=NE，所以點E在以N為圓心，NC長為半徑的圓上，點B，N，E共線時，如圖所示：此時BE最大，在Rt△ABC中，∠A=90°，∵AB=8，tan∠ABC=，∴AC=12，∵點N是邊AC的中點，∴AN=CN=6，∴NE=6，由翻折可知：MN是CE的垂直平分線，∴∠ENG=∠CNG，延長GN交AB于點D，∴∠BND=∠AND，∴DN平分∠ANB，∵DA⊥AN，過點D作DH⊥BN，∴DA=DH，∴DB=AB-AD=8-DH，在Rt△AND和Rt△HND中，，∴Rt△AND≌Rt△HND（HL），∴AN=HN=6，在Rt△ABN中，AB=8，AN=6，∴BN==10，∴BH=BN-HN=10-6=4，在Rt△DBH中，DB=8-DH，根據(jù)勾股定理得：DB2=DH2+BH2，∴（8-DH）2=DH2+42，解得DH=3，在Rt△ADN中，DH=DA=3，AN=6，根據(jù)勾股定理得：DN2=AD2+AN2，∴DN2=32+62=45，∴DN=3，∵∠A=∠NGC=90°，∠AND=∠GNC，∴∠ADN=∠NCG，∵sin∠ADN=，∴sin∠NCG=sin∠NCE=．故選：D．12．（2022·江蘇省南菁高級中學實驗學校九年級）如圖，在中，點是線段上的一點，過點作交于點，將沿翻折，得到，若點恰好在線段上，若，：：，，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路分析】設，，則，由折疊的性質(zhì)得出，，，由勾股定理求出，設，則，由勾股定理列出方程求出的值，則可得出答案．【詳解】解：設，，則，將沿翻折，得到，，，，，，，，，，，，，，，設，則，，，解得，，故選C．13．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，，點D是AB的中點，將△ACD沿CD對折得△A′CD．連接，連接AA′交CD于點E，若，，則CE的長為（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】B【思路分析】由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可證得CD=AD=BD=A′D，可證得A、C、A′、B共圓且AB為直徑，利用垂徑定理的推論和三角形的中位線性質(zhì)證得DE=A′B，進而可求解CE的長．【詳解】解：由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，∵，點D是AB的中點，∴CD=AD=BD=A′D=AB，∴A、C、A′、B共圓且AB為直徑，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位線，∴DE=A′B，∵，，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故選B．14．（2022·江蘇·宜興市樹人中學九年級）如圖，在△ABC中，點D是線段AB上的一點，過點D作DE∥AC交BC于點E，將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若點C恰好在線段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝，則CE的長度為（

）A． B．4 C． D．6【答案】C【思路分析】設DC＝3x，，則DB'＝5x，由折疊的性質(zhì)得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC＝8，設CE＝a，則BE＝8﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，則可得出答案．【詳解】解：設DC＝3x，CB'＝2x，則DB'＝5x，∵將△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD+DB＝8x＝16，∴x＝2，∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，∴BC＝＝8，設CE＝a，則BE＝8﹣a＝B'E，∵CE2+B'C2＝B'E2，∴a2+32＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴CE＝3，故選：C．15．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖①，AB＝5，射線AM∥BN，點C在射線BN上，將△ABC沿AC所在直線翻折，點B的對應點D落在射線BN上，點P，Q分別在射線AM、BN上，PQ∥AB．設AP＝x，QD＝y(tǒng)．若y關于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過點E(9，2)，則cosB的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【思路分析】由題意可得四邊形ABQP是平行四邊形，可得AP＝BQ＝x，由圖象②可得當x＝9時，y＝2，此時點Q在點D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，可求BD＝7，由折疊的性質(zhì)可求BC的長，由銳角三角函數(shù)可求解．【詳解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP＝BQ＝x，由圖②可得當x＝9時，y＝2，此時點Q在點D下方，且BQ＝x＝9時，y＝2，如圖①所示，∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，∵將△ABC沿AC所在直線翻折，點B的對應點D落在射線BN上，∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故選：D．16．（2022·江蘇·蘇州市吳江區(qū)銅羅中學九年級期中）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'與AB交于點E，連接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【思路分析】連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，證△ADC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的長，在△BDC'中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．【詳解】解：如圖，連接CC'，交BD于點M，過點D作DH⊥BC'于點H，∵AD＝AC′＝2，D是AC邊上的中點，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'為等邊三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD?DM＝3?1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝，∵S△BDC'＝BC'?DH＝BD?CM，∴DH＝3×，∴DH＝，∵∠DCB＝∠DBC'，∴點D到BC的距離為．故答案為：C．17．（2022·江蘇南通·九年級）如圖，AB為⊙O的一條弦，C為⊙O上一點，OC∥AB．將劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于點D．若D為翻折后弧AB的中點，則