2025年春八年級下冊數(shù)學北師版教學課件 1.2 第1課時 直角三角形的性質(zhì)與判定

新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形直角三角形全等的判定直角三角形的性質(zhì)與判定1.2直角三角形第一章三角形的證明第1課時直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形的兩個銳角互余.這節(jié)課我們一起來證明直角三角形的判定與性質(zhì).問題：前面我們探究過直角三角形的哪些性質(zhì)？

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.問題1：直角三角形的兩個銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？直角三角形的性質(zhì)與判定1△ABC

是直角三角形，∵∠A+∠B+∠C

=

180°，又∵∠C

=

90°，∴∠A+∠B=90°.問題2：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎?

為什么?∵∠A+∠B+∠C

=

180°，又∵∠A+∠B=90°，∴△ABC

是直角三角形定理1直角三角形的兩個銳角互余.定理2有兩個角互余的三角形是直角三角形.∴∠C

=

90°.上面兩個定理的條件和結(jié)論有什么關(guān)系？2acb勾弦股勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.即

a2+b2=c2.勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理.證法1

畢達哥拉斯證法aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵

S大正方形

=

(a

+

b)2

=

a2

+

b2

+

2ab，S大正方形

=4S直角三角形

+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證明欣賞c∵c

2=4×ab+

(b-a)2

c

2=2ab+b

2-

2ab+a

2，c

2=a

2+b

2，∴a

2+b

2=c

2.大正方形的面積可以表示為

；也可以表示為

．c

2

4×ab+(b-

a)

2證法2

趙爽弦圖ca

ca

cb

aabbb如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．勾股定理反過來，怎么敘述呢？這個命題是真命題嗎？為什么？ABC已知：如圖，在

△ABC中，AC

2+BC

2=AB

2.求證：△ABC是直角三角形．例1

證明此命題：分析：構(gòu)造一個直角三角形與

△ABC全等，你能自

己寫出證明過程嗎？證明：作Rt△DEF，使∠E=90°，DE=AC，F(xiàn)E=BC，則

DE

2+EF

2=DF

2(勾股定理).∵AC

2+BC

2=AB

2(已知)，DE=AC，F(xiàn)E=BC(作圖)，∴AB

2=DF

2.∴AB=DF.∴△ABC≌△DFE(SSS).∴∠C=∠E=90°.∴△ABC

是直角三角形．DFE

┏ABC定義總結(jié)勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．(定理3)定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．(定理4)上面兩個定理的條件和結(jié)論有什么關(guān)系？互逆命題與互逆定理3合作探究觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?第三個定理和第四個定理呢?與同伴交流.觀察上面三組命題，你發(fā)現(xiàn)了什么?如果兩個角是對頂角，那么它們相等；如果兩個角相等，那么它們是對頂角.說出下列命題的條件和結(jié)論：如果小明患了肺炎，那么他一定會發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個三角形中相等的邊所對的角相等；一個三角形中相等的角所對的邊相等.歸納總結(jié)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題.

如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它的逆命題.

你能寫出命題“如果兩個有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?

它們都是真命題嗎?想一想逆命題：如果兩個有理數(shù)的平方相等，那么這兩個有理數(shù)相等.舉特例：原命題：2=2，22=22；逆命題：(2)2=(-2)2，2≠

-2此原命題是真命題；逆命題是假命題.1.說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；(2)如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；內(nèi)錯角相等，兩條直線平行.如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等.

成立不成立練一練

如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.如：“定理1與定理2”“定理3與定理4”都為互逆定理.(1)命題有真有假，而定理都是真命題；(2)每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；(3)原命題的真假與其逆命題的真假沒有關(guān)系.歸納總結(jié)注意直角三角形角的性質(zhì)邊的性質(zhì)勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形定理1：直角三角形的兩個銳角互余定理2：有兩個角互余的三角形是直角三角形互逆命題與互逆定理互逆命題互逆定理一個定理的逆命題也是定理，這兩個定理叫做互逆定理第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論；第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件.概念概念1.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊

AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將

△ABC折疊，使點

B與點

A重合，折痕為

DE，則

BE的長為(

)A.4cm B.5cmC.6cm

D.10cm【解析】Rt△ABC中，AB

2=AC

2+BC

2=100，∴

AB=10cm.BE=AB=5c