人教B 版高中數(shù)學(xué)必修一單元測試題及答案解析

最新人教B版高中數(shù)學(xué)必修一單元測試題及答案解析

章末綜合測評(píng)(一)集合

(時(shí)間120分鐘，滿分150分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.若集合4={x￡R|a%2+ax+l=0}中只有一個(gè)元素，則a=()

A.4B.2

C.0D.0或4

【解析】由/+辦+i=o只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可得當(dāng)。二0時(shí)，方程無實(shí)

數(shù)解；當(dāng)aWO時(shí)，則/=后-4。=0，解得a=4(a=0不合題意舍去).

【答案】A

2.集合4={x￡Z|—2Wx<3}用列舉法可表示為()

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2)

C.{—2,-1,0,1,2}D.{-2,0,1,2,3}

【解析】A={x￡Z|-2Wx<3}={-2,-1,0,1,2}.

【答案】C

3.若集合〃={x|a+4)(x+l)=0},N={x|(x—4)(x—l)=0},則MCN=

()

A.{1,4}B.{-1,-4)

C.{0}D.0

【解析】?："={x|(x+4)(x+1)=0}={-4,-1},N={x|(x-4)(%-1)=

0}={1,4},:.MHN=0.

【答案】D

4.下面說法中正確的個(gè)數(shù)是()

①集合N+中最小的數(shù)是1；

②若一〃N+,則a￡N+；

③若a￡N+,6￡N+,則a+6的最小值是2；

④f+4=4x的解集是由“2,2”組成的集合.

A.0B.1

C.2D,3

【解析】N+是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1,故①正確；當(dāng)a=0時(shí)，-

演N+,且。飆+,故②錯(cuò)；若a￡N+,則a的最小值是1,又66N+,b的最小

值也是1,當(dāng)a和/）都取最小值時(shí)，a+6取最小值2,故③正確；由集合元素的

互異性知④是錯(cuò)誤的，故①③正確.

【答案】C

5.已知集合用={1,0,—1},N={x\x=ah,a,b^M],則集合〃與集合

N的關(guān)系是（）

A.M=NB.M副

C.M^ND.以上都不正確

【解析】由于"={1,0,-1）,N={x\x=ab,a,h^M}={l,0,-1）,

故有"=N.

【答案】A

6.下面給出的幾個(gè)關(guān)系中：①{0}G{a,b}；②{（a,6）}={a,b}；③{a,

b}^{b,a}；④0￡{0}.正確的是（）

A.①③B.②③

C.③④D.②④

【解析】顯然①②錯(cuò)誤；因?yàn)閧a.b]={b.a],所以③正確；又空集是任

何集合的子集，④正確.

【答案】C

7.已知全集。=4U3中有小個(gè)元素，[/U[曲中有，個(gè)元素.若/G3

是非空集合，則4cB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.mnB.m-\~n

C.n—mD.m-n

m-n

【解析】畫出Venn圖，如圖.

?;U=AUB中有m個(gè)元素，

[中=中有n個(gè)元素，

/G3中有加-〃個(gè)元素.

【答案】D

圖1

8.如圖1,/為全集，M,P,S是/的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合

是()

A.(MG尸)GS

B.(MAP)US

C.

D.(MnP)U(C/5)

【解析】設(shè)陰影部分為集合/，顯然但如S,故選C.

【答案】C

9.已知集合/={工僅2—3x+2=0,x￡R},B={x[0<r<5,x￡N},則滿足條

件NCCC3的集合。的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2

C.3D.4

【解析】由Y2-3%+2=0,得x=l或x=2,

由題意知3={123,4}?.滿足條件的?？蔀閧1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}

共4個(gè).

【答案】D

10.對(duì)于集合4B,定義Z-8={x|x￡4且1陣團(tuán)，A十B=(A—B)U(B—

A).設(shè)〃={1,2,345,6},N={4,5,678,9,10},則"十N中元素個(gè)數(shù)為()

A.5B.6

C.7D.4

【解析】vM={1,2,34,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10},

：.M-N={x|x￡M,且x^N}={1,2,3},

N-M={x\x^N,且遙〃}={7,8,9,10).

十N=(M-7V)U(N-{l,2,3}U{7,8,9,10}={1,2,3,7,8,9,10).

【答案】C

11.設(shè)集合U={a,h,c},則滿足條件[認(rèn)MUN)={c}的集合〃和"有()

A.5組B.7組

C.9組D.11組

【解析】由題意知：A/UN={a,6},故集合A/和N可以為：

M=0,[M={a},\M={Z)},

<<<

N={a,6}；[N={a,6}或{6}；[N={a,6}或{a}；

M={a,b},,

共9組.

N=0或{a,6}或{a}或{6},

【答案】C

12.集合4={x|—2WxWa},B={y\y=2x+3,x^A},C={yly=x2,%￡/},

且CCB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.；WaW3B.一

C.2WaW3D.一1&W3

【解析】因?yàn)?2WxWa，所以-lW2x+3W2a+3，所以3={歹|-1WyW2a

+3},

當(dāng)-2WaW0時(shí)，C=3a2wyW4},因?yàn)?lW2a+3W3,不可能有CJB；

當(dāng)0<aW2時(shí)，C={y|0WyW4},

為使CJB，應(yīng)有2a+3N4,解得,所以;WaW2；當(dāng)a>2時(shí)，C=

{ylOWyv/},令2a+32/,解得-lWaW3,

所以有2<aW3，綜上可得吳aW3.故選A.

【答案】A

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫

線上）

13.設(shè)參加某會(huì)議的代表構(gòu)成集合4其中的全體女代表構(gòu)成集合&全體

男代表構(gòu)成集合3則BUC=.（域N"或方”或O

【解析】BUC表示參加該會(huì)議的全體女代表和全體男代表構(gòu)成的集合即

為集合/,故3UC=4

【答案】A

14.設(shè)集合/={—1,1,3},B={a+2,/+由,AQB={3},則實(shí)數(shù)。的值

【解析】由題意知，a2+4>3，故a+2=3,即a=l,經(jīng)驗(yàn)證，a=1符合

題意,：.a=1.

【答案】1

15.定義集合運(yùn)算/X3={(x,y)\x^A,y^B},若/={-1,0,1},B={2

014,2015},則集合NX3中的元素個(gè)數(shù)為.

【解析】?；/={-1,0,1},5={2014,2015),

.\AXB={(-1,2014),(-1,2015),(0,2014),(0,2015),(1,2014),(1,2

015)),因此4X3中的元素個(gè)數(shù)為6.

【答案】6

16.某高級(jí)中學(xué)高三特長班有100名學(xué)生，其中學(xué)繪畫的學(xué)生67人，學(xué)音

樂的學(xué)生65人，則同時(shí)學(xué)繪畫和音樂的學(xué)生至少有人.

【解析】設(shè)該高級(jí)中學(xué)高三特長班的100名學(xué)生構(gòu)成全集。，學(xué)繪畫的

學(xué)生構(gòu)成集合Z,學(xué)音樂的學(xué)生構(gòu)成集合3,同時(shí)學(xué)繪畫和音樂的學(xué)生有x人，

則學(xué)繪畫但不學(xué)音樂的學(xué)生有(67-%)人，學(xué)音樂但不學(xué)繪畫的學(xué)生有(65-%)人，

如圖所示，

則/U3中的人數(shù)是(67-x)+x+(65-x)=132-x.

又ZU3中的人數(shù)不大于全集。中的人數(shù)，則132-xW100,解得x232,

所以同時(shí)學(xué)繪畫和音樂的學(xué)生至少有32人.

【答案】32

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知全集。={0,1,2,3},集合/={1,m},集合8

={1,0},集合。={1,2},且Z=A

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)求2nc,AUC,

【解】⑴由于4=8,即{1,加}={1,0},則有〃?=0.

(2)由⑴知4={0,1},則[必={2,3},

所以/門。={0,1}門{1,2}={1},

^UC={O,1}U{1,2}={0,1,2),

cn「M={i,2}n{2,3}={2}.

18.(本小題滿分12分)已知集合力={x|lWx<7},3={x[2<x<10},C={x|x<a},

全集為實(shí)數(shù)集R.

⑴求ZUS[R4G8；

(2)求ADC.

【解】(1MU5={X|1^JC<10},

1即5={小<1,或%27}G{M2a<10}=W<10}.

(2)當(dāng)aWl時(shí)，NCC=0.

當(dāng)l<a<7時(shí)，/ClC={x|lWx<a},

當(dāng)aN7時(shí)，4GC={x|lWx<7}.

19.(本小題滿分12分)設(shè)二次方程￥+"+6=0和?+^+15=0的解集

分別是4和3,又4U3={3,5},/G3={3},求a,6,c的值.

【解】A5={3},.,.3一定為方程f+cx+15=0的根，于是。=-8,

將c=-8代回方程得方程的兩根為3,5,

又?.?/U3={3,5},/G3={3},

方程?+"+b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為3,

3+3=-a,3X3=b.

：.a=-6,b=9,c=-8.

20.(本小題滿分12分)已知集合4={%|aW%Wa+3},5={x|x<—1,或x>5},

全集U=R

(1)若4GB=。，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若［述M,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解】(l)；a<a+3對(duì)任意a￡R恒成立，

：.A^0.

-1,

又ZGB=0,則…-14W2.

a+3W5,

(2),/B={x|x<-1,或x>5},

CuB-{x|-1W%W5},若/￡［uBi

aN-1,

則…

a+3W5,

-KW2.

故［/M時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<-1或a>2.

21.(本小題滿分12分)已知集合尸={x|a+lWxW2a+l},Q={x|lW2x+

5W15},

(1)已知。=3,求[RPG。；

(2)若PU0=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解】⑴?.?“=3,.?.集合尸={]|4WxW7},

;.[/={X|X<4或x>7},

0={x|lW2x+5W15}={x|-24<5},

二[RPG0={X|-2WX<4}.

(2)?.?PUQ=Q,.?.尸QQ.

①當(dāng)a+l>2a+1,即a<0時(shí)，P=。，，尸仁。；

②當(dāng)a20時(shí)，.?.PC。，.da+lN-2,「.OWaWZ.

、2a+1W5,

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|aW2}.

22.(本小題滿分12分)已知力={沖;2—2x—8=0},B={x\x2+ax+a2-12=

0).若8UZWZ,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解】若BUA=A,貝I」BJA,又因?yàn)锳={x\x2-2r-8=0}={-2,4},

所以集合3有以下三種情況：

①當(dāng)8=。時(shí)，/=02_縱/-12)<0,即a2>16,

a<-4或a>4.

②當(dāng)8是單元素集時(shí)，/=力-4(a2-12)=0,

：.a=-4或a=4.

若a=-4,則3={2}D/；若a=4,則3={-2}￡4

/.Q=4.

③當(dāng)8={-2,4}時(shí)，-2,4是方程％2+辦+/-12=0的兩根，

-a-

?<-2+4,

a-12=-2X4,

?'?Q二"2.

綜上可得，8UZ=/時(shí)，a的取值范圍為a<-4或a=-2或aN4.

滿足3U/WZ的實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|-4Wa<4,且aW-2}.

章末綜合測評(píng)（二）函數(shù)

（時(shí)間120分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）

1

A.y=x—1和尸x+]

B.y=x°和y=l

C.fix）=尤2和g（jc）=（x+1）2

D-〃尸噌和ga尸俞

【解析】A、B中兩函數(shù)的定義域不同；C中兩函數(shù)的解析式不同.

【答案】D

2.函數(shù)二的定義域是（）

Ji

A.[―1,+°°）

B.（一8,0）U（0,+8）

C.[-l,0）U（0,+8）

D.R

1+x20,

【解析】要使函數(shù)有意義，需滿足一C

即x2-1且xWO.

【答案】C

3.設(shè)集合4={-1,3,5},若/：xf2x—1是集合/到集合8的映射，則集

合3可以是（）

A.{0,2,3}B.{1,2,3)

C.{-3,5}D.{-3,5,9}

【解析】當(dāng)x=-1,3,5時(shí)對(duì)應(yīng)的2x-1的值分別為-3,5,9.

【答案】D

4./(%)為奇函數(shù)，且在(一8,0)上是增函數(shù)；g(x)為偶函數(shù)，且在(一8,

0)上是增函數(shù)，則在(0,+8)上()

A.小)和g(x)都是增函數(shù)

B./(X)和g(x)都是減函數(shù)

C./(X)為增函數(shù)，g(x)為減函數(shù)

D.加)為減函數(shù)，g(x)為增函數(shù)

【解析】定義在R上的奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，定

義在R上的偶函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，故應(yīng)選C.

【答案】C

5.若偶函數(shù)7U)在區(qū)間(-8,—1］上是增函數(shù)，則()

A.^-1</(-D</(2)

B.,/(-1)<^-|)</(2)

C.寅2)</(-1)4-11

D.<2)《一|卜一1)

【解析】由小)是偶函數(shù)，得/2)=八-2),又於)在區(qū)間(-8,-1］上是

增函數(shù)，且-2<-1<-1,則/(2)《-1)</(-1).

【答案】D

6.若函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x—1,則當(dāng)x<0時(shí)一，有()

A.〃)〉0B.於)<0

C.加皿一x)W0D.〃)一A—x)>0

【解析】?.?函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，令x<0,則-x>0

:.艮-x)=-X-1,-.7(-x)=-fix),=x+l

：.當(dāng)x<0時(shí)，火x)=x+1,此時(shí)加)=x+1的函數(shù)值符號(hào)不確定，因此排除

選項(xiàng)A,B,

'-(x+l)2,(x<0)

???加?(-x)=J0,(X=O)

、-(X-1)2,(X>O)

兀?-x)WO成立,選項(xiàng)C符合題意.

【答案】C

7.已知函數(shù)/%—；|=/++，則<3)等于()

A.8B.9

C.11D.10

【解析】卜f+》Hb+2,

設(shè)x'=，，+2,

X

即“X)=%2+2,

.\/(3)=32+2=11.

【答案】C

8.若函數(shù)於)和g(x)都是奇函數(shù)，且尸(%)=4/)+/(%)+2在(0,+8)上有

最大值5,則人(%)在(一8,0)±()

A.有最小值一5B.有最大值一5

C.有最小值一1D.有最大值一3

【解析】設(shè)〃(x)=磯￥)+6g(x),則F(x)=//(%)+2,

且人。)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)W5,即〃(x)+2W5,

/z(x)W3.設(shè)x<0,則-%>0,:.h(-x)W3,

h(x)2-3,F(x)-/z(x)+22-1.

【答案】C

9.函數(shù)7=函+3=—1(x22)的值域是()

A.3?+°°)B.[6+^3,+8)

C.[6,+8)D.他+oo)

【解析】?=3x+機(jī)2x-1在[2,+8)上是增函數(shù)，

；Jmin=3X2+^2X2-1

=6+小.

.?)=3x+、2x-l(xN2)的值域?yàn)閇6+小,+8).

【答案】B

10.某商場宣傳在節(jié)假日對(duì)顧客購物實(shí)行一定的優(yōu)惠，商場規(guī)定：

①如一次購物不超過200元，不予以折扣；

②如一次購物超過200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)予以九折優(yōu)惠；

③如一次購物超過500元的，其中500元給予九折優(yōu)惠，超過500元的給

予八五折優(yōu)惠.

某人兩次去購物，分別付款176元和432元，如果他只去一次購買同樣的

商品，則應(yīng)付款()

A.608元B.574.1元

C.582.6元D.456.8元

【解析】由題意得，購物付款432元，實(shí)際標(biāo)價(jià)為432乂號(hào)=480元，如

果一次購買標(biāo)價(jià)176+480=656元的商品應(yīng)付款500X0.9+156X0.85=582.6

元.

【答案】C

11.如果函數(shù)八x)=f+6x+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有八2+。=/(2—。，那么

()

A.火2)勺⑴</(4)B.火1)</(2)</⑷

C.,/(4)</(2)<ADD./(2)</(4)<Al)

【解析】由火2+。=犬2-t),可知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2,再由二次

函數(shù)的單調(diào)性，可得負(fù)2)勺(1)勺(4).

【答案】A

12.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足於-4)=一/(x),且在區(qū)間。2］上是

增函數(shù)，若方程外)=)(加>0)在區(qū)間［—8,8］上有四個(gè)不同的根修，%2，%3，%4，

則％1+必+%3+%4等于()

A.—6B.6

C.-8D.8

【解析】?.?危)為定義在R上的奇函數(shù)，

且滿足/a-4)=-/X),

.'.fix-4)=/-JC).

,函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱且/(0)=0.由加-4)=-於)知於-8)=〃).

又；危)在區(qū)間［0,2］上是增函數(shù),

.?./(%)在區(qū)間［-2,0］上也是增函數(shù)，如圖所示，那么方程.危)=〃2(〃?>0)在區(qū)

間［-8,8］上有四個(gè)不同的根r、4/不妨設(shè)^l<r2<^3<^4.

：.X\+X2=-12,%3+%4=4.

：.X\+%2+%3+%4=-8.

;<(%)=m(m>0)

【答案】C

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫

線上)

2x+1,%20,

13.已知函數(shù)/(%)=則/(-3)=，

/(x+2),x<0,

【解析】V-3<0,-3)=./(-3+2)=./(-1)=/(-1+2)=/(1).

V1>0,.-./(I)=2X1+1=3.

-3)=3.

【答案】3

14.已知j(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)％的取值范圍為

【解析】?./x)在R上是減函數(shù)，

.".-<1,解得x>l或x<0.

X

【答案】(一8,O)U(1,+8)

15.已知函數(shù)人工)的圖象如圖1所示，則/(幻的解析式是

圖1

【解析】設(shè)函數(shù)解析式為歹="+6,利用待定系數(shù)法求解.

%+1,—lWx<0,

【答案】

04W1

16.對(duì)于定義在R上的任意函數(shù)/(x),若實(shí)數(shù)的滿足/(沏)=尤0，則稱xo是

函數(shù)/(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).若二次函數(shù)"+1沒有不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是_______.

【解析】若二次函數(shù)-ax+\有不動(dòng)點(diǎn)，則方程x-ax+\=x,

即f-3+1)%+1=0有實(shí)數(shù)解.

.../=(a+1)2_4=j+2a-3=(a+3)(。-1)20,

-3或a21.

當(dāng)函數(shù)/(尤)-辦+1沒有不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<”1.

【答案】一3<a<l

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知直角三角形43C的面積是丹ABLAC^\AB\

=x-1,|%C|=x+l,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的定義域.

【解】由于△43C是直角三角形，

則有y=^AB\-\AC\=-1)(JC+1)=1,

\\AB\=x-l>0,

由題意得“?,解得x>L

[|NC|=x+l>n0,

所以函數(shù)的定義域是(1,+8).

18.(本小題滿分12分)若/(x)對(duì)x￡R恒有4幻一/(一%)=3%+1,求/(%).

【解】4%)-/(T)=3X+1,①

將①中的x換為-x,得加7)-次幻=-3x+l,②

2/(x)-X-x)=3x+l,

①②聯(lián)立,得

W-x)-7U)=-3x+l,

把人x)與人-%)看成未知數(shù)解得義工)=x+1.

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)次x)=|x—l|+W+l|(x￡R),

(1)證明：函數(shù)_/(%)是偶函數(shù)；

(2)利用絕對(duì)值及分段函數(shù)知識(shí)，將函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)，然后畫出函

數(shù)圖象；

(3)寫出函數(shù)的值域.

【解】(1)由于函數(shù)定義域是R,fiX-x)=|-X-1|+|-x+1|=|A;+l|+|x

-1|=/W.

,於)是偶函數(shù)?

，-2x(x<-1),

(2依)={2(-IWxWl),

、2x(x>l),

圖象如圖所示：

(3)由函數(shù)圖象知，函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8).

2x+1

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=-pp

(1)判斷函數(shù)在區(qū)間［1,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；

(2)求該函數(shù)在區(qū)間［1,4］上的最大值與最小值.

【解】(l?(x)在［1,+8)上是增函數(shù).證明如下：任取X］,12《口，+8),

且％1。2/

2修+12x+1

加D-於2)==-京277

____羽--2

一(X］+1)(應(yīng)+1),

VX1-必<0,(修+1)(X2+1)>0>

所以/3)-Xx2)<0,

/(修)勺(X2),

所以函數(shù)外)在［1,+8)上是增函數(shù).

2X4+19

⑵由⑴知函數(shù).危)在［1,4］上是增函數(shù).最大值為.4)=,最小值

2X1+13

為川)

1+12,

21.(本小題滿分12分)大氣中的溫度隨著高度的上升而降低，根據(jù)實(shí)測的

結(jié)果上升到12km為止溫度的降低大體上與升高的距離成正比，在12km以上

溫度一定，保持在一55℃.

(1)當(dāng)?shù)厍虮砻娲髿獾臏囟仁莂℃時(shí)一，在xkm的上空為歹℃,求a,x,歹間

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)問當(dāng)?shù)乇淼臏囟仁?9℃時(shí)，3km上空的溫度是多少?

【解】(1)由題設(shè)知，可設(shè)歹-a=H(0WxW12,RO)，即尸a+丘

依題意，當(dāng)x=12時(shí)，y=-55,

-55=a+12k,

55+a

A解侍Tk1=--高一

當(dāng)O4W12時(shí),y-a-三(55+Q)(O4W12).

又當(dāng)x>12時(shí)，歹=-55.

.??所求的函數(shù)關(guān)系式為

\a-言(55+a),(0?12),

、-55,(%>12).

(2)當(dāng)a=29,x=3時(shí)，>=29-亮(55+29)=8,

即3km上空的溫度為8℃.

22.體小題滿分12分)設(shè)函數(shù)小)的定義域?yàn)椤?{x|x￡R且x>0},且滿足

條件<4)=1.對(duì)任意的X],X2^U,有汽/42)=火占)+火工2)，且當(dāng)修力必時(shí)，有

八%2)一八%1)〉0

X2~X]

⑴求/⑴的值；

(2)如果/(x+6)+外)>2,求尤的取值范圍.

【解】(1)因?yàn)閷?duì)任意的X],X2^U,有人孫必)=7U1)+八工2),

所以令乃=歷=1,得火ixi)=/a)+/a)=wi),所以/a)=o.

(2)設(shè)0<Xi<x2,貝I」必-%1>0.

■fe)-加〉0

又因?yàn)楫?dāng)尤1WM時(shí),

X2-X]

所以兀⑸-/^1)>0,即八工2)>八%1),

所以/(X)在定義域內(nèi)為增函數(shù).

令修=必=4,得/(4*4)=/(4)+火4)=1+1=2,

即川6)=2.

%+6>0,

當(dāng)八即x>0時(shí)，

原不等式可化為+6)J>/(16).

又因?yàn)?(x)在定義域上為增函數(shù)，

所以x(x+6)>16,解得x>2或x<-8.

又因?yàn)閤>0,所以x>2.

所以x的取值范圍為(2,+8).

章末綜合測評(píng)(三)基本初等函數(shù)(I)

(時(shí)間120分鐘，滿分150分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.與函數(shù)_y=\)的圖象關(guān)于直線丁=%對(duì)稱的函數(shù)是()

A.y=4xB.y=4~x

C.y=log]XD.>=k)g4%

【解析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)知，與函數(shù)歹=6]的圖象關(guān)于直線y

=%對(duì)稱的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y=log]X,故選C.

4

【答案】C

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y=ln(x+2)B.y=—\/%+1

C.尸(0D.y=x2—2x

【解析】>=1!1(%+2)的定義域?yàn)?-2,+8)，在(0,+8)上遞增;y=-yjX+1

X

的定義域?yàn)椋?1,+8),在(0,+8)上遞減；y=的定義域?yàn)镽,在(0,+

8)上遞減；y=*-2%的定義域?yàn)镽,在(1,+8)上遞增，在(0』)上遞減.故選

A.

【答案】A

3.函數(shù)y=Jlog工(L1)的定義域是()

A.(1,+8)B.(2,+8)

C.(—8,2]D.(1,2]

【解析】由logi(x-l)^0,

得0<x-1W1,

二.l〈xW2.

【答案】D

4.設(shè)事函數(shù)兀0的圖象經(jīng)過點(diǎn)生小)，設(shè)0<質(zhì)1,則火。)與尸⑷的大小關(guān)

系是()

A.f\a)>fia)B.f\a)=J[d}

C./匕)<Xa)D.不確定

【解析】設(shè)火“)=」,將點(diǎn)修詞的坐標(biāo)代入得：小=住),4-

/./(%)=X2,即>=/,

：.x=y-2

.?.廣(x)=x

又0<a<l,

.?./(砂加).

故選A.

【答案】A

5.設(shè)函數(shù)八x)=<IN1，O'。),若/3)=1,則“的值為()

JogzC+x),(x>0),

A.-1B.1

C.-1或1D.—1或1或一2

【解析】,.1/(?)=1,

1og2(7+a)=1,

或<a+a>0,(B+a>Q與q>o的公共解為a>0)

、a>0,

[QWO[a>0.

：.a=-1或a=1.

【答案】C

6.若a>6>0,0VcVl,則()

A.logac<log/)cB.log/〈log/

C.ac<bcD.ca>cb

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：logoc=,log6c=,,/0<c<1,1gc<0.

而a>6>0,1ga>1g6,但不能確定1ga,igb的正負(fù),/.logttc與log。的大

小不能確定.對(duì)于選項(xiàng)B：logca=瞿,logcZ)=瞿，而1ga>1g6,兩邊同乘一

個(gè)負(fù)數(shù)士:不等號(hào)方向改變，.?.10g/<log/，二選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C：利用

y=xc(0<cY1)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，可得/>bc,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)

D:利用y="(0<c<1)在R上為減函數(shù)，可得ca<cb,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選B.

【答案】B

(2)

7.函數(shù)次x)=lg1二一1J,x￡(—1,1)的圖象關(guān)于()

A.y軸對(duì)稱B.%軸對(duì)稱

C.原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

1+X

【解析】加)=1取7^,%￡(-1,1),

???義7)=1京]-X=可不)=Tg1K+x=--)?

即/(x)為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

【答案】C

8.若/(x)=log,/(a〉0且a#l),“X)的反函數(shù)為g(x),且g(2)<l,則加)的圖

象是()

【解析】g(x)=ax(a>0且aW1),.\g(2)=(72<1,故0<4<1,

.?./(%)=log/是減函數(shù)，應(yīng)選B.

【答案】B

9.已知函數(shù)危)滿足：於)冽%|且?r)22x,%￡R.()

A.若/(a)W|6|,則aW：

B.若/3)W2',則aWb

C.若火a)川引,則心：

D.若/(a)22，則a26

【解析】?.,/(x)N|x|21al.若/⑷W|〃，則|a|W|〃A項(xiàng)錯(cuò)誤若/⑷冽加

且加)2⑷,無法推出a，b,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.?.?加)22”,.?.造箕2:若｛a)<2j

則2022a,故b>a,B項(xiàng)正確.若加）22°且｛Q）》2a,無法推出心b，故D項(xiàng)

錯(cuò)誤.故選B.

【答案】B

10.已知定義在R上的函數(shù)_/(%)=2.一""一1(相為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a=

,/(log0.53),Z)=/(log25),c=/(2M，則。,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【解析】由小戶2小刑-1是偶函數(shù)可知加=0,所以外)=2W-1.

所以a=/(log0,53)=2|log0.53|-1=21og23-1=2,

b=Xlog25)=2|log25|-1=210g25-1=4,

c=/(0)=2陰-1=0,所以c<a<b.

【答案】C

2V+1

11.若函數(shù)/(x)=汨與是奇函數(shù)，則使大x)>3成立的x的取值范圍為()

A.(—8,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,+8)

2'x+1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)尸/⑴為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),即不一=-

Z-CI

2、+1八小一，0r,2'+12x+12X+1-3(2V-1)工人一

2犬_q.化面可將1a=\,則2》_]>3,即ari2工_]-3>0,即>0,故不

2V-2

等式可化為kT<0,即1<2X<2,解得0<x<l,故選C

【答案】c

12.函數(shù)〉=QX-2(Q>0且aWl,—IWXWI)的值域是一|,1,則實(shí)數(shù)a

=()

A.3B.§

C.3或！Dg或1

【解析】當(dāng)a>1時(shí)，La、-2在［-1,1］上為增函數(shù)，

［a-2=1,

,V1C5解得4=3；

〔az3，

當(dāng)0<a<1時(shí)，y=2在［-1,1］上為減函數(shù),

a-2=-|,

?<

,,1

--2=1,

解得a=；.

綜上可知Q=3或

【答案】C

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫

線上）

13.計(jì)算卜g1—1g25,100J.

1

1

4-

2-

式

原=O2

25

=lgl0'24-^=-2X10=-20.

【答案】-20

14.化簡：\layla\[a=.

[解析]Na\]a小=\/a-(a-a2)2=a3.

7

【答案】滔

15.設(shè)函數(shù)y=x2—2x,x^[—2,a\,若函數(shù)的最小值為g(a),則g(a)=

【解析】?.?函數(shù)戶2y=(x-1)2_1的圖象對(duì)稱軸為x=i,

/.當(dāng)-2<aW1時(shí)，Win=g(a)=a2-2a當(dāng)a>\時(shí)，

Jmin=g(a)=T.

a2-2a,(-2<aW1)

...g⑷=<

-1,(a>l)

a2—2a,(—2<aWl)

【答案】

一1，(">1)

16.對(duì)于下列結(jié)論：

①函數(shù)y=a"2(x￡R)的圖象可以由函數(shù)y=/(Q>o且的圖象平移得到；

②函數(shù)歹=2,與函數(shù)y=log2X的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

③方程10g5(2x+l)=k)g5(f—2)的解集為｛—1,3｝；

④函數(shù)歹=ln(1+x)—In(1—x)為奇函數(shù).

其中正確的結(jié)論是_______.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

【解析】y="*2的圖象可由歹="的圖象向左平移2個(gè)單位得到，①正確；

歹=2'與歹=1082］的圖象關(guān)于直線歹=》對(duì)稱，②錯(cuò)誤；

'2x+1=*-2,

由log5g+1)=log5(?-2),得<2x+l>0,

X-2>0,

"x=-1,3,

1

2，

，或x<-啦,

.?.x=3,③錯(cuò)誤；

設(shè)fix)=In(1+x)-In(1-x),定義域?yàn)?-1,1),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,./(-x)=In(1

-x)-In(1+%)=-[In(1+JC)-In(1-%)]=-fix).

.\/U)是奇函數(shù)，④正確.故正確的結(jié)論是①④.

【答案】①④

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)求下列函數(shù)的定義域.

()；(2;

i/w=l-og2(X十1)—3

(2?(%)=1921

【解】(1)要使函數(shù)有意義，

x+1>0,

須滿足I/IO

[log2(jf+1)7^3=log28,

x>-1,

.,.函數(shù)的定義域?yàn)閧小>-1且％W7}.

(2)要使函數(shù)有意義，須滿足：9"J表N0,

1

-

A34X-2^3-3,:.xN-4

1

>-

二函數(shù)的定義域?yàn)椤?\4

18.(本小題滿分12分)若lga,1gb是方程2?—4%+1=0的兩根，求

lg(a力?lg(§]的值.

【解】：lga,1g方是方程2x?-4x+1=0的兩根，

pga+IgZ?=2,

,?[lga-lgb=^.

]lg(ab)=2,

[lga-lgb=^.

Alg("=(1g?-1g

=(1ga+1gb'y-41ga-lgb

=[lg(M)f-41galgb

21

=2--4X-

=2.

??.lg(ab>lg(§]=2X2=4.

19.(本小題滿分12分)求y=(log]X)2—glogF+5在區(qū)間[2,4]上的最大值和

22

最小值.

【解】?.?2WxW4,

/.-2Wlog1%W-1.

2

設(shè)Z=log1X,

2

則-2W/W-1,

1(if79

尸/2一/+5c=6力+而

\?對(duì)稱軸￡=*[-2,-1],

.?/=F5在[-2,-1]上是減函數(shù).

二興-1)00(-2),

13

即當(dāng)t--1時(shí)，^min=y,

當(dāng)片-2時(shí)，如ax=10.

20.(本小題滿分12分)已知/(x)=logaj=3a>0,且QWI).

(1)求/U)的定義域;

(2)求使/(x)>0的x的取值范圍.

1+X

【解】(1)要使.危)有意義，X的取值必須滿足二一>0,

1"X

1+x>0,1+x<0,

即或

1-x〉0,1-%<0,

解得-1<X<1.

故段)的定義域?yàn)?-1,1).

⑵當(dāng)。>1時(shí)，由10gT~~~>0=10gl,

a1-Xa

，口1+%1

侍「7'

-1<X<1,

即II

1+X>1-X.

解得0<x<l.

當(dāng)0<<2<1時(shí),由log“上3>0=logal,

1-X

-1<X<1,

即

1+X<1-X.

解得-l<x<0.

故當(dāng)。>1時(shí)，所求x的取值范圍為04<1；

當(dāng)0<a<l時(shí)，所求x的取值范圍為-l<x<0.

21.(本小題滿分12分)分貝是計(jì)量聲音強(qiáng)度相對(duì)大小的單位.物理學(xué)家引

入了聲壓級(jí)(spl)來描述聲音的大小：把聲壓尸0=2X107帕作為參考聲壓，把所

要測量的聲壓P與參考聲壓外的比值取常用對(duì)數(shù)后乘以20得到的數(shù)值稱為聲

壓級(jí).聲壓級(jí)是聽力學(xué)中最重要的參數(shù)之一，單位是分貝(dB).分貝值在60以

下為無害區(qū)，60?110為過渡區(qū)，110以上為有害區(qū).

(1)根據(jù)上述材料，列出分貝值J與聲壓P的函數(shù)關(guān)系式；

(2)某地聲壓尸=0.002帕，試問該地為以上所說的什么區(qū)？

(3)某晚會(huì)中，觀眾用儀器測量到最響亮的一次音量達(dá)到了90分貝，試求此

時(shí)的聲壓是多少？

【解】(1)由已知，得歹=201靖.

P

又。0=2X05,則歹=20回乂

，入1U

(2)當(dāng)尸=0.002時(shí)，尸201g5=201g102=40(分貝).

RZA1*U

由已知條件知40分貝小于60分貝，所以該地區(qū)為無害區(qū).

(3)由題意，得90=201晶,貝噴=1045,

所以尸=1。4$Po=i04.5x2Xi(y563(帕).

22.(本小題滿分12分)已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足g(2)=4,定義域?yàn)镽的

函數(shù)作尸募卻是奇函數(shù)

(1)確定〉=g(x)的解析式；

(2)求m,n的值；

(3)若對(duì)任意的，￡R,不等式皿2—2。+/(2/一4)<0恒成立，求實(shí)數(shù)攵的取值

范圍.

【解】⑴g(x)=2：

,-2X+n

(2)由⑴知加尸產(chǎn)面.

?.,/(%)在R上是奇函數(shù)，

-1

.\/(0)=0,即;77-=0,：.n=\.

2+m

1-2X

T+x+m

1-21-2

又由/U)=-(1)知屋菰=-赤，解得〃?=2.

1-2V1i

(3)由(2)知/(x)=^7T=-2+FH*

易知道工)在(-8,+8)上為減函數(shù).

又7U)是奇函數(shù)，從而不等式{E-2t)+42*-左)<0等價(jià)于儲(chǔ)-2t)<-而

-k)=f(k-2/),

-2t>k-2t2,3/-2t-k>0.

由判別式4=