2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量的線性運(yùn)算學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGE1-3．1.1空間向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等概念．(重點(diǎn))2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，駕馭數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及運(yùn)算律．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))1.通過(guò)空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助于空間向量的線性運(yùn)算，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．空間向量的概念(1)在空間中，把具有大小和方向的量叫做向量，向量a的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模．空間向量也用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作eq\o(AB,\s\up15(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up15(→))|.(2)幾類特別的空間向量名稱定義及表示零向量起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．假如空間中一些向量的基線相互平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量2.空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律空間向量的運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up15(→))－eq\o(OB,\s\up15(→))數(shù)乘當(dāng)λ＞0時(shí)，λa＝eq\o(QP,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0，當(dāng)λ＜0時(shí)，λa＝eq\o(MN,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))λ＞0λ＜0加法與數(shù)乘運(yùn)算律(1)加法交換律：a＋b＝b＋a；(2)加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(3)安排律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb思索：空間兩個(gè)向量的加減法與平面內(nèi)兩個(gè)向量的加減法完全一樣嗎？[提示]完全一樣．1．下列命題中，假命題是()A．同平面對(duì)量一樣，隨意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B．兩個(gè)相反向量的和為零向量C．只有零向量的模等于0D．空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等D[大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等方向相反的兩個(gè)向量稱為相反向量；隨意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．]2．已知空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(CB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AD,\s\up15(→))＝c，則eq\o(CD,\s\up15(→))等于()A．a(chǎn)＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－cC[eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(CB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝b－a＋c＝－a＋b＋c，故選C.]3．在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(AA1,\s\up15(→))與eq\o(CC1,\s\up15(→))是________向量，向量eq\o(AC,\s\up15(→))與eq\o(C1A1,\s\up15(→))是________向量．[答案]相等相反空間向量的概念及簡(jiǎn)潔應(yīng)用【例1】(1)下列說(shuō)法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))B[|a|＝|b|，說(shuō)明a與b模長(zhǎng)相等，但方向不確定，對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B(niǎo)正確．只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律，一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．](2)如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：①試寫(xiě)出與eq\o(AB,\s\up15(→))相等的全部向量；②試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up15(→))的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up15(→))的模．[解]①與向量eq\o(AB,\s\up15(→))相等的全部向量(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))及eq\o(D1C1,\s\up15(→))共3個(gè)．②向量eq\o(AA1,\s\up15(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up15(→))，eq\o(B1B,\s\up15(→))，eq\o(C1C,\s\up15(→))，eq\o(D1D,\s\up15(→)).③|eq\o(AC1,\s\up15(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up15(→))|2＋|\o(AD,\s\up15(→))|2＋|\o(AA1,\s\up15(→))|2))＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.1兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方向不確定，即兩個(gè)向量非零向量的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件.2嫻熟駕馭空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運(yùn)算法則及向量加法的運(yùn)算律是解決好這類問(wèn)題的關(guān)鍵.1．給出下列命題：①零向量沒(méi)有確定的方向；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(A1C1,\s\up15(→))；③若向量a與向量b的模相等，則a＝b.其中正確命題的序號(hào)是________．①②[①正確；②正確，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up15(→))與eq\o(A1C1,\s\up15(→))的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a與b不肯定相等．綜上可知，正確命題為①②.]2．下列四個(gè)命題：①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若a，b滿意|a|>|b|且a，b同向，則a>b；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④對(duì)于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號(hào)為()A．①②③ B．④C．③④ D．①④B[對(duì)于①：長(zhǎng)度相等且方向相反的兩個(gè)向量是相反向量，故①錯(cuò)；對(duì)于②：向量是不能比較大小的，故不正確；對(duì)于③：不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，故③錯(cuò)；只有④正確．]空間向量的加、減法運(yùn)算[探究問(wèn)題]向量加法的三角形法則和平行四邊形法則及向量減法的三角形法則有什么特點(diǎn)？[提示](1)空間中隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，因此，它們的加減法運(yùn)算類似于平面對(duì)量的加減法．(2)若兩個(gè)空間向量的始點(diǎn)相同，則這兩個(gè)向量即為平面對(duì)量．求這兩個(gè)向量之和時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮平行四邊形法則．(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)，因此為便于記憶，常把這個(gè)和向量叫做“封口向量”，求空間中若干向量之和時(shí)，可通過(guò)平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量．【例2】如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→)).[思路探究]借助向量運(yùn)算的三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行運(yùn)算．[解](1)eq\o(AA′,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AD′,\s\up15(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝(eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝eq\o(AB′,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→)).向量eq\o(AD′,\s\up15(→))、eq\o(AC′,\s\up15(→))如圖所示．1．(變結(jié)論)利用本例圖，化簡(jiǎn)eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＋eq\o(C′A,\s\up15(→)).[解]結(jié)合加法運(yùn)算eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＝eq\o(AB′,\s\up15(→))，eq\o(AB′,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))，eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\o(C′A,\s\up15(→))＝0.故eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\o(B′C′,\s\up15(→))＋eq\o(C′A,\s\up15(→))＝0.2．(變結(jié)論)利用本例圖，求證eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AB′,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→))＝2eq\o(AC′,\s\up15(→)).[證明]長(zhǎng)方體的六個(gè)面均為平行四邊形．∴eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(AB′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→))，eq\o(AD′,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→))，∴eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AB′,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→)))＋(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＋(eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))＝2(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→)))．又∵eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\o(CC′,\s\up15(→))，eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CC′,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CC′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→)).∴eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(AB′,\s\up15(→))＋eq\o(AD′,\s\up15(→))＝2eq\o(AC′,\s\up15(→)).(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up15(→))＋eq\o(A2A3,\s\up15(→))＋eq\o(A3A4,\s\up15(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up15(→)).(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(FG,\s\up15(→))＋eq\o(GH,\s\up15(→))＋eq\o(HO,\s\up15(→))＝0.(3)空間向量的減法運(yùn)算也可以看成是向量的加法運(yùn)算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空間隨意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，而平面對(duì)量滿意加法交換律，因此空間向量也滿意加法交換律．(5)空間向量加法結(jié)合律的證明：如圖，(a＋b)＋c＝(eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→)))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，a＋(b＋c)＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．?dāng)?shù)乘向量運(yùn)算【例3】如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AD,\s\up15(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up15(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up15(→))；(3)eq\o(MP,\s\up15(→))＋eq\o(NC1,\s\up15(→)).[思路探究]將所求向量置于適當(dāng)?shù)娜切位蚨噙呅沃?，利用三角形法則、平行四邊形法則或首尾相接的方法，將所求向量表示出來(lái)，然后化簡(jiǎn)整理．[解](1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(AA1,\s\up15(→))＋eq\o(A1D1,\s\up15(→))＋eq\o(D1P,\s\up15(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up15(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up15(→))＝eq\o(A1A,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BN,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up15(→))＋eq\o(AP,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up15(→))＝eq\o(NC,\s\up15(→))＋eq\o(CC1,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AA1,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AA1,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up15(→))＋eq\o(NC1,\s\up15(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧1數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合詳細(xì)圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.2明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).提示：利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來(lái).3．如圖，已知ABCD為正方形，P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y的值：(1)eq\o(OQ,\s\up15(→))＝eq\o(PQ,\s\up15(→))＋xeq\o(PC,\s\up15(→))＋yeq\o(PA,\s\up15(→))；(2)eq\o(PA,\s\up15(→))＝xeq\o(PO,\s\up15(→))＋yeq\o(PQ,\s\up15(→))＋eq\o(PD,\s\up15(→)).[解](1)∵eq\o(OQ,\s\up15(→))＝eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\o(PO,\s\up15(→))＝eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→)))＝eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up15(→))，∴x＝y(tǒng)＝－eq\f(1,2).(2)∵eq\o(PA,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))＝2eq\o(PO,\s\up15(→))，∴eq\o(PA,\s\up15(→))＝2eq\o(PO,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→)).又∵eq\o(PC,\s\up15(→))＋eq\o(PD,\s\up15(→))＝2eq\o(PQ,\s\up15(→))，∴eq\o(PC,\s\up15(→))＝2eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\o(PD,\s\up15(→)).從而有eq\o(PA,\s\up15(→))＝2eq\o(PO,\s\up15(→))－(2eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\o(PD,\s\up15(→)))＝2eq\o(PO,\s\up15(→))－2eq\o(PQ,\s\up15(→))