高一數(shù)學講義（人教A版2019）542正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（八大題型）

5．4．2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 3【典型例題】 6題型一：正余弦函數(shù)的周期問題 6題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題 8題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題 11題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題 15題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題 18題型六：比較大小 23題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題 25題型八：正余弦函數(shù)的綜合應用 29

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：周期函數(shù)函數(shù)，定義域為，當時，都有，其中是一個非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，是它的一個周期．知識點詮釋：1、定義是對中的每一個值來說的，只有個別的值滿足或只差個別的值不滿足都不能說是的一個周期．2、對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期．知識點二：正弦函數(shù)性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)定義域值域奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點；最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）正弦函數(shù)的值域為，是指整個正弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的正弦曲線，如果定義域不是全體實數(shù)，那么正弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，易錯點有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時，應先將變換為再求解，相當于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．知識點三：正弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．（4）奇偶性：正弦型函數(shù)不一定具備奇偶性．對于函數(shù)，當時為奇函數(shù)，當時為偶函數(shù)．知識點詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關結論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關于原點對稱”這一前提條件．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．知識點四：余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)余弦函數(shù)定義域值域奇偶性偶函數(shù)周期性最小正周期單調(diào)區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點最大值點最小值點對稱中心對稱軸知識點詮釋：（1）余弦函數(shù)的值域為，是指整個余弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的余弦曲線，如果定義域不是全體實數(shù)，那么余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域．（2）求余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先將變換為再求解，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域．知識點五：余弦型函數(shù)的性質(zhì)．函數(shù)可看作是由余弦函數(shù)復合而成的復合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間．（4）奇偶性：余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性，對于函數(shù)，當時為偶函數(shù)，當時為奇函數(shù)．（5）周期：函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關，其周期為．（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標，即對稱中心為．同理，的對稱軸由解出，對稱中心的橫坐標由解出．知識點詮釋：判斷函數(shù)的奇偶性除利用定義和有關結論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關于原點對稱”這一前提條件．若，則函數(shù)不一定有對稱軸和對稱中心．【典型例題】題型一：正余弦函數(shù)的周期問題【典例11】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，以為最小正周期的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，故B錯誤；對于C，的最小正周期為，故C錯誤；對于D，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故D正確．故選：D．【典例12】（2024·高一·遼寧沈陽·期末）已知的最大值為，若存在不同的實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，由題意得為最小值，為最大值，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：A.【方法技巧與總結】（1）定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解．（2）公式法，對形如或（，，是常數(shù)，，）的函數(shù)，（3）觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期．三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結構特征，選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼猓咀兪?1】（2024·高一·山東濟寧·期末）設函數(shù)（、、都是常數(shù)，，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】記函數(shù)的最小正周期為，則，可得．又，且，又，所以函數(shù)的一個對稱中心為，函數(shù)的一條對稱軸為，又，，解得．故選：B．【變式12】（2024·高一·廣西欽州·期末）已知，是函數(shù)（）圖象與軸的兩個相鄰的交點，若，則（

）A．4 B．8 C．4或8 D．8或16【答案】C【解析】由題意，是函數(shù)（）圖象與軸的兩個相鄰的交點，且，則的兩個相鄰的解之間距離為，而或，即或，則，或，解得或，故選：C【變式13】（2024·云南·二模）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由周期公式得.故選：A【變式14】（2024·高一·湖北十堰·期末）函數(shù)是（

）A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的偶函數(shù)C．周期為的奇函數(shù) D．周期為的奇函數(shù)【答案】A【解析】因為，所以，所以，則是偶函數(shù).因為，，所以是周期為的偶函數(shù).故選：A.【變式15】（2024·高三·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由于的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，所以.故選：C題型二：正余弦函數(shù)的奇偶問題【典例21】（2024·上海浦東新·二模）已知函數(shù)（）是偶函數(shù)，則的最小值是．【答案】/【解析】因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，解得，又，所以當時，的最小值是.故答案為：.【典例22】（2024·高一·上海·階段練習）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則.【答案】【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)，可知得.經(jīng)檢驗滿足題意故答案為：【方法技巧與總結】判斷函數(shù)奇偶性的方法（1）利用定義判斷一個函數(shù)的奇偶性，要考慮兩方面：①函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；②與的關系；（2）判斷函數(shù)的奇偶性常用方法是：①定義法；②圖象法．【變式21】（2024·高一·全國·專題練習）已知函數(shù)，為奇函數(shù)，則.【答案】或【解析】由題意知，即.∵，∴當時，；當k=1時，.故答案為：或.【變式22】（2024·高一·遼寧大連·期中）關于的方程的一個解【答案】（答案不唯一）【解析】令，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，由，可得，則原方程的一個解滿足，可解得.故答案為：（答案不唯一）.【變式23】（2024·高一·上海松江·期中）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則滿足條件的所有θ的值為．【答案】【解析】解法一：是偶函數(shù)，則;解法二：，由于為偶函數(shù)，所以，即，所以，故答案為：.【變式24】（2024·高一·湖南長沙·期末）已知函數(shù)，則.【答案】2023【解析】因為，所以，設，所以為奇函數(shù)，所以關于對稱，所以的圖象關于對稱，所以，所以，故答案為：2023【變式25】（2024·高一·浙江衢州·期末）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則.【答案】2【解析】易知，令，易知y=gx定義域為R，且，即y=gx顯然，，由奇函數(shù)的對稱性質(zhì)易知.故答案為：【變式26】（2024·高一·廣東深圳·期中）已知，且，則的值為．【答案】【解析】由，令，，為奇函數(shù)，，由，得，則，，．故答案為：題型三：正余弦函數(shù)的對稱問題【典例31】（2024·高一·遼寧遼陽·期中）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，則圖象的對稱軸方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，則，得，令,解得.因為，則，經(jīng)驗證只有D選項滿足題意，此時.故選：D【典例32】（2024·高一·北京·階段練習）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且其圖象關于對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，為偶函數(shù)，因為，所以的圖象關于點對稱，B正確；對于C，為偶函數(shù)，因為，所以不是的對稱中心，C錯誤；對于D，為奇函數(shù)，D錯誤.故選：B【方法技巧與總結】（1）正弦曲線（余弦曲線）既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；（2）正弦曲線（余弦曲線）的對稱軸一定過正弦曲線（余弦曲線）的最高點或最低點，即此時的正弦值（余弦值）取最大值或最小值；（3）正弦曲線（余弦曲線）的對稱中心一定是正弦曲線（余弦曲線）與軸的交點，即此時的正弦值（余弦值）為0．【變式31】（2024·高一·四川內(nèi)江·期中）已知，函數(shù)，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，且，，即為最大值或最小值，即為函數(shù)的一條對稱軸，所以，解得，又，所以當時取得最小值.故選：B【變式32】（2024·高一·廣東深圳·期末）記函數(shù)的最小正周期為.若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】因為的最小正周期為滿足，所以，解得，又的圖象關于點中心對稱，所以，所以解得，當時，所以，則.故選：C【變式33】（2024·高一·重慶·階段練習）設函數(shù)關于對稱，若函數(shù)，則的值為（

）A．1 B．或3 C．-2 D．【答案】C【解析】因為關于對稱，故，故，，故，故選：C.【變式34】（2024·陜西西安·模擬預測）若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的值的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為的圖象關于直線對稱，所以，得，因為，所以．故選：C【變式35】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象與直線在軸右側交點的橫坐標從小到大依次為，且滿足，則的值為.【答案】或【解析】由題設，易知.當時，由題意，得，解得，所以，當時，由題意，得，解得，所以，的值為或.故答案為：或【變式36】（2024·高二·山西運城·階段練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為．【答案】0【解析】因為函數(shù)，所以的對稱中心是，令，得，在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知：兩個函數(shù)圖象有8個交點，即函數(shù)有8個零點由對稱性可知：零點之和為0，故答案為：0【變式37】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知關于的函數(shù)（）的一條對稱軸是，則．【答案】【解析】函數(shù)，其對稱軸方程為，（）∵函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線，∴，即，（）∵，當時，可得．故答案為：．題型四：正余弦函數(shù)的單調(diào)問題【典例41】（2024·高一·陜西西安·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】.【解析】的單調(diào)遞減區(qū)間即為的單調(diào)遞增區(qū)間.令，，得,.故其單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.【典例42】（2024·高一·上海寶山·階段練習）單調(diào)增區(qū)間為【答案】【解析】函數(shù)，令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為故答案為：【方法技巧與總結】（1）用“基本函數(shù)法”求函數(shù)（，）或（，）的單調(diào)區(qū)間的步驟：第一步：寫出基本函數(shù)（或）的相應單調(diào)區(qū)間；第二步：將“”視為整體替換基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（用不等式表示）中的“”；第三步：解關于的不等式．（2）對于形如的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題，當時，可先用誘導公式轉化為，則的單調(diào)遞增區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即為原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．余弦函數(shù)的單調(diào)性討論同上．另外，值得注意的是這一條件不能省略．【變式41】（2024·高一·上海奉賢·期中）函數(shù)，的增區(qū)間為．【答案】（開閉均可）【解析】由，可得，令，解得，即函數(shù)在的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：.（開閉均可）【變式42】函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【解析】由題知，，解得，由解得：，所以，令，.解得：，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為：.故答案為：.題型五：根據(jù)正余弦函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題【典例51】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期中）函數(shù)在上存在零點，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當，，因為函數(shù)在上存在零點，所以，得，當時，則，由，可知，，則，則，所以.故選：B【典例52】（2024·高一·廣東佛山·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，因為，所以，，所以，解得，即的取值范圍為．故選:B．【方法技巧與總結】已知正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，多用數(shù)形結合思想及轉化思想求解．【變式51】（2024·高一·重慶·期中）已知，函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)，則為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【解析】因為，所以，即對稱中心為，所以，即，解得，又因為在區(qū)間上單調(diào)，所以，即，所以，又且，所以.故選：B．【變式52】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的一個零點是，且在上單調(diào)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，且時，可得，且，若在上單調(diào)，則，解得，又因為的一個零點是，則，解得，所以.故選：B.【變式53】（2024·高一·河北張家口·期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以實數(shù)a的最大值為.故選：B【變式54】（2024·高二·浙江·期中）若函數(shù)在區(qū)間恰存在三個零點，兩個最值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當x∈0,π，則依題意可得，解得，即的取值范圍是.故選：A.【變式55】（2024·高三·湖北·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值1，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，依題意，，則，解得，由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，所以的取值范圍是.故選：B【變式56】（2024·高一·北京·階段練習）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】對于函數(shù)，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則的最大值為.故選：B【變式57】（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關于點中心對稱且關于直線對稱，則的取值個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意得的圖象關于點中心對稱且關于直線對稱，故，則，即，由函數(shù)在上單調(diào)，得，即，即，解得，而，故或1，或2，當時，，則，結合，得，則，此時，當時，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，滿足題意；當時，，則，結合，得，則，此時，當時，，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，此時不合題意；當時，，則，結合，得，則，此時，當時，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，滿足題意；綜上，或.故選：B【變式58】（2024·高一·全國·專題練習）已知函數(shù)（，，）的圖象關于軸對稱，且在區(qū)間上不單調(diào)，則的可能取值有（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【答案】C【解析】由函數(shù)的圖像關于軸對稱，可得，因為，可得，所以，又由，可得，當時，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；當時，可得，可得在上單調(diào)遞減，不符合題意；當時，可得，可得在上不單調(diào)，符合題意；當時，可得，可得在上單調(diào)遞增，不符合題意；當時，則函數(shù)的最小正周期為，此時，所以函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，符合題意，所以，所以滿足條件的有9個.故選：C.題型六：比較大小【典例61】（2024·高一·廣西·階段練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以．故選：D【典例62】（2024·高一·江蘇無錫·期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為在上單調(diào)遞減，所以，又在0,+∞上單調(diào)遞增，故，又，故.故選：A【方法技巧與總結】比較兩個三角函數(shù)值的大小（1）比較兩個同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較．（2）比較兩個不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上．【變式61】（2024·高一·安徽宿州·期末）已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦函數(shù)性質(zhì)及余弦函數(shù)性質(zhì)可知：，即；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得；由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得；所以；故選：A.【變式62】（2024·高一·全國·專題練習）已知為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則以下結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】為銳角三角形的兩個內(nèi)角，則，即，，，余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.對于等邊三角形，A、C、D都不對；故選：B.【變式63】（2024·高一·四川綿陽·期中）設，則大小關系（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，因為，且在時單調(diào)遞增，則，即；且，所以.故選：A.【變式64】（2024·高一·四川成都·期中）英國數(shù)學家泰勒給出如下公式：；；，其中．這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性，也可以借助計算工具進行近似計算．若，，，則有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，則，因此.故選：C.題型七：正余弦函數(shù)的最值與值域問題【典例71】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由，而，當時，；當時，；綜上，函數(shù)值域為.故答案為：【典例72】（2024·高一·上海徐匯·期中）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】由于，所以，故，故答案為：.【方法技巧與總結】一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等．三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，一般方法也適用，但要結合三角函數(shù)本身的性質(zhì)．常見的三角函數(shù)求值域或最值的類型有以下幾種：（1）形如的三角函數(shù)，令，根據(jù)題中的取值范圍，求出的取值范圍，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性求出的最值（值域）．（2）形如的三角函數(shù)，可先設，將函數(shù)化為關于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求值域（最值）．（3）對于形如（或）的函數(shù)的最值還要注意對的討論．【變式71】（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】由，可得，當時等式不成立，∴，則有，∵，∴，，或，∴函數(shù)的值域是，故答案為：【變式72】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（1）函數(shù)，的值域為；（2）函數(shù)的最大值是.【答案】【解析】（1）當時，，，，即的值域為；（2），；令，則，，則當時，，即的最大值為.故答案為：；.【變式73】（2024·高三·廣東肇慶·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則.【答案】【解析】依題意，函數(shù)在區(qū)間上的值域為，由于，所以，此時，當時取得最小值，符合題意，所以.故答案為：【變式74】（2024·高一·全國·單元測試）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】令，，則，即，所以，又因為，所以，即函數(shù)的值域為．故答案為：.【變式75】（2024·高一·上?！るA段練習）要使有意義，的取值范圍是.【答案】；【解析】因，因此，所以，所以，或且解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【變式76】（2024·高一·北京·期中）若的最大值為3，則．【答案】【解析】由題意與同時取得最大值1，因此，，故答案為：．【變式77】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習）函數(shù)的最小值為1，則．【答案】【解析】顯然，當時，，，解得；當時，，，解得，所以.故答案為：題型八：正余弦函數(shù)的綜合應用【典例81】（2024·高一·上?！卧獪y試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的嚴格減區(qū)間；(3)若時，的最小值為–2，求a的值.【解析】（1）函數(shù)的最小正周期為.（2）.由（），得（），所以的嚴格減區(qū)間為（）.（3）由，得，所以，所以，所以，所以的最小值為，所以.【典例82】（2024·高一·浙江衢州·期末）設函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【解析】（1）由題意可得正弦函數(shù)的對稱軸方程為，因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，又，所以，（2）因為，所以，解得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.【變式81】（多選題）（2024·高一·陜西渭南·期中）已知函數(shù)，則（

）A．為的一個周期 B．的圖象關于直線對稱C．在上單調(diào)遞減 D．的一個零點為【答案】AD【解析】A選項，，A正確；B選項，時，，不是的對稱軸，B錯誤；C選項，，，不包含于的單調(diào)遞減區(qū)間內(nèi)，C錯誤；D選項，，，因為，所以D正確；故選：AD.【變式82】（多選題）（2024·高一·廣東茂名·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A．的最大值為2B．若，則C．若，則D．若函數(shù)兩個零點間的最小距離為，則【答案】ACD【解析】對于選項A：因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則該函數(shù)的最小正周期滿足，解得.例如，，即，若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題