高一數(shù)學講義（人教A版2019）452用二分法求方程的近似解（三大題型）

4．5．2用二分法求方程的近似解目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 3題型一：用二分法求近似解的條件 3題型二：用二分法求方程近似解的過程 6題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程 9

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：二分法1、二分法對于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐漸逼近零點，進而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它滿足給定的精確度．第一步：在D內取一個閉區(qū)間，使與異號，即，零點位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點，則此中點對應的坐標為．計算和，并判斷：①如果，則就是的零點，計算終止；②如果，則零點位于區(qū)間中，令；③如果，則零點位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點總位于區(qū)間上，當和按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)的近似零點，計算終止．這時函數(shù)的近似零點滿足給定的精確度．知識點詮釋：（1）第一步中要使：①區(qū)間長度盡量??；②、的值比較容易計算且．（2）根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程的根的關系，求函數(shù)的零點和求相應方程的根式等價的．對于求方程的根，可以構造函數(shù)，函數(shù)的零點即為方程的根．3、關于精確度（1）“精確度”與“精確到”不是一回事，這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達到某個確定的數(shù)值，即；“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達到某個規(guī)定的數(shù)位．（2）精確度表示當區(qū)間的長度小于時停止二分；此時除可用區(qū)間的端點代替近似值外，還可選用該區(qū)間內的任意一個數(shù)值作零點近似值．【典型例題】題型一：用二分法求近似解的條件【典例11】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習）已知函數(shù)y=fx的圖象如圖所示，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求其零點近似值的個數(shù)分別是（

A．4，4 B．3，4 C．4，3 D．5，4【答案】C【解析】圖象與軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4，左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以可以用二分法求解的個數(shù)為3.故選：C【典例12】（2024·高一·福建福州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】易知函數(shù)的零點為，而在零點左右兩側的函數(shù)值符號都為正，不是異號的，故不能用二分法求函數(shù)的零點；而選項A、B、D中的函數(shù)，它們在各自的零點左右兩側的函數(shù)值符號相反，可以用二分法求函數(shù)的零點；故選：C【方法技巧與總結】判斷一個函數(shù)能否用二分法求其零點的依據(jù)是：其圖象在零點附近是連續(xù)不斷的，且該零點為變號零點．因此，用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點適用，對函數(shù)的不變號零點不適用．【變式11】（2024·高一·陜西延安·期末）用二分法求函數(shù)的零點可以取的初始區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且在定義域上遞增，所以區(qū)間、、對應函數(shù)都為正，只有區(qū)間中函數(shù)值有正有負.故選：A【變式12】（2024·高一·浙江杭州·期中）下列方程中不能用二分法求近似解的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)二分法的要求，在上，有才能用二分法，對于A，顯然在定義域上單調遞增，且，可以使用二分法，故A錯誤；對于B，在定義域上連續(xù)，有，可以使用二分法，故B錯誤；對于C，在定義域上連續(xù)，且有，可以使用二分法，故C錯誤；對于D，，且只有一個零點，故不可以使用二分法，故D正確.故選：D【變式13】（2024·高一·湖北荊州·期末）下列函數(shù)圖象與軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由二分法的定義知，若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且滿足，則可以利用二分法求函數(shù)的零點的近似值，故選項A不能用二分法求圖中函數(shù)零點，故選：A.【變式14】（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）觀察下列函數(shù)的圖象，判斷能用二分法求其零點的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象可知，BD選項中函數(shù)無零點，AC選項中函數(shù)有零點，C選項中函數(shù)零點兩側函數(shù)值符號相同，A選項中函數(shù)零點兩側函數(shù)值符號相反，故A選項中函數(shù)零點可以用二分法求近似值，C選項不能用二分法求零點.故選：A題型二：用二分法求方程近似解的過程【典例21】（2024·高一·上?！るS堂練習）某同學在借助計算器求“方程的近似解（精確度為0.1）”時，他用“二分法”又取了4個x的值，計算了其函數(shù)值的正負，并得出判斷：方程的近似解是．那么他在取的x的4個值依次是．【答案】1.5，1.75，1.875，1.8125.【解析】令，則方程的解即為函數(shù)的零點，函數(shù)在上單調遞增，，取的中點，，得區(qū)間；取的中點，，得區(qū)間；取的中點，，得區(qū)間；取的中點，，得區(qū)間，所以在取的x的4個值依次是1.5，1.75，1.875，1.8125.故答案為：1.5，1.75，1.875，1.8125【典例22】（2024·高一·上?！るS堂練習）用二分法求方程的實根，由計算器可算得，，，那么下一個有根區(qū)間為．【答案】【解析】因為，，，所以下一個有根區(qū)間為，故答案為：．【變式21】（2024·高一·江蘇無錫·階段練習）用二分法求方程的正實數(shù)根的近似解（精確度0.0001）時，如果我們選取初始區(qū)間是，則要達到精確度至少需要計算的次數(shù)是.【答案】【解析】設要達到精確度需要計算次，且為整數(shù)，由題意可得：，解得：.故答案為：10【方法技巧與總結】（1）依據(jù)圖象估計零點所在的初始區(qū)間（這個區(qū)間既要包含所求的根，又要使其長度盡可能的小，區(qū)間的端點盡量為整數(shù)）．（2）取區(qū)間端點的平均數(shù)，計算，確定有解區(qū)間是還是，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的長度符合精確度要求（這個過程中應及時檢驗所得區(qū)間端點差的絕對值是否達到給定的精確度），才終止計算，得到函數(shù)零點的近似值（為了比較清晰地表達計算過程與函數(shù)零點所在的區(qū)間往往采用列表法）．【變式22】（2024·高一·全國·隨堂練習）已知函數(shù)在區(qū)間內有零點，求方程在區(qū)間內的一個近似解．（精確度為0.1）【解析】根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上的零點就是方程在區(qū)間內的解，由于函數(shù)和均為單調遞增函數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，，，，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，又由，而，則的零點在上，此時滿足精確度為0.1，則函數(shù)在區(qū)間上的零點近似為1.2，故方程在區(qū)間內的近似解為1.2．【變式23】（2024·高一·全國·隨堂練習）用二分法求方程的近似解．（精確度為0.1，可以使用計算器）【解析】畫出和的圖像，由圖知：函數(shù)和只有一個交點.方程的近似解等價于函數(shù)的零點.，，所以取初始區(qū)間為，用二分法求解，如下表：次數(shù)左端點右端點區(qū)間長度第一次561第二次5.560.5第三次5.55.750.25第四次5.6255.750.125第五次5.68755.750.0625因為，所以方程的近似解可取為5.7.【變式24】（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并用定義證明；(2)用二分法求方程在區(qū)間上的一個近似解（精確度為0.1）．【解析】（1）在單調遞增；證明如下：任取，不妨設，，因為，則，，，可得，即，所以在上單調遞增.（2）因為函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)且單調的，可知其在區(qū)間上的零點即為方程在區(qū)間上的解，且，，可得在內有且僅有一個零點，在區(qū)間上利用二分法列表如下：區(qū)間中點中點函數(shù)值區(qū)間長度1此時解在區(qū)間，此區(qū)間長度為，，滿足精確度為0.1，故區(qū)間，即內任意一個實數(shù)都是對應方程符合精確度要求的一個近似解，比如2.6是方程在上的一個近似解．題型三：用二分法求函數(shù)零點的過程【典例31】（2024·高一·四川眉山·開學考試）用“二分法”研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)計算可知，說明該函數(shù)在區(qū)間內存在零點，下一次應計算，則．【答案】1【解析】第一次經(jīng)計算可知，說明該函數(shù)在區(qū)間內存在零點，下次計算，.故答案為：1【典例32】（2024·高一·內蒙古呼和浩特·期末）已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，如果用二分法求這個零點（精確度為）的近似值，那么將區(qū)間等分的次數(shù)至少是.【答案】【解析】設需要計算次，則滿足，即，由于，，所以將區(qū)間等分的次數(shù)至少是次.故答案為：.【方法技巧與總結】利用二分法求函數(shù)近似零點的流程圖：【變式31】（2024·高一·上?！ふn堂例題）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點．試用二分法求出該零點的近似值．（結果精確到0.1）【解析】因為,所以,取區(qū)間中點,且,從而可知零點在內;再取區(qū)間中點,且,從而可知零點在內；同理取區(qū)間中點,且0，從而可知零點在內；故此函數(shù)的零點是【變式32】（2024·高一·山東青島·階段練習）已知.(1)通過二分法且滿足精確度為0.5，求方程的近似解（精確到0.1）(2)設，求證：.【解析】（1）由解析式知：在上遞增，，，，則，，則，又，且，，所以更接近于零點，故方程的近似解為.（2）由題設，故，且，要證，只需，即，由（1）知，顯然成立，綜上，，得證.【變式33】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）用二分法求函數(shù)的零點.（精確到0.1）【解析】易知函數(shù)在R上遞增，又，且，所以在上存在唯一的零點，又，且，所以在上存在唯一的零點，又，，由精確度為0.1得：需計算，又，所以的零點精確到0.1約是1.2.【變式34】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍．(2)若，判斷在上是否存在零點？若存在