北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)課時(shí)練習(xí)(一課時(shí)一練)

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全冊(cè)課時(shí)練習(xí)

1第一課時(shí)菱形的概念及其性質(zhì)

1.iOS1-1-1,在。ABCD中,若添加下列條件：①AB=CD；②AB=BC；?Z1=Z2.

其中能使。ABCD成為菱形的有()

圖1-1-1

40個(gè)8.1個(gè)C.2個(gè)〃3個(gè)

2.菱形OACB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1—1—2所示，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,0),點(diǎn)

A的縱坐標(biāo)是1,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()

A.(3,1)B.(3,-1)

C.(1,-3)D.(1,3)

圖1-1-2圖1-1-3

3.如圖1一1一3,P是菱形八BCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，PE_LAB于點(diǎn)E,PE=4cm,則點(diǎn)

P到BC的距離是_______cm.

4.如圖1一1一4,在菱形/灰笫中，/胡g120°.已知△力應(yīng)'的周長(zhǎng)是15,則菱形力以力

的周長(zhǎng)是()

A.25B.20

C.15D.10

圖1-1—5

5.如圖1—1—5,在菱形/四中，對(duì)角線力。，8〃相交于點(diǎn)0,〃為力。邊的中點(diǎn).若

菱形力靦的周長(zhǎng)為32,則陽的長(zhǎng)為

6.如圖1一1一6,在中，AB=AC,四邊形"牙'是菱形.求證：BE=CE.

圖1—1—6

7.如I圖1一1一7,在菱形力及力中，AC=6,BD=8,則菱形力驅(qū)的邊長(zhǎng)為()

A.5B.10C.6D.8

8.已知菱形的邊長(zhǎng)是2cm,一條對(duì)角線長(zhǎng)是2cm,則另一條對(duì)角線長(zhǎng)是()

A.4cmB.23cm

C.3cmD.3cm

圖1-1-7圖1-1-8

9.如圖1一1一8,在菱形力蹌)中，AC,劭相交于點(diǎn)0,若N83=55°,則N6W=

10.如圖1一1一9,四邊形第Q?是菱形，4(3,0),BS,4),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

圖1—1—9

A.(-5,4)B.(-5,5)

C.(-4,4)D.(-4,3)

11.一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為4cm,且有一個(gè)內(nèi)角為60°,則這個(gè)菱形的面積是.

12.如圖1一1一10,在菱形力8口中，/劭0=80°,對(duì)角線4G即相交于點(diǎn)0,點(diǎn)￡

在48上，且BE=BO,則/泌=°.

圖1—1—11

13.如圖1一1一11,四邊形松口是菱形，AC=2^劭=10,DHUB于點(diǎn)"則線段加

的長(zhǎng)為.

14.如圖1一1一12所示，已知菱形力質(zhì)的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8,MN分別是邊

BC,切的中點(diǎn)，〃是對(duì)角線劭上一點(diǎn)，則/￥+/W的最小值是

圖1-1-12

15.如圖1一1一13,在菱形ABCD中,ZA=60°,AB=4,0為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)

0作0E_LAB,垂足為E.

(1)求NABD的度數(shù)；

(2)求線段BE的長(zhǎng).

圖1一1一13

16.如圖1一1一14所示，四邊形ABCD是菱形，CEJ_AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,CFXAD

交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,請(qǐng)你猜想CE與CF在數(shù)量上有什么關(guān)系，并證明你的猜想.

圖1一1一14

17.如圖1一1—15,已知菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E,使BE=AB,

連接CE.

(1)求證：BD=CE；

(2)若NE=50°,求NBA0的度數(shù).

圖1—1—15

第二課時(shí)菱形的判定

1.如圖1—1—16,要使口力跖9成為菱形，則需添加的一個(gè)條件是()

圖1—1—16

A.AC=ADB.BA=BC

C.N4?C=90°D.AC=BD

2.如圖1一1一17,在△力比'中，力。是的平分線，DE//AC加〃四.求證：四邊形

AEDF是菱形.

圖1-1-17

3.下列命題中，正確的是()

A.對(duì)角線相等的四邊形是菱形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

4.如圖1一1一18,在nABCD中,48=13,AC=10,當(dāng)BD=時(shí)，四邊形月8。9

是菱形.

5.如圖1一1一19,在。力四中，對(duì)角線4a劭相交于點(diǎn)0,力8=5,NC=6,BD=&

求證：四邊形力也是菱形.

圖1-1-19

6.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)菱形，如圖1—1—20,能判定四邊形力質(zhì)是菱形的依據(jù)是（）

圖1-1-20

A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形

B.四邊相等的四邊形是菱形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形

7.如圖1一1一21,在△/!宏中，AB=AC,/8=60°,4FAC,是△?!比的兩個(gè)外

角，平分NHC,CD平■令NECA,

求證：四邊形月靦是菱形.

圖1一1一21

8.如圖1一1一22所示，在口ABCD中,AE,。'分別是和乙夕位的平分線.添加一

個(gè)條件，仍無法判定四邊形力既為菱形的是（）

A.AE=AFB.EFLAC

C.N8=60。D.4。是N用尸的平分線

9.如圖1一1—23,D,E,/分別是△/18C的邊/昆BC,4。的中點(diǎn).若四邊形力叱是

菱形，則△4式必須滿足的條件是（）

A.ABA.ACB.AB=AC

C.AB=BCD.AC=BC

10.順次連接對(duì)角線相等的四邊形的各邊中點(diǎn)，所形成的四邊形是.

圖1-1-24

11.如圖1一1一24,E,F,G,〃分別是任意四邊形力靦中力〃，BD,BC,。的中點(diǎn)，

當(dāng)四邊形力版的邊滿足條件時(shí)，四邊形必以是菱形.

12.如圖1一1一25,在色中，N43=90°,NB=60°,作邊力。的垂直平分線/

交也于點(diǎn)〃，過點(diǎn)。作血的平行線交，于點(diǎn)反判斷四邊形的位的形狀，并說明理由.

A

圖1—1—25

13.如圖1一1—26,在RtZM比中，Z^=90°,￡是4C的中點(diǎn),，AC=2A&N/C的

平分線交回于點(diǎn)〃作力勿陽連接應(yīng)'并延長(zhǎng)交"1于點(diǎn)五，連接此

求證：四邊形力叱是菱形.

圖1一1一26

14.某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，用兩塊完全相同且含60°角的三角板4%

與三角板45F按如圖1—1—27①所示方式放置，現(xiàn)將三角板力哥'繞點(diǎn)力按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

。(0°Va<90°),如圖②，襤與先交于點(diǎn)M,柘與即交于點(diǎn)N,BC與斯交于點(diǎn)P.

(1)求證：

(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角。=30°時(shí)，判斷四邊形力分少的形狀，并說明理由.

圖1-1-27

第3課時(shí)菱形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

1.已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是12和16,則此菱形的面積是()

A.192B.96C.48D.40

圖1-1-28

2.如圖1—1—28,菱形ABCD的周長(zhǎng)是20,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,若BD=6,則

菱形ABCD的面積是（）

A.6B.12C.24D.48

3.如圖1一1—29,已知菱形ABCD兩條對(duì)角線BI）與AC的長(zhǎng)度之比為3：4,周長(zhǎng)為40

cm,求菱形的面積及高.

圖1-1-29

4.如圖1一1—30,在平行四邊形力8。9中，AC平分NDAB,AB=2f則四邊形45⑦的周

長(zhǎng)為（）

A.4B.6C.8D.12

圖1一1一31

5.如圖1一1一31,剪兩張對(duì)邊平行且寬度相等的紙條隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中

一張，重合部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）

A./ABC=4ADC,4BAD=/BCDB.AB=BC

C.AB=CD,AD=BCD.NDAB+NBCD=M°

6.如圖1—1—32,將等邊三角形48c沿射線比向右平移到△況F的位置，連接力0,

BD,則下列結(jié)論：①AD=BG②即"＞互相平分；③四邊形力物是菱形；④BDIDE.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖1一1一33,在菱形四切中，點(diǎn)力在x軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(8,2),點(diǎn)〃的坐

標(biāo)為(0,2),則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

8.如圖1一1一34所示，在菱形/融力中，AE2BC,BE=EC,AE=2,則用=___.

9.如圖1-1-35,4。是△力比'的角平分線，DEHAC交AB于點(diǎn)E,DF"AB交,AC干aF,

且力〃交所于點(diǎn)0,則N/10F=°.

10.如圖1一1一36,在△/式中，D,￡分別是48,〃'的中點(diǎn)，BE=2DE,延長(zhǎng)應(yīng)到點(diǎn)

F,使得EF=BE,連接成

(1)求證：四邊形M石是菱形；

(2)若以=6,/應(yīng)戶=120°,求四邊形喏的周長(zhǎng).

圖1一1一36

圖1一1一37

11.如圖1一1一37,四邊形仍切的四邊相等，且面積為120cm\對(duì)角線力占24cm,

則四邊形力版的周長(zhǎng)為（）

圖1-1-38

甲：連接4G作4c的垂直平分線JW分別交/〃，AC,BC于點(diǎn)機(jī)0,N,連接力MC弘

則四邊形4代時(shí)是菱形.

乙：分別作/兒N8的平分線力區(qū)BF,分別交力〃于點(diǎn)色居連接防則四邊形

48EF是菱形.

根據(jù)兩人的作法可判斷（）

A.甲正確，乙錯(cuò)誤B.甲錯(cuò)誤，乙正確

C.甲、乙均正確D.甲、乙均錯(cuò)誤

圖1-1-39

13.如圖1一1一39,菱形的邊長(zhǎng)為8cm,Z/f=60°,DE1AB于點(diǎn)E,DFIBC于

點(diǎn)尸,則四邊形倒下的面積為cm2.

14.如圖1一1一40,在菱形48切中，。是45上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4?重合），連接

如交對(duì)角線力。于點(diǎn)￡連接班：

（1）求證：NAPD=NCBE；

（2）試問尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△力分的面積等于菱形4閱9面枳的I為什么？

4

圖1—1—40

15.如圖1一1一41,在四邊形被力中，AB=ADfBD平■分匕ABC,AOLBD,垂足為〃

(1)求證：四邊形［次辦是菱形；

⑵若⑺=3,BD=25,求四邊形力及力的面積.

圖1-1-41

16.教材“做一做”變式題明明將兩張長(zhǎng)為8cm,寬為2cm的長(zhǎng)方形紙條交叉疊放，

如圖1—1—42①所示，他發(fā)現(xiàn)重疊部分可能是一個(gè)菱形.

⑴請(qǐng)你幫助明明證明四邊形力靦是菱形；

(2)明明又發(fā)現(xiàn)：如圖②所示，當(dāng)菱形的一條對(duì)角線與長(zhǎng)方形紙條的一條對(duì)角線重合時(shí),

菱形4戰(zhàn)的周長(zhǎng)最大，求此時(shí)菱形力幽的周長(zhǎng).

圖1—1—42

2第1課時(shí)矩形的概念及其性質(zhì)

1.若矩形力時(shí)的兩鄰邊長(zhǎng)分別是1,2,則其對(duì)角線即的長(zhǎng)是(

A.4B.3C.乖D.2\5

2.如圖1一2—1所示，在矩形力靦中，￡是回邊的中點(diǎn)，且〃平分N為〃，CE=2,

則切的長(zhǎng)是（）

A.2B.3C.4D.5

C圖1—2T6圖1一2一2

3.如圖1一2—2,在矩形加切中，AB=2BC,在面上取一點(diǎn)E,使力￡=仍則/胸

的度數(shù)是（）

A.30°B.22.5°C.15°D.10°

4.如圖1一2—3,在矩形川陽9中，點(diǎn)。在邊48上，N力公求證：AO=BO.

圖1一2一3

5.如圖1一2—4,在矩形40中，對(duì)角線力C,4〃相交于點(diǎn)0,NAC430：則N408

的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

圖1一2一4

6.ta01-2-5,在矩形仍切中，對(duì)角線力G切相交于點(diǎn)0,N4如=60°,AC=6cm,

則相的長(zhǎng)是（）

A.3cmB.6cmC.10cnD.12cm

圖1一2一6

7.如圖1一2—6,在矩形49鍛中，對(duì)角線/C,劭相交于點(diǎn)0,邑產(chǎn)分別是10,力〃的

中點(diǎn)，若14=6cm,BC=8cm,則用'=cm.

8.如圖1一2—7,在矩形力切9中，過點(diǎn)月作比7/月。交加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)月求證：BE

=BD.

圖1一2一7

9.若直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為6和8,則斜邊上的中線的長(zhǎng)是（）

2412

A.5B.10C.D.

圖1-2-8

10.如圖1一2—8,△力比'中，/力緲=90°,NQ55°,〃是斜邊48的中點(diǎn)，那么N

"Z）的度數(shù)為（）

A.15°B.25°C.35°D.45°

11.如圖1一2—9,已知△力比'和劭均為直角三角形，其中44%=N498=90。，E

為月8的中點(diǎn).求證：CE-DE.

圖1—2—9

12.如圖1一2—10,已知矩形力靦沿著直線勿折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)C'處，BC交

AD于點(diǎn)、E,力。=8,48=4,則處的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

圖1一2—11

13.如圖1一2—11,在矩形仍切中，E,尸分別是力H曲的中點(diǎn)，連接DE,BF,分別

取應(yīng),砂的中點(diǎn)機(jī)M連接力MCN,MN,若AB=5,BC=8,則圖中陰影部分的面積為()

A.5B.8C.13D.20

14.如圖1—2—12,在矩形仍沖中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)0,折疊矩形，使頂點(diǎn)〃與

對(duì)角線交點(diǎn)0重合，折痕為能已知△瓚的周長(zhǎng)是10cm,則矩形仍⑺的周長(zhǎng)為()

A.15cmB.18cmC.19cmD.20cm

15.如圖1一2—13,在'中，N力8=90。，D,E,尸分別是邊48,BC,。的中

點(diǎn)，若CD=6cm,則EF=cm.

16.如圖1一2—14,在矩形力SCO中,連接對(duì)角線/C,BD,將△［比'沿a'方向平移，

使點(diǎn)8移到點(diǎn)C,得到△比￡：

(1)求證：△力作△EU

(2)請(qǐng)?zhí)骄俊鲬?yīng)應(yīng)的形狀，并說明理由.

圖1一2—14

17.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”.

性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等.

理解；如圖1一2—15①，在△川宓中，勿是力?邊上的中線，那么和△“夕是“友

好三角形”，并且SdMD=

應(yīng)用：如圖1一2一15②，在矩形被力中，AB=4,BC=6,點(diǎn)￡在助上，點(diǎn)尸在8c上,

AE=FB,月尸與班'交于點(diǎn)0.

(1)求證：△力帆和△力應(yīng)'是“友好三角形”；

(2)連接陽，若△力宏和△〃比'是“友好三角形”，求四邊形切。尸的面積.

圖1-2-15

參考答案

1.C2.A3.C.

4.證明：???四邊形力靦是矩形，

：，ZA=ZB=9Q°,AD=BC.

Y4A0C=4B0D,

：.4AOC-4D0C=/BOD—4DOC,

^ZAOD=ZBOC.

在△40〃和△毗中，NA=NB,4A0D=4B0C,AD=BC,

，△加屋△灰C：.A0=B0.

5.B6.A7.2.5

8.證明：???四邊形力反力是矩形，

:?AC=BD,AD//BC.

丈：BEHAC,

???四邊形4胸是平行四邊形，

：.BE=AC,:?BE=BD.

9.A.10.C.

11.證明：在Rt△力助中，

為斜邊49的中點(diǎn)，

:?CE='AB.

2

在Rt△力劭中，

???￡為斜邊4?的中點(diǎn)，

：,DE=XAB.

2

：.CE=DE.

12.C13.D14.D15.6

16.解：(1)證明：???四邊形力版是矩形，

：.AB=DC,AC=BD,AD=BC,/ADC=4ABC=9G.

由平移的性質(zhì)得：DE=AC,EC=BC,ZDCE=4ABC=9Q°,DC=AB,

：.AD=EC.

在△?!必和△拉心中，AD=EG4ADC=4ECD,CD=DC,

:.AAC哈4EDC.

(2)應(yīng)是等腰三角形.理由如下：

,:AC=BD,DE=AC,

:?BD=DE,

???△皮坦是等腰三角形.

17.解：⑴證明：???四邊形力及力為矩形，

：.AD//BCt：.ZEAO=ZBFO.

又?：/AOE=/FOB,AE=FB,

:?XAO%XFOB,:?EO=BO,

；?AO是AABE的邊理上的中線，

，△力仍和△/比是“友好三角形”.

⑵???△〃乃和△〃施是“友好三角形”，

:.五觸=8膜，AE=ED=1AD=1BC=3.

22

YXAOB和XAOE是“友好三角形”，

,,Si4O8=S?蠅

":叢AO恒叢FOB,???叢觸=2m,

,?&??=S&QM

??Sito皿=S矩形皿—22/即=4X6—2XX4X3=12.

第2課時(shí)矩形的判定

1.如圖1—2—16,要使平行四邊形ABCD成為矩形，需添加的條件是（）

A.AB=BCB.A0=C0

C.ZABC=90°D.Z1=Z2

2.木工師傅做一個(gè)矩形木框，做好后量得長(zhǎng)為80c加，寬為60cm,對(duì)角線的長(zhǎng)為100

cm,則這個(gè)木框.（填“合格”或“不合格”）

A

區(qū):

3.如圖1一2—17,在4AB,CA中D_LBC于點(diǎn)D,DE〃AC交AB于點(diǎn)E,DF〃AB交AC于

點(diǎn)F,當(dāng)aABC滿足條件__________時(shí)，四邊形AEDF是矩形.

4.如圖1一2—18,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,且DE〃AC,AE〃BD.求證:

四邊形AODE是矩形.

圖1-2-18

圖1-2-19

5.如圖1—2—19,平行四邊形力靦的對(duì)角線力。與物相交于點(diǎn)0,要使它成為矩形，

需再添加的條件是（）

A.AO=OCB.AC=BD

C.AC^BDD.BD平■分/ABC

6.如圖1一2—20,在口ABCD中,對(duì)角線力心勿相交于點(diǎn)0,勿=3,要使。ABCD為矩

形，則出的長(zhǎng)為（）

A.4B.3C.2D.1

7.如圖1一2—21,工人師傅砌門時(shí)，要想檢驗(yàn)門框力靦是否符合設(shè)計(jì)要求（即門框是

不是矩形），在確保兩組對(duì)邊分別平行的前提下，只要測(cè)量出對(duì)角線47,劭的長(zhǎng)度，然后看

它們是否相等就可以判斷了.

⑴當(dāng)包________（填“等于”或“不等于”）加時(shí)，門框符合要求；

（2）這種做法的根據(jù)是.

8.如圖1一2—22,四邊形是平行四邊形，對(duì)角線力。，助相交于點(diǎn)0,X0AB為

等邊三角形，BC=3.求四邊形/1宓9的周長(zhǎng).

T^T

圖1一2—22

9.對(duì)于四邊形力及力，給出下列4組條件：①N4=/8=NC=N〃；②NB=/C=N戾

③NA=NB,ZC=ZD；④N4=/4=/r=90°,其中能得到“四邊形力靦是矩形”的條

件有（）

A.1組B.2組C.3組D.4組

圖1-2-23

10.如圖1一2—23,直角4仍內(nèi)的一點(diǎn)〃到這個(gè)角的兩邊的距離之和為6,則圖中四

邊形的周長(zhǎng)為.

11.下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

B.有一個(gè)角是直角且對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形

C.對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

D.對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

12.如圖1一2—24,四邊形仍切的對(duì)角線〃；即相交于點(diǎn)0,已知下列6個(gè)條件：

QABHDG②AIADG③AC=I泌

④N/I及=90。；⑤OA=OC；⑥OB=OD.

下列組合中，不能使四邊形?如成為矩形的是（）

A.①②③B.②③④

C.②⑤⑥D(zhuǎn).④⑤⑥

Dr

1-2-24圖1-2-25

13.如圖1一2—25,D,E,F分別是△/回各邊的中點(diǎn).添加下列條件后，不能得到四

邊形4頌是矩形的是（）

A./物890°B.BC=2AE

C.ED平分/AEBD.AEA.BC

圖1一2—26

14.如圖1-2-26,已知四邊形仍口E,F,G,，分別是四邊的中點(diǎn)，只要四邊形仍切

的對(duì)角線1G勿再滿足條件,則四邊形加第一定是矩形.

15.如圖1一2—27,AB//CDfPM,PN,QM,QV分別為角平分線.求證：四邊形〃皿V

是矩形.

圖1-2-27

16.如圖1一2—28,在△』式中，AB=AC,〃為比'的中點(diǎn)，￡是△』面外一點(diǎn)且四邊形

力糜是平行四邊形.求證：四邊形/小萬是矩形.

圖1-2-28

17.如圖1一2—29,四邊形仍切的對(duì)角線〃；劭交于點(diǎn)0,已知。是然的中點(diǎn)，AE

=CF,DF//BE.

(1)求證：△B0%AD0F；

⑵若MAC,則四邊形力及力是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

2

圖1-2-29

18.如圖1一2—30,在中，0是邊力。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)0作直線覷V〃庶設(shè)

亞V交N4%的平分線于點(diǎn)E,交的外角/力切的平分線于點(diǎn)F.

(1)求證：OE=OF\

(2)若四=12,CF=5,求比的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)。在邊力。上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形力郎是矩形？并說明理由.

圖1-2-30

1.C

2.合格

3.答案不唯一，如/陰493°

4.證明：；四邊形力力力是菱形,

：.ACVBD,???/力勿=90°.

?:DE"AC,AE//BD,

???四邊形力①￡是平行四邊形.

又???N40〃=9O°,

???四邊形AODE是矩形.

5.B6.B

7.(1)等于

(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

8.解：???四邊形］靦是平行四邊形，

：.AC=20A,BD=20B.

???△創(chuàng)8為等邊三角形，：,OA=OB=AB,

:.AC=BD,

???四邊形力靦為矩形，

，N"C=90°.

在RtZ\/1勿中，AC=2OA=2AB,BC=3,由勾股定理，得他=AC~BC=\,

???四邊形/筋的周長(zhǎng)=2(加+闈=2(1+3).

9.B1012.11.C12.C13.D14.ACYBD

15.證明：?:PM,7W分別平分N4砧4BPQ,

:.ZMPQ='NAPQ,ZNPQ=14BPQ.

22

?:NAPQ+NBPgl800,

抄什NA瑯=90°,即NJ優(yōu)"90°.

同理可證乙闋V=90°.

*：AB//CD,???/力河+/6'啊180",

：,4MPZ4MQP=90°,

即N4圖=90°,???四邊形4跖V是矩形.

16.證明：???四邊形力坑也是平行四邊形，

:.AE"B3AB=DE,AE=BD.

???〃為勿的中點(diǎn)，：.CD=BD.

：.CD//AE,CD=AE,

???四邊形力腔是平行四邊形.

'：AB=AC,AB=DE,

：.AC=DEt

???平行四邊形力腔是矩形.

17.解：(1)證明：?:DF〃BE,

AAFDO=ZEBO,4DF0=/BEO.

■O為47的中點(diǎn),：,OA=OC.

?:AE=CF,

：.OA-AE=OC-CFf

即UE=U卜：

在△屐和△加戶中，/EBO=NFD0,ZBEO=NDF0,OE=OF,

:.△B0%XD0FQ也.

(2)若勿=0a則四邊形力比刀是矩形.

2

證明：,:叢BO恒叢DOF,：.OB=OD.

?：01)=1AC,

2

：.OA=OB=OC=OD,且初=HC,

???四邊形N8切是矩形.

18.解：⑴證明：,?」擲交4座的平分線于點(diǎn)反交N/I⑦的外角平分線于點(diǎn)片如圖

所示，

???/2=N5,N4=N6.

YMN〃B3AZ1=Z5,Z3=Z6,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

：,OE=OC,OF=OC,：.OE=OF.

（2）VZ2=Z5,N4=N6,

???N2+N4=N5+N6=90°.

0=12,CF=5,:?EF=122+52=13,

：?0C='EF=6.5.

2

（3）當(dāng)點(diǎn)。在邊47上運(yùn)動(dòng)到北?的中點(diǎn)時(shí)，四邊形4a尸是矩形.

理由：當(dāng)。為/C的中點(diǎn)時(shí)，486〃

又Y0E=0F,

???四邊形力如'是平行四邊形.

又???N￡6F=90°,

，四邊形/附是矩形.

第3課時(shí)矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

1.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)邊分別相等B.對(duì)角分別相等

C.對(duì)角線互相平分D.對(duì)角線相等

2.下列說法：①矩形是軸對(duì)稱圖形，兩條對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸；②對(duì)角線

相等的四邊形是矩形：③有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形；④對(duì)角線相等且互相平分的四

邊形是矩形；⑤對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是矩形.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.已知矩形的兩條對(duì)角線所夾銳角為44°,那么對(duì)角線與矩形相鄰兩邊所夾的角分別

是（）

A.22°,68°B.44°，65°C.24°,66°D.40°,50°

4.如圖1一2—31所示，矩形力伙力中，HQ3,8c=5,點(diǎn)E在加上,且掇平分N力陽

則△/應(yīng)1的面積為（）

A.2.4B.2C.1.8D.1.5

5.如圖1一2—32,。是矩形火四的對(duì)角線力。的中點(diǎn)，"是的中點(diǎn).若Aff=5,AD

=12,則四邊形力切加的周長(zhǎng)為_______.

6.在矩形紙片力眼中，AD=Acm,4?=10cm,按如圖1―2—33所示方式折疊，使點(diǎn)

6與點(diǎn)〃重合，折痕為所，則〃4_______cm.

7.如圖1一2—34,在矩形力比初中，BC=20cm,點(diǎn)尸和點(diǎn)0分別從點(diǎn)8和點(diǎn)。出發(fā)，

按逆時(shí)針方向沿矩形力比。的邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P和點(diǎn)。的速度分別為3cm/s和2cm/s,則最快

s后，四邊形/皮鋁成為矩形.

8.如圖1一2—35,在四邊形4ra中，N4=N/O=90°,BC=CD,CELAD,垂足為￡

求證：AE=CE.

圖1-2-35

9.如圖1一2—36,在矩形4完9中（力〃>//，E是BC上一點(diǎn),且DE=DA,AFVDE,垂

足為凡在下列結(jié)論中，不一定正確的是（）

叢

A.AFD04DCEB.AF=1ADC.AB=AFD.BE=AD-bF

2

10.如圖1一2—37,AABC口,47的垂直平分線分別交47,AB于點(diǎn)D,F,BE1DF交

加的延長(zhǎng)線于點(diǎn)區(qū)已知N4=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形8。院的面積是（）

A.23B.33c.4D.43

11.如圖1一2—38,在△力比中，/Q6,AC=8,BC=10,尸為邊宛上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P

不與點(diǎn)8,C重合），PEUB于.點(diǎn)E,PWC于點(diǎn)、F,則分'長(zhǎng)的最小值為（）

圖1-2-38

A.4B.4.8C.5.2I）.5

12.如圖1—2—39,矩形40中，對(duì)角線4C,即相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。的直線分別交

AD,即于點(diǎn)F,己知4>=4cir,圖中陰影部分的面積總和為6cm。則對(duì)角線的長(zhǎng)為

13.如圖1一2—40,時(shí)是矩形力靦的邊力〃的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)、,PELWC于點(diǎn)、E,

PFLMB干點(diǎn)、F,當(dāng)48,3c滿足條件時(shí)，四邊形必?'為矩形.

14.如圖1一2—41,在△力比中，AB=AC,〃為8C的中點(diǎn)，連接/〃，AE//BC,DE//AB,

連接留龍交然于點(diǎn)G.

(1)求證：四邊形力〃應(yīng)為矩形；

(2)點(diǎn)尸在加的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫出圖中所有與相等的角.

圖1-2-41

15.如圖1一2—42,在矩形，仿69中，AB=2,BC=5,點(diǎn)E,2分別在力〃，BC上,且施

=BP=\.

求證：四邊形硒火為矩形.

圖1-2-42

16.如圖1一2—43,在矩形,4版中，將點(diǎn)力翻折到對(duì)角線切上的點(diǎn)J/處，折痕儲(chǔ)交

/I。于點(diǎn)￡將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線面上的點(diǎn)N處，折痕〃尸交加于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形即應(yīng)為平行四邊形;

(2)若四邊形質(zhì)定為菱形，且/1Q2,求紀(jì)的長(zhǎng).

圖1-2-43

17.如圖1一2—44,在阿中，分別以/夕，AC,充為邊在胸的同側(cè)作等邊三角形

ABD,等邊三角形力龍，等邊三角形脈

(1)求證：四邊形加既是平行四邊形.

(2)探究下列問題(只填滿足的條件，不需證明)：

①當(dāng)△/!勿滿足條件：時(shí)，四邊形力加、是矩形；

②當(dāng)a/ia?滿足條件：時(shí)，四邊形刃跖是菱形；

③當(dāng)△月8。滿足條件：時(shí)，以〃，4E,產(chǎn)為頂點(diǎn)的四邊形不存在.

圖1一2—44

1.D2.A3.A4.D5.20.6.5.8.7.4

8.證明：如圖，過點(diǎn)8作戰(zhàn)L團(tuán)于點(diǎn)五

■:CE工AD,

???NO+N〃以=90°.

?：4BCD=90。,

：?/BCF+NDCE=90°,

：.4BCF=4D.

在△及獷和△必月中，4BCF=乙口,/砒=/沏=90°,BC=CD,

:.△BC2ACDEQ⑻,

:?BF=CE.

VZJ=90°,CELAD,BF1CE,

???四邊形力即9是矩形，

:.AE=BF,

：.AE=CE.

9.B10.A.11.B12.5

13.2AB=BC

14.解：⑴證明：..??〃8G。加48,??.四邊形腦應(yīng)是平行四邊形,：.AE=BD.

?"為力的中點(diǎn)，

：.BD=CD.:.AE=CD,

?二四邊形力4》.是平行四邊形.

■:AB=AC,〃為8。的中點(diǎn)，

:?mLBC,BPZJZ)r=9O0,

???四邊形加點(diǎn)是矩形.

(2)'：AB=AC.:?NB=NACB,

,:AE〃BC,：?4AED=/EDC,ZEAC=ZACB,/FAE=4B,

:.AFAE=4B=NACB=ZAEG=/EAG=/GDC.

15.證明：???四邊形力是矩形，

：.AD=BCfAD//BC.

又,：DE=BP,

???四邊形切%尸是平行四邊形，

:.BE〃DP.

?:AD=BC,DE=BP,

：.AE=CP.

又,：AD〃BC,HPAE//CP,

???四邊形”是平行四邊形,

：.AP//CE,

???四邊形即叨是平行四邊形.

???在矩形?9中，/力加=乙4即=90°,

AD=BC=5,CD=AB=2,DE=BP=L

：.CE=5,同理比'=25,

:?BE+CE=B"

:.NBEC=90°,

???四邊形環(huán)加為矩形.

16.解：(1)證法一：???四邊形力質(zhì)是矩形，

.??N4=NC-91r,AB=CD,ABHCD,

：,4ABD=4CDB.

由折疊的性質(zhì)可得：NABE」NABD,/CDFqNCDB,

22

:?4ABE=/CDF.

4=/C,

在△力比'和△6ZF中，/q卬，

4ABE=/CDF,

???△48慮△處(ASA),

：.AE=CF.

???四邊形/靦是矩形，

:,AD=BC,AD〃BC,

：.DE=BF,DE"BF,

???四邊形8Q定為平行四邊形.

證法二：???四邊形力版是矩形，

：,AB//CD,ADaBC,

：./ABD=/CDB,DE//BF.

由折疊的性質(zhì)得/砌H1/4必，NFDB='NCDB,

22

AZ.EBD=ZFDB,J.BE//DF.

又,：DE"BF,

???四邊形即爾為平行四邊形.

（2）???四邊形即宏為菱形，

:?BE=DE,4FBD=ZEBD=NABE.

???四邊形力以力是矩形，

：.AD=BCfZA=ZABC=90°,

:"ABE=/FBD=/EBD=3Q：

在RlZM的中，'：AB=2,

2234

：.AE==,BE=2AE=3,

333

234

工BC=AD=AE+DE=AE+BE=+3=23.

33

17.解：（1）證明：???△/劭和△比F都是等邊三角形，

:"ABC+/FBA=/DBF+/FBA=6Q0,

NABC=4DBF.

又?：BA=BD,BC=BF,

:AAB微△DBF,

：.AC=DF=AE.

同理可證△?!比用△夕匕

：.AB=EF=AD,

???四邊形的牙'是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

⑵①/%占150°

?AB=AC^BC

③N%C=60°

3第1課時(shí)正方形的性質(zhì)

1.如圖1一3—1,在正方形力8⑦中，點(diǎn)￡在邊ZT上，龍=4,￡。=2,則熊的長(zhǎng)為—

A

B

2.如圖1一3—2,正方形被力的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E在邊DC上,AE平分/DAC,EF1AC,

尸為垂足，那么g.

3.如圖1—3—3,四邊形力及力是正方形，E,尸分別是力8,力〃上的一點(diǎn)，且BF上CE,

垂足為&求證：AF=BE.

圖1一3一3

4.如圖1—3—4,在正方形如切的外側(cè)作等邊三角形力班；則/月度的度數(shù)為（）

A.10°B.12.5°C.15°D.20°

D圖1一3一4

A

1-3—5

5.如圖1一3—5,￡為正方形4%》的對(duì)角線劭上的一點(diǎn)，且BE=BC,則/腔=

O

6.如圖1一3一6,四邊形力及力是正方形，△歐是等邊三角形.

(1)求證：△力用N△"后

(2)求乙破9的度數(shù).

圖1一3一6

7.若正方形的一條對(duì)角線長(zhǎng)為4,則這個(gè)正方形的面積是()

A.8B.42C.82D.16

圖1-3-7

8.如圖1一3一7,三個(gè)邊長(zhǎng)均為2的正方形重疊在一起，Q,a是其中兩個(gè)正方形的中

心，則陰影部分的面積是_______.

9.如圖1一3—8,正方形力比。的邊長(zhǎng)為4,E,尸分別為0a比的中點(diǎn).

(1)求證：XAD曜XABF：

(2)求△力￡尸的面積.

圖1-3-8

10.如圖1—3—9,在平面直角坐標(biāo)系中，正方形以比?的頂點(diǎn)G8的坐標(biāo)分別是(0,

0),(2,0),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是()

A.(1?1)B.(—1?—1)C.(1,—1)D.(—1,1)

11.如圖1一3—10,在正方形力中，E是AB上一點(diǎn),BE=2,AE=3BE,P是〃'上一

動(dòng)點(diǎn)，則陽+%的最小值是.

12.如圖1一3—11,在正方形力質(zhì)的外側(cè)，作等邊三角形/1〃6，AC,跖相交于點(diǎn)凡

則N毋'C的度數(shù)為()

A.45°B.55°

圖1-3-12

13.如圖1一3—12,正方形的邊長(zhǎng)為2,連接4C,AE平分乙CAD,交回的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)eFAUE,交⑦的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E