全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·必修第二冊(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 第10章

第十章10.110.1.1、2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．許洋說：“本周我至少做完3套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說的事件為A，則A的對立事件為()A．至多做完3套練習(xí)題 B．至多做完2套練習(xí)題C．至多做完4套練習(xí)題 D．至少做完2套練習(xí)題【答案】B【解析】至少做完3套練習(xí)題包含做完3，4，5，6，…套練習(xí)題，故它的對立事件包含做完0，1，2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題．2．若顏色分別為紅、黑、白的三個(gè)球隨機(jī)地分給甲、乙、丙3人，每人分得1個(gè)球，事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是()A．對立事件 B．不可能事件C．互斥事件 D．必然事件【答案】C【解析】由于三個(gè)人都可以持有紅球，故事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不可能是對立事件，又事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，故兩事件的關(guān)系是互斥事件．故選C．3．(2024年上海普陀區(qū)模擬)從放有兩個(gè)紅球、一個(gè)白球的袋子中一次任意取出兩個(gè)球，兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為A，B，白球標(biāo)記為C，則它的一個(gè)樣本空間可以是()A．{AB，BC} B．{AB，AC，BC}C．{AB，BA，BC，CB} D．{AB，BA，AC，CA，CB}【答案】B【解析】兩個(gè)紅球分別標(biāo)記為A，B，白球標(biāo)記為C，則抽取兩個(gè)球的情況為AB，AC，BC，即它的一個(gè)樣本空間可以是{AB，AC，BC}．故選B．4．在25件同類產(chǎn)品中，有2件次品，從中任取3件產(chǎn)品，其中不可能事件為()A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】C【解析】25件產(chǎn)品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故選C．5．(多選)小華在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上有意向報(bào)名“100米”與“跳遠(yuǎn)”兩個(gè)項(xiàng)目，事件A表示“他只報(bào)100米”，事件B表示“他至少報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目”，事件C表示“他至多報(bào)其中一個(gè)項(xiàng)目”，事件D表示“他不報(bào)100米”，事件E表示“他一個(gè)項(xiàng)目也不報(bào)”，則()A．A與C是互斥事件B．A與D是互斥事件，但不是對立事件C．B與D不是互斥事件D．B與E是互斥事件，也是對立事件【答案】BCD【解析】樣本空間Ω＝{只報(bào)100米，只報(bào)跳遠(yuǎn)，100米與跳遠(yuǎn)都報(bào)，100米與跳遠(yuǎn)都不報(bào)}，A＝{只報(bào)100米}，B＝{只報(bào)100米，只報(bào)跳遠(yuǎn)，100米與跳遠(yuǎn)都報(bào)}，C＝{只報(bào)100米，只報(bào)跳遠(yuǎn)，100米與跳遠(yuǎn)都不報(bào)}，D＝{只報(bào)跳遠(yuǎn)，100米與跳遠(yuǎn)都不報(bào)}，E＝{100米與跳遠(yuǎn)都不報(bào)}．由A∩C＝A≠?，知A與C不是互斥事件，A錯(cuò)誤．由A∩D＝?，A∪D≠Ω，知A與D是互斥事件，但不是對立事件，B正確．由B∩D≠?，知B與D不是互斥事件，C正確．由B∪E＝Ω，且B∩E＝?，知B與E是互斥事件，也是對立事件，D正確．6．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型3個(gè)興趣小組，某學(xué)生只選報(bào)其中的2個(gè)，則試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】該生選報(bào)的所有可能情況：{數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)}，{數(shù)學(xué)和航空模型}，{計(jì)算機(jī)和航空模型}，所以試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有3個(gè)．7．(2024年上海寶山區(qū)校級月考)下列事件中，屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號(hào)是________．①明天是陰天；②方程x2＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③明天吳淞口的最高水位是4.5米；④三角形中，大角對大邊．【答案】①③【解析】對于①③，明天的事是未來才發(fā)生的事，具有不確定性，故①③屬于隨機(jī)現(xiàn)象；對于②，由x2＋1＝0，得x2＝－1，顯然在實(shí)數(shù)域方程無解，故②屬于不可能事件；對于④，由正弦定理易知在三角形中，大角對大邊．故④屬于確定事件．綜上，屬于隨機(jī)現(xiàn)象的序號(hào)是①③．8．(2024年上海黃浦區(qū)期末)袋子里裝有大小與質(zhì)地均相同的1個(gè)紅球、1個(gè)白球和1個(gè)黑球，從中任取一個(gè)球，觀察其顏色，該隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間中的樣本點(diǎn)為________．(只需寫出一個(gè))【答案】{紅色}(答案不唯一)【解析】由題意得，樣本空間Ω＝{紅色，白色，黑色}．9．做擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則這個(gè)試驗(yàn)不同的結(jié)果數(shù)有________種．【答案】36【解析】將這個(gè)試驗(yàn)的所有結(jié)果一一列舉出來為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共有36種．10．設(shè)有一列北上的火車，已知?？康恼居赡现帘狈謩e為S1，S2，…，S10站．若甲在S3站買票，乙在S6站買票，設(shè)樣本空間Ω表示火車所有可能停靠的站，令A(yù)表示甲可能到達(dá)的站的集合，B表示乙可能到達(dá)的站的集合．(1)寫出該事件的樣本空間Ω．(2)用集合表示事件A、事件B．(3)鐵路局需為該列車準(zhǔn)備多少種北上的車票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}，B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)鐵路局需要準(zhǔn)備從S1站發(fā)車的車票共計(jì)9種，從S2站發(fā)車的車票共計(jì)8種，…，從S9站發(fā)車的車票1種，合計(jì)共9＋8＋…＋2＋1＝45(種)．B級——綜合運(yùn)用練11．(多選)(2024年溧陽期末)某籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃訓(xùn)練，連續(xù)投籃兩次，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“兩次都投中”，事件B表示隨機(jī)事件“兩次都未投中”，事件C表示隨機(jī)事件“恰有一次投中”，事件D表示隨機(jī)事件“至少有一次投中”，則下列關(guān)系正確的是()A．A?D B．B∩D＝?C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D【答案】ABD【解析】對于A，事件A表示“兩次都投中”，事件D表示“至少有一次投中”，即表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故A?D，故A正確；對于B，事件B和事件D是對立事件，故B∩D＝?，故B正確；對于C，事件A∪B表示“兩次都投中”或“兩次都未投中”，而事件B∪D表示“兩次都未投中”“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故C錯(cuò)誤；對于D，事件A∪C表示“兩次都投中”或“恰有一次投中”，故A∪C＝D，故D正確．故選ABD．12．如圖所示，事件A＝“甲元件正?！保珺＝“乙元件正?！?，C＝“丙元件正?！?，則A∪B∪C表示的含義為____________，eq\x\to(A)∩eq\x\to(B)∩eq\x\to(C)表示的含義為____________．【答案】電路工作正常電路工作不正常13．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽．判斷下列各對事件是不是互斥事件，并說明理由．(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．解：(1)是互斥事件．理由：在所選的2名同學(xué)中，“恰有1名男生”實(shí)質(zhì)是選出的是“1名男生和1名女生”，它與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以是一對互斥事件．(2)不是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”兩種結(jié)果，它們可能同時(shí)發(fā)生．(3)不是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，它與“全是男生”可能同時(shí)發(fā)生．(4)是互斥事件．理由：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”兩種結(jié)果，它與“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年巴中期末)如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，下列事件為必然事件的是()A．A燈亮，B燈不亮 B．A燈不亮，B燈亮C．A，B兩盞燈均亮 D．A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】根據(jù)題意，這是一個(gè)并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時(shí)，電流會(huì)經(jīng)過開關(guān)，然后分別流經(jīng)A燈和B燈，因此，A燈和B燈都會(huì)亮，所以，必然事件是A，B兩盞燈均亮．故選C．第十章10.110.1.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列是古典概型的有()A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【答案】ABD【解析】A，B，D為古典概型，因?yàn)槎挤瞎诺涓判偷膬蓚€(gè)特征：有限性和等可能性，而C不符合等可能性，故不為古典概型．故選ABD．2．從集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一個(gè)，記為M，則集合M恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)【答案】C【解析】集合{a，b，c，d，e}的子集有25＝32(個(gè))，而集合{a，b，c}的子集有23＝8(個(gè))，所以所求概率p＝eq\f(8,32)＝eq\f(1,4)．3．同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則方程2x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】因?yàn)榉匠?x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以Δ＝a2－8b＞0，又同時(shí)投擲兩個(gè)骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則共包含36個(gè)樣本點(diǎn)，滿足a2－8b＞0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9個(gè)樣本點(diǎn)，所以方程2x2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4)．故選B．4．將一個(gè)各個(gè)面上涂有顏色的正方體鋸成27個(gè)同樣大小的小正方體，從中任取一個(gè)小正方體，其中恰有3面涂有顏色的概率為()A．eq\f(4,27) B．eq\f(8,27)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【答案】B【解析】在這27個(gè)小正方體中，只有原正方體的8個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的小正方體的3面是涂色的，故概率p＝eq\f(8,27)．5．某部三冊的小說，任意排放在書架的同一層上，則各冊從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊的概率為()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)【答案】B【解析】所有樣本點(diǎn)為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)．其中從左到右或從右到左恰好為第1，2，3冊包含2個(gè)樣本點(diǎn)，所以p＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．故選B．6．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,5)【答案】A【解析】如圖，從O，A，B，C，D5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)，有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10個(gè)樣本點(diǎn)．3點(diǎn)共線有(O，A，C)與(O，B，D)共2個(gè)樣本點(diǎn)，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到的3點(diǎn)共線的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)．7．將一枚質(zhì)地均勻的一元硬幣拋3次，恰好出現(xiàn)一次正面的概率是________．【答案】eq\f(3,8)【解析】試驗(yàn)共有8個(gè)結(jié)果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出現(xiàn)一次正面的結(jié)果有3個(gè)，故所求的概率是eq\f(3,8)．8．從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是_______；若有放回地任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率是________．【答案】eq\f(3,10)eq\f(4,25)【解析】從5個(gè)數(shù)字中不放回地任取兩個(gè)數(shù)，樣本點(diǎn)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個(gè)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等．因?yàn)槎紴槠鏀?shù)的樣本點(diǎn)有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3個(gè)，所以所求概率p＝eq\f(3,10)．從5個(gè)數(shù)字中有放回地任取兩個(gè)數(shù)，樣本點(diǎn)共有25個(gè)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，都為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有(2，4)，(4，2)，(2，2)，(4，4)共4個(gè)，故概率p＝eq\f(4,25)．9．在某學(xué)校圖書館的書架上隨意放著編號(hào)為1，2，3，4，5的五本書，若某同學(xué)從中任意選出2本書，則選出的2本書編號(hào)相連的概率為________．【答案】eq\f(2,5)【解析】從五本書中任意選出2本書的所有可能情況為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10種，滿足2本書編號(hào)相連的所有可能情況為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)共4種，故選出的2本書編號(hào)相連的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．10．一只口袋裝有形狀大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只紅球，2只黃球，從中隨機(jī)摸出2只球，試求：(1)2只球都是紅球的概率；(2)2只球同色的概率；(3)“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的幾倍？解：記兩只白球分別為a1，a2；兩只紅球分別為b1，b2；兩只黃球分別為c1，c2．從中隨機(jī)取2只球的所有結(jié)果為(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c2)，(c1，c2)，共15種結(jié)果．(1)2只球都是紅球?yàn)?b1，b2)，共1種，故2只球都是紅球的概率p1＝eq\f(1,15)．(2)2只球同色的為(a1，a2)，(b1，b2)，(c1，c2)，共3種，故2只球同色的概率p2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)．(3)恰有1只是白球?yàn)?a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a2，c2)，共8種，其概率p3＝eq\f(8,15)；2只球都是白球?yàn)?a1，a2)，共1種，故概率p4＝eq\f(1,15)．所以“恰有1只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．B級——綜合運(yùn)用練11．有一列數(shù)由奇數(shù)組成：1，3，5，7，9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個(gè)數(shù)為1，第二組有2個(gè)數(shù)為3，5，第三組有3個(gè)數(shù)為7，9，11，…，依此類推，則從第10組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)C．eq\f(1,5) D．eq\f(3,5)【答案】B【解析】由已知可得前9組共有1＋2＋3＋…＋9＝45個(gè)奇數(shù)，則第10組第一個(gè)數(shù)為45×2＋1＝91，第10組有10個(gè)數(shù)分別為91，93，95，97，99，101，103，105，107，109，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)為93，99，105．故所求概率p＝eq\f(3,10)．故選B．12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個(gè)數(shù)k∈A，則冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)的概率為________．【答案】eq\f(1,4)【解析】集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，任取一個(gè)數(shù)k∈A，基本事件總數(shù)n＝8，冪函數(shù)f(x)＝xk為偶函數(shù)，則k＝－2，2，即包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝2，∴所求概率p＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．13．一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．(1)共有多少個(gè)樣本點(diǎn)？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分別記白球?yàn)?，2，3號(hào)，黑球?yàn)?，5號(hào)，從中摸出2只球，有如下樣本點(diǎn)(摸到1，2號(hào)球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10個(gè)樣本點(diǎn)．(2)上述10個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同，且只有3個(gè)樣本點(diǎn)是摸到兩只白球(記為事件A)，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P(A)＝eq\f(3,10)．故摸出2只球都是白球的概率為eq\f(3,10)．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(7,18) D．eq\f(4,9)【答案】D【解析】記“|a－b|≤1”為事件A，由于a，b∈{1，2，3，4，5，6}，則事件A包含的樣本點(diǎn)有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16個(gè)，而依題意得，樣本點(diǎn)總數(shù)為36，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，因此他們“心有靈犀”的概率p＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9)．故選D．第十章10.110.1.4A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列說法正確的有()A．必然事件的概率為1B．不可能事件的概率為0C．若事件A與B為隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)D．若A與B為對立事件，則P(A)＝1－P(B)【答案】ABD【解析】由概率的性質(zhì)知A，B，D正確．對于C，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，故錯(cuò)誤．2．從4名男生和2名女生中任選3人去參加演講比賽，所選3人中至少有1名女生的概率為eq\f(4,5)，那么所選3人中都是男生的概率為()A．eq\f(1,5) B．eq\f(1,4)C．eq\f(4,5) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】設(shè)A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都是男生}，則A，B為對立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝eq\f(1,5)．3．(2024年益陽期末)不透明的口袋內(nèi)裝有編號(hào)為1，2，3的卡片各若干張，從中隨機(jī)取出一張，若編號(hào)為1的概率為0.5，編號(hào)為2的概率為0.3，則編號(hào)為奇數(shù)的概率為()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】設(shè)“編號(hào)為1，2，3”分別為事件A1，A2，A3，“編號(hào)為奇數(shù)”為事件C．因?yàn)镻(A1)＝0.5，P(A2)＝0.3，所以P(A3)＝1－0.5－0.3＝0.2，所以P(C)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)＝0.5＋0.2＝0.7．4．(2024年茂名開學(xué)考)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7 B．0.2C．0.1 D．0.3【答案】D【解析】∵抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品，事件A＝{抽到一等品}，P(A)＝0.7，∴“抽到的不是一等品”的概率是1－0.7＝0.3．故選D．5．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件B表示“向上的點(diǎn)數(shù)不超過3”，則P(A∪B)＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(5,6) D．1【答案】C【解析】(方法一)A包含向上點(diǎn)數(shù)是2，4，6的情況，B包含向上的點(diǎn)數(shù)是1，2，3的情況，所以A∪B包含了向上點(diǎn)數(shù)是1，2，3，4，6的情況，故P(A∪B)＝eq\f(5,6)．(方法二)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)．故選C．6．某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2，0.3，0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為()A．0.9 B．0.3C．0.6 D．0.4【答案】D【解析】設(shè)“該射手在一次射擊中不夠8環(huán)”為事件A，則事件A的對立事件eq\x\to(A)是“該射手在一次射擊中不小于8環(huán)”．∵事件eq\x\to(A)包括射中8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，這三個(gè)事件是互斥的，∴P(eq\x\to(A))＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－0.6＝0.4，即該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為0.4．7．事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，則P(A)＝________．【答案】eq\f(2,5)【解析】因?yàn)槭录嗀，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)．又因?yàn)镻(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5)．8．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2．(1)若B?A，則P(A∪B)＝________；(2)若A，B互斥，則P(A∪B)＝________．【答案】(1)0.4(2)0.6【解析】(1)因?yàn)锽?A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4．(2)因?yàn)锳，B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6．9．袋中裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，從中任取一球，摸出紅球、白球的概率分別是0.4和0.35，那么黑球有________個(gè)．【答案】25【解析】由題意，可得任取一球是黑球的概率為1－(0.4＋0.35)＝0.25，所以黑球有100×0.25＝25(個(gè))．10．某飲料公司對一名員工進(jìn)行測試以便確定其考評級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對，則評為優(yōu)秀；若3杯選對2杯，則評為良好；否則評為不合格．假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率；(2)求此人被評為良好及以上的概率．解：將5杯飲料編號(hào)為1，2，3，4，5，編號(hào)1，2，3表示A飲料，編號(hào)4，5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10種．令D表示此人被評為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評為良好及以上的事件．(1)P(D)＝eq\f(1,10)．(2)P(E)＝eq\f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10)．B級——綜合運(yùn)用練11．(多選)某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33個(gè)成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示．現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)成員，則()A．他只屬于音樂小組的概率為eq\f(1,13)B．他只屬于英語小組的概率為eq\f(8,15)C．他屬于至少2個(gè)小組的概率為eq\f(3,5)D．他屬于不超過2個(gè)小組的概率為eq\f(13,15)【答案】CD【解析】由題圖知參加興趣小組的人數(shù)為6＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝60，只屬于數(shù)學(xué)、英語、音樂小組的人數(shù)分別為10，6，8，故只屬于音樂小組的概率為eq\f(8,60)＝eq\f(2,15)；只屬于英語小組的概率為eq\f(6,60)＝eq\f(1,10)；“至少2個(gè)小組”包含“2個(gè)小組”和“3個(gè)小組”兩種情況，故他屬于至少2個(gè)小組的概率為eq\f(11＋10＋7＋8,60)＝eq\f(3,5)；“不超過2個(gè)小組”包含“1個(gè)小組”和“2個(gè)小組”，其對立事件是“3個(gè)小組”，故他屬于不超過2個(gè)小組的概率是p＝1－eq\f(8,60)＝eq\f(13,15)．故選CD．12．甲、乙兩人參加普法知識(shí)競賽，共有5道不同的題目．其中，選擇題3道，判斷題2道，甲、乙兩人各抽一題．甲、乙兩人中有一人抽到選擇題，另一人抽到判斷題的概率是________；甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是________．【答案】eq\f(3,5)eq\f(9,10)【解析】把3道選擇題記為x1，x2，x3，2道判斷題記為p1，p2．總的事件數(shù)為20．“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6種；“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種；“甲、乙都抽到選擇題”的情況有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有(p1，p2)，(p2，p1)，共2種．“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)，故“甲、乙兩人中有一人抽到選擇題，另一人抽到判斷題”的概率為eq\f(3,10)＋eq\f(3,10)＝eq\f(3,5)．“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10)．13．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為4，5．從這五張卡片中任取兩張，如果每張卡片被抽取的機(jī)會(huì)相等，分別計(jì)算下列事件的概率：(1)事件A＝“這兩張卡片顏色不同”；(2)事件B＝“這兩張卡片標(biāo)號(hào)之和小于7”；(3)事件C＝“這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于7”；(4)事件D＝“這兩張卡片標(biāo)號(hào)之和不小于7”．解：從五張卡片中任取兩張，對應(yīng)的樣本空間Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn)．(1)A＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．(2)B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)}，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)．(3)C＝{(1，4)，(1，5)，(2，4)}，共有3個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(C)＝eq\f(3,10)．(4)由題意得，事件D與事件B是對立事件，所以P(D)＝1－P(B)＝eq\f(2,5)．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年濟(jì)南二模)在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡【答案】A【解析】∵在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是eq\f(3,10)，則概率是eq\f(7,10)的事件是“2張全是移動(dòng)卡”的對立事件，∴概率是eq\f(7,10)的事件是“至多有一張移動(dòng)卡”．故選A．第十章10.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件C．對立事件 D．不相互獨(dú)立事件【答案】D【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件和相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．故選D．2．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨(dú)立 D．事件A與B既互斥又獨(dú)立【答案】C【解析】因?yàn)镻(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，所以P(A)＝eq\f(1,3)，又因?yàn)镻(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨(dú)立但不一定互斥．故選C．3．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是()A．eq\f(14,25) B．eq\f(12,25)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,5)【答案】A【解析】由題意知P(甲)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，P(乙)＝eq\f(7,10)，所以p＝P(甲)·P(乙)＝eq\f(14,25)．故選A．4．(多選)已知事件A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，則()A．P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3) B．P(Aeq\x\to(B))＝eq\f(1,3)C．P(A＋B)＝eq\f(2,3) D．P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,2)【答案】ACD【解析】因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，所以P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故A正確；P(Aeq\x\to(B))＝P(A)P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,6)，故B錯(cuò)誤；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)，故C正確；P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故D正確．故選ACD．5．國慶節(jié)期間，甲去北京旅游的概率為eq\f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5)．假定3人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為()A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)【答案】B【解析】因?yàn)榧?、乙、丙去北京旅游的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，所以他們不去北京旅游的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(4,5)，故至少有1人去北京旅游的概率為1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(3,5)．故選B．6．有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生A解出的概率為eq\f(1,2)，學(xué)生B解出的概率為eq\f(1,3)，學(xué)生C解出的概率為eq\f(1,4)．若A，B，C三人獨(dú)立去解答此題，則恰有一人解出的概率為()A．1 B．eq\f(1,4)C．eq\f(11,24) D．eq\f(17,24)【答案】C【解析】一道數(shù)學(xué)難題，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；②B解出，A，C解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；③C解出，A，B解不出，概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)．所以恰有1人解出的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24)．7．有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.9，在兩批種子中各取一粒，則恰有一粒種子能發(fā)芽的概率是________．【答案】0.26【解析】所求概率p＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26．8．有甲、乙、丙三個(gè)箱子，甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，丙箱中有4個(gè)紅球．現(xiàn)從三個(gè)箱子中任選一箱，從中任意摸出一球，則摸到紅球的概率是________．【答案】eq\f(2,3)【解析】由題意，甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，丙箱中有4個(gè)紅球，現(xiàn)從三個(gè)箱子中任選一箱，從中任意摸出一球，則摸到紅球的概率為eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×1＝eq\f(2,3)．9．某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．【答案】eq\f(3,5)【解析】設(shè)此隊(duì)員每次罰球的命中率為p，則1－p2＝eq\f(16,25)，所以p＝eq\f(3,5)．10．甲、乙、丙分別對一個(gè)目標(biāo)射擊，甲射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,2)，乙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，丙射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,4)，現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)：(1)求目標(biāo)被擊中的概率；(2)求三人中至多有1人擊中目標(biāo)的概率．解：(1)由題意，甲命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,2)，乙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，丙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,4)，可得目標(biāo)不被擊中的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，所以由對立事件的概率公式，可得目標(biāo)被擊中的概率為1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．(2)由題意，可分為兩類．①三人都未擊中，其概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)；②三人中恰有1人擊中，其概率為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)．所以三人中至多有1人擊中目標(biāo)的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(11,24)＝eq\f(17,24)．B級——綜合運(yùn)用練11．(多選)(2024年深圳月考)袋中裝有5張相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1張卡片．A表示事件“第一次取出的卡片數(shù)字是奇數(shù)”，B表示事件“第二次取出的卡片數(shù)字是偶數(shù)”，C表示事件“兩次取出的卡片數(shù)字之和是6”，則()A．P(A∪B)＝1 B．P(B∪C)＝eq\f(13,25)C．A與B相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】BCD【解析】由題意可知，第一次抽取和第二次抽取是相互獨(dú)立的，故A與B相互獨(dú)立，故C正確；事件A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，C＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，B∩C＝{(2，4)，(4，2)}，則P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(2,5)，P(C)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5)，P(BC)＝eq\f(2,25)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)－eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(19,25)，故A錯(cuò)誤；P(B∪C)＝P(B)＋P(C)－P(BC)＝eq\f(13,25)，故B正確；P(BC)＝P(B)P(C)＝eq\f(2,25)，故B與C相互獨(dú)立，故D正確．故選BCD．12．乒乓球比賽的11分制賽則規(guī)定：每局比賽先得11分的參賽者為勝方，若出現(xiàn)10平比分，則以先多得2分者為勝方；在10平后，雙方實(shí)行輪換發(fā)球法，每人每次只發(fā)1個(gè)球．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為eq\f(2,5)，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為eq\f(1,2)，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局出現(xiàn)10平比分后，若甲先發(fā)球，則甲以12∶10獲勝的概率為________，甲以13∶11獲勝的概率為________．【答案】eq\f(1,5)eq\f(1,10)【解析】依題意，當(dāng)甲以12∶10獲勝時(shí)，所求事件的概率為p＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,5)；當(dāng)甲以13∶11獲勝時(shí)，還需進(jìn)行四場比賽，發(fā)球方分別是甲、乙、甲、乙，獲勝的可能情況有①第一場甲輸，第二場甲贏，第三場甲贏，第四場甲贏；②第一場甲贏，第二場甲輸，第三場甲贏，第四場甲贏，故所求事件的概率為p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,10)．13．(2024年常州期末)為了增添學(xué)習(xí)生活的樂趣，甲、乙兩人決定進(jìn)行一場投籃比賽，每次投1個(gè)球．先由其中一人投籃，若投籃不中，則換另一人投籃；若投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，當(dāng)且僅當(dāng)出現(xiàn)某人連續(xù)兩次投籃命中的情況，則比賽結(jié)束，且此人獲勝．經(jīng)過抽簽決定，甲先開始投籃．已知甲每次投籃命中的概率為eq\f(1,2)，乙每次投籃命中的概率為eq\f(1,3)，且兩人每次投籃的結(jié)果均互不干擾．(1)求甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時(shí)，乙獲勝的概率；(2)求比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好投了2次籃的概率．解：(1)根據(jù)題意，總次數(shù)為3時(shí)，乙獲勝的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，總次數(shù)為4時(shí)，乙獲勝的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,36)，所以甲、乙投籃總次數(shù)不超過4次時(shí)，乙獲勝的概率為eq\f(1,18)＋eq\f(1,36)＝eq\f(1,12)．(2)比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好投了2次籃的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(49,162)．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．如圖為類似“楊輝三角”圖形的豎直平面內(nèi)的一些通道，圖中線條均表示通道，一鋼珠從入口E處自上而下沿通道自由落下，則其落到B處的概率是________．【答案】eq\f(3,8)【解析】首先分清從E處出發(fā)到達(dá)B處的具體途徑，然后繼續(xù)求解．鋼珠從E處落下，①有eq\f(1,2)的概率落到EF，經(jīng)FH后有eq\f(1,2)的概率落到HJ，經(jīng)JM后有eq\f(1,2)的概率落到MN，最后落到B處，即p1＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)；②有eq\f(1,2)的概率落到EF，經(jīng)FH后有eq\f(1,2)的概率落到HK，經(jīng)KO后有eq\f(1,2)的概率落到ON，最后落到B處，即p2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)；③有eq\f(1,2)的概率落到EG，經(jīng)GI后有eq\f(1,2)的概率落到IK，經(jīng)KO后有eq\f(1,2)的概率落到ON，最后落到B處，即p3＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)．所以p＝p1＋p2＋p3＝eq\f(3,8)．第十章10.310.3.1、2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為()A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.56 D．0.5，0.5【答案】B【解析】在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為eq\f(560,1000)＝0.56，概率為0.5．故選B．2．(2024年成都新津區(qū)月考)下列說法一定正確的是()A．一名籃球運(yùn)動(dòng)員，號(hào)稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會(huì)出現(xiàn)三投都不中的情況B．一個(gè)骰子擲一次得到2的概率是eq\f(1,6)，則擲6次一定會(huì)出現(xiàn)一次2C．若買彩票中獎(jiǎng)的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)一元D．隨機(jī)事件發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)【答案】D【解析】“百發(fā)百中“說明投中的可能性比較大，但有可能出現(xiàn)三投不中的可能，即A錯(cuò)誤；“eq\f(1,6)”是事件發(fā)生的可能性，擲6次也可能不出現(xiàn)一次2，即B錯(cuò)誤；買彩票中獎(jiǎng)的概率為萬分之一，也是事件發(fā)生的可能性，買一萬元的彩票也可能一元不中，即C錯(cuò)誤；隨機(jī)事件發(fā)生的概率是多次試驗(yàn)的穩(wěn)定值，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)，D正確．故選D．3．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表所示：分組[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10，40)上的頻率為()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65【答案】B【解析】在區(qū)間[10，40)的頻數(shù)為2＋3＋4＝9，所以頻率為eq\f(9,20)＝0.45．4．?dāng)?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2018石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得270粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．222石 B．224石C．230石 D．232石【答案】B【解析】由題意，抽樣取米一把，數(shù)得270粒米內(nèi)夾谷30粒，即夾谷占有的概率為eq\f(30,270)＝eq\f(1,9)，所以2018石米中夾谷約為2018×eq\f(1,9)≈224(石)．故選B．5．假定某運(yùn)動(dòng)員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每兩個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：9328124585696834312573930275564887301135據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A．0.50 B．0.45C．0.40 D．0.35【答案】A【解析】兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機(jī)數(shù)中有且只有一個(gè)數(shù)為1，2，3，4中的之一．它們分別是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10個(gè)，因此所求的概率為eq\f(10,20)＝0.50．故選A．6．(2024年青海期末)某超市舉行購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定購物消費(fèi)每滿188元就送一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，中獎(jiǎng)的概率為15%，則下列說法正確的是()A．某人抽獎(jiǎng)100次，一定能中獎(jiǎng)15次B．某人抽獎(jiǎng)200次，至少能中獎(jiǎng)3次C．某人抽獎(jiǎng)1次，一定不能中獎(jiǎng)D．某人抽獎(jiǎng)20次，可能1次也沒中獎(jiǎng)【答案】D【解析】中獎(jiǎng)的概率為15%，與抽的次數(shù)無關(guān)，只是有15%中獎(jiǎng)的可能性．分析各選項(xiàng)可知，A，B，C錯(cuò)誤，D正確．7．在用隨機(jī)數(shù)(整數(shù))模擬“有4個(gè)男生和5個(gè)女生，從中抽選4個(gè)，被抽選的4個(gè)中有2個(gè)男生2個(gè)女生”的概率時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)整數(shù)，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因?yàn)槭沁x出4個(gè)，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．若得到的一組隨機(jī)數(shù)為“4678”，則它代表的含義是__________________________．【答案】選出的4人中，只有1個(gè)男生【解析】用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示選出的4人中，有1個(gè)男生3個(gè)女生．8．隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)上購物已逐漸成為消費(fèi)時(shí)尚，為了解消費(fèi)者對網(wǎng)上購物的滿意情況，某公司隨機(jī)對4500名網(wǎng)上購物消費(fèi)者進(jìn)行了調(diào)查(每名消費(fèi)者限選一種情況回答)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：滿意狀況不滿意比較滿意滿意非常滿意人數(shù)200n21001000根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)在網(wǎng)上購物的消費(fèi)者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是________．【答案】eq\f(11,15)【解析】由題意得，n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的總?cè)藬?shù)為1200＋2100＝3300，所以隨機(jī)調(diào)查的消費(fèi)者中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的頻率為eq\f(3300,4500)＝eq\f(11,15)．由此估計(jì)在網(wǎng)上購物的消費(fèi)者群體中對網(wǎng)上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為eq\f(11,15)．9．某生物實(shí)驗(yàn)室研究利用某種微生物來治理污水，每10000個(gè)微生物菌種大約能成功培育出成品菌種8000個(gè)，根據(jù)概率的統(tǒng)計(jì)定義，現(xiàn)需要6000個(gè)成品菌種，大概要準(zhǔn)備________個(gè)微生物菌種．【答案】7500【解析】現(xiàn)需要6000個(gè)成品菌種，設(shè)大概要準(zhǔn)備n個(gè)微生物菌種，∵每10000個(gè)微生物菌種大約能成功培育出成品菌種8000個(gè)，∴eq\f(8000,10000)＝eq\f(6000,n)，解得n＝7500．10．隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率．解：(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計(jì)概率，得在4月份任取一天，西安市在該天不下雨的概率約為eq\f(13,15)．(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對”(如1日與2日，2日與3日等)．這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)．以頻率估計(jì)概率，得運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率約為eq\f(7,8)．B級——綜合運(yùn)用練11．袋子中分別裝有形狀、大小相同的球，從袋中無放回地取球，有三個(gè)游戲規(guī)則如表所示：游戲1游戲2游戲3袋中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球袋中裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球袋中裝有3個(gè)黑球和1個(gè)白球從袋中取出2個(gè)球從袋中取出2個(gè)球從袋中取出2個(gè)球若取出的兩個(gè)球同色，則甲勝若取出的兩個(gè)球同色，則甲勝若取出的兩個(gè)球同色，則甲勝若取出的兩個(gè)球不同色，則乙勝若取出的兩個(gè)球不同色，則乙勝若取出的兩個(gè)球不同色，則乙勝其中不公平的游戲是()A．游戲2 B．游戲3C．游戲1和游戲2 D．游戲1和游戲3【答案】C【解析】對于游戲1，取出兩球同色的概率為eq\f(2,5)，取出不同色的概率為eq\f(3,5)，不公平；對于游戲2，取出兩球同色的概率為eq\f(1,3)，取出不同色的概率為eq\f(2,3)，不公平；對于游戲3，取出兩球同色即全是黑球，概率為0.5，取出不同色的也為0.5，公平．故選C．12．用木塊制作的一個(gè)四面體，四個(gè)面上分別標(biāo)記1，2，3，4．重復(fù)拋擲這個(gè)四面體100次，記錄每個(gè)面落在桌面的次數(shù)(如下表)，則標(biāo)記3的面落在桌面上的頻數(shù)是________；若再拋擲一次，估計(jì)標(biāo)記3的面落在桌面上的概率為________．四面體的面1234頻數(shù)1923x36【答案】220.22【解析】標(biāo)記3的面落在桌面上的頻數(shù)為100－19－23－36＝22，則頻率為eq\f(22,100)＝0.22，故其概率的估計(jì)值為0.22．13．某活動(dòng)小組為了估計(jì)裝有5個(gè)白球和若干個(gè)紅球(每個(gè)球除顏色外都相同)的袋中紅球接近多少個(gè)，在不將袋中的球倒出來的情況下，分小組進(jìn)行摸球試驗(yàn)，兩人一組，共20組進(jìn)行摸球試驗(yàn)．其中一位學(xué)生摸球，另一位學(xué)生記錄所摸球的顏色，并將球放回袋中搖勻，每一組做400次試驗(yàn)，匯總起來后，摸到紅球次數(shù)為6000次．(1)估計(jì)從袋中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率；(2)請你估計(jì)袋中紅球的個(gè)數(shù)．解：(1)因?yàn)?0×400＝8000，所以摸到紅球的頻率為eq\f(6000,8000)＝0.75．因?yàn)樵囼?yàn)次數(shù)很大，大量試驗(yàn)時(shí)，頻率接近于理論概率，所以估計(jì)從袋中任意摸出一個(gè)球，恰好是紅球的概率是0.75．(2)設(shè)袋中紅球有x個(gè)，根據(jù)題意得eq\f(x,x＋5)＝0.75，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解．所以估計(jì)袋中紅球有15個(gè)．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．某超市計(jì)劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25℃，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20℃，25℃)內(nèi)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20℃，需求量為100瓶．為了確定6月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年6月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)36253818將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過x瓶的概率估計(jì)值為0.1，則x＝()A．100 B．300C．400 D．600【答案】B【解析】由表可知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(3＋6,90)＝0.1，∴若6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計(jì)值為0.1，∴x＝300．故選B．第十章習(xí)題課A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年撫順模擬)甲、乙兩名同學(xué)分別從“武術(shù)”“排球”“游泳”“體操”四個(gè)社團(tuán)中隨機(jī)選擇一個(gè)社團(tuán)加入，則這兩名同學(xué)加入的是同一個(gè)社團(tuán)的概率是()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)【答案】B【解析】基本事件總數(shù)n＝4×4＝16，事件A＝“兩名同學(xué)加入同一個(gè)社團(tuán)”包含的基本事件總數(shù)m＝4，∴P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)．故選B．2．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組(兩人參加各小組的可能性相同)，則兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,5) D．eq\f(1,6)【答案】A【解析】甲、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組，若以(A，B)表示甲參加學(xué)習(xí)小組A，乙參加學(xué)習(xí)小組B，則樣本點(diǎn)有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個(gè)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等，其中兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組共有3種情形，根據(jù)古典概型概率公式，得p＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．故選A．3．某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】6個(gè)主題記為a，b，c，d，e，f，若每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總樣本點(diǎn)有6×6＝36(種)，若甲、乙抽到的主題相同，則樣本點(diǎn)共有aa，bb，cc，dd，ee，ff共6種，所以甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)．故選A．4．已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(－8，x2＋15)，在集合{0，1，2，3，4，5，6}中隨機(jī)取值作為x，則a⊥b的概率為()A．eq\f(1,7) B．eq\f(2,7)C．eq\f(3,7) D．eq\f(4,7)【答案】A【解析】當(dāng)a⊥b時(shí)，a·b＝－8(x＋1)＋x2＋15＝x2－8x＋7＝0，解得x＝1或x＝7．所以集合{0，1，2，3，4，5，6}中隨機(jī)取值作為x，則a⊥b的概率為eq\f(1,7)．5．(多選)下列關(guān)于各事件發(fā)生的概率判斷正確的有()A．從甲、乙、丙三人中任選兩人擔(dān)任課代表，甲被選中的概率為eq\f(2,3)B．四條線段的長度分別是1，3，5，7，從這四條線段中任取三條，所取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是eq\f(1,4)C．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個(gè)岔路口都會(huì)隨機(jī)地選擇一條路徑，則它能獲得食物的概率為eq\f(1,3)D．已知集合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集合A∪B中任取一個(gè)元素，則該元素是集合A∩B中的元素的概率為eq\f(3,5)【答案】ABC【解析】對于A，從甲、乙、丙三人中任選兩人，則該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)}，共3個(gè)樣本點(diǎn)，其中，甲被選中的樣本點(diǎn)有2個(gè)，故甲被選中的概率為p＝eq\f(2,3)，故A正確；對于B，樣本空間Ω＝{(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)}，共4個(gè)樣本點(diǎn)，而能構(gòu)成三角形的基本事件只有(3，5，7)一種情況，所以所取出的三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率是p＝eq\f(1,4)，故B正確；對于C，該樹枝的樹梢有6處，有2處能找到食物，所以獲得食物的概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故C正確；對于D，因?yàn)锳∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是eq\f(3,7)，故D錯(cuò)誤，故選ABC．6．(2024年林芝期末)在1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為a，b的值，使方程ax2＋2bx＋1＝0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的概率為()A．eq\f(4,9) B．eq\f(5,9)C．eq\f(5,12) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】在1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，作為a，b的值，所有可能的情況有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12種情況，若方程ax2＋2bx＋1＝0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4b2－4a＞0，即b2＞a，滿足條件的(a，b)有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(4，3)共8種，故概率p＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)．故選D．7．(2024年滁州期末)有一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體骰子，其4個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．先后拋擲這枚骰子兩次，則底面上的數(shù)字之和等于5的概率為________．【答案】eq\f(1,4)【解析】將一顆質(zhì)地均勻的正四面體骰子(每個(gè)面上分別寫有數(shù)字1，2，3，4)先后拋擲2次，觀察底面上的數(shù)字的數(shù)字，基本事件為(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個(gè)，則兩次數(shù)字之和等于5包含的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4個(gè)，∴兩次數(shù)字之和等于5的概率為p＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4)．8．從1，2，3，4，5，6中隨機(jī)選取2個(gè)不同的數(shù)字組成logab(a＞0，且a≠1)，則恰好能使得logab＜1的概率是________．【答案】eq\f(3,5)【解析】用(a，b)表示隨機(jī)選取的2個(gè)不同的數(shù)字，則試驗(yàn)的樣本空間是Ω＝{(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，共包含25個(gè)樣本點(diǎn)，記能使得logab＜1(a＞0，且a≠1)為事件A，則A＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率p＝eq\f(15,25)＝eq\f(3,5)．9．在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若所發(fā)紅包的總金額為8元，被隨機(jī)分配成1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元，共5份，供甲、乙等5人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于3.5元的概率是________．【答案】eq\f(2,5)【解析】由題意知樣本空間為Ω＝{(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1