以字母推理發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理素養(yǎng)的策略探析

摘要：推理作為數(shù)學(xué)邏輯思維的基本形式，是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。教師引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷用字母式表示問題情境中蘊(yùn)含的規(guī)律、通過字母式運(yùn)算獲得一般性結(jié)論的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的歸納與概括思維，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理素養(yǎng)。在小學(xué)階段，教師要培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理素養(yǎng)，解決學(xué)生在小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的代數(shù)思維發(fā)展斷裂的問題。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)邏輯思維；核心素養(yǎng)；字母式運(yùn)算；代數(shù)推理《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）提出，“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識或推理能力?！逼渲?，“符號意識、推理能力和模型思想”都被列為重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?！皵?shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的推理通常與數(shù)和運(yùn)算相關(guān)，包括對數(shù)字與計(jì)算進(jìn)行總結(jié)，將所得結(jié)論用有意義的符號進(jìn)行表達(dá)并加以探索驗(yàn)證。小學(xué)數(shù)學(xué)中的代數(shù)推理具體可表現(xiàn)為對數(shù)的屬性、符號意義、運(yùn)算規(guī)律等的發(fā)現(xiàn)和概括，如奇數(shù)、偶數(shù)的特點(diǎn)，和的奇偶性規(guī)律等。經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)較復(fù)雜規(guī)律并嘗試用字母表示規(guī)律、推理一般性結(jié)論的過程，有助于學(xué)生從代數(shù)視角看問題，把握問題結(jié)構(gòu)以及蘊(yùn)含規(guī)律，將規(guī)律一般化，培養(yǎng)概括歸納與代數(shù)推理能力。下面，筆者以“用字母式推理一般性結(jié)論”教學(xué)為例，談?wù)勅绾卧谛W(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)推理能力，解決學(xué)生在小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的代數(shù)思維發(fā)展斷裂的現(xiàn)象。一、用字母表示一類數(shù)，喚醒代數(shù)推理意識代數(shù)思維是對數(shù)量關(guān)系、規(guī)律的符號化運(yùn)算，其運(yùn)算具有結(jié)構(gòu)化、去情境化、一般化、形式化的特點(diǎn)。發(fā)展代數(shù)思維并非單純地局限在“用字母表示數(shù)量關(guān)系”這部分內(nèi)容，而是貫穿小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。新課標(biāo)在修訂中非常重視代數(shù)領(lǐng)域的關(guān)鍵特征——關(guān)系思維，特別增加了新的主題——“數(shù)量關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)向以關(guān)系、表示關(guān)系的方法和涉及這些表示的操作為中心。例如，在激發(fā)學(xué)生潛在的推理意識方面，設(shè)計(jì)了用字母表示一類數(shù)的活動，喚醒了學(xué)生從字母表示具體數(shù)量走向用字母表示一類數(shù)的代數(shù)思維。（一）課前游戲，喚醒推理意識游戲?qū)耄荷险n之前我們先玩一個小游戲。教師引導(dǎo)學(xué)生拿出兩張小紙片，其中一張紙片上寫一個偶數(shù)，另一張紙片上寫一個奇數(shù)。提示：兩只手分別握一張紙，不要讓別人看到你寫的數(shù)，請你把左手里的數(shù)乘2、右手里的數(shù)乘3，記住兩個積相加的和。學(xué)生左手里的數(shù)乘2，結(jié)果永遠(yuǎn)是偶數(shù)，此時(shí)，和的奇偶性由右手的積決定。之所以設(shè)計(jì)這樣的游戲，旨在讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)充滿著推理，溫習(xí)和的奇偶性規(guī)律，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆。（二）情境導(dǎo)入，喚醒早期代數(shù)思維情境導(dǎo)入：數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，這堂課，我們借助形來研究數(shù)。教師出示一組圖形：師：從這組圖形中你看到了哪些數(shù)？任意一個自然數(shù)可以怎么表示呢？借助方塊圖表示數(shù)量，直觀形象，有利于幫助學(xué)生從具體走向抽象。學(xué)生借助方塊圖，很容易抽象出自然數(shù)可以用一個字母n來表示，為后面用字母表示奇數(shù)和偶數(shù)以及任意有特征的數(shù)提供了思維的支撐。二、用字母式推理一般性結(jié)論，培養(yǎng)代數(shù)推理能力抽象、推理和建模是重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力與推理能力是教師關(guān)注的問題。代數(shù)是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的重要載體，隨著代數(shù)學(xué)習(xí)研究的不斷深入，教師對小學(xué)生代數(shù)能力的內(nèi)涵理解發(fā)生了轉(zhuǎn)變，意識到僅僅會用方程解決問題并不代表具有高水平的代數(shù)思維，“一般化”和“符號化”才是代數(shù)思維的核心，而這些思維體現(xiàn)在代數(shù)推理的過程當(dāng)中。代數(shù)推理是形式化與符號化的，演繹的推理證明對于小學(xué)生而言更是十分抽象，通過清晰簡潔的圖示表征，可以幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)推理過程外顯化。因此，在小學(xué)階段，教師應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，讓他們用自己的方式來表征和解決問題，包括使用畫圖和表格等非正式的表征方式。只有從真實(shí)的實(shí)物操作，抽象到數(shù)學(xué)圖式，最后到字母表征，才能完成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理。（一）用字母式表示偶數(shù)教師提示：從這些圖式中你能看到哪些數(shù)？任意一個偶數(shù)用字母怎么表示？學(xué)生往往由用字母n表示自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，遷移到用字母m表示偶數(shù)。學(xué)生雖然已經(jīng)意識到要用不同的字母來區(qū)別于自然數(shù)的表達(dá)，但顯然這樣的表達(dá)不能直觀表示出偶數(shù)的特征。教師要根據(jù)方塊圖的直觀特征，引導(dǎo)學(xué)生用2n表示所有的偶數(shù)，讓學(xué)生初步感悟用字母表示數(shù)，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)的特征；偶數(shù)的特征是2的倍數(shù)，外顯的結(jié)構(gòu)是2×□。（二）用字母式表示奇數(shù)師：這列數(shù)又有什么特征？用字母式如何表示出這列數(shù)的特征？學(xué)生在用字母表示自然數(shù)以及偶數(shù)的基礎(chǔ)上，初步學(xué)會了抓住數(shù)的特征，用字母來表示。教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會正確地表示出奇數(shù)的特征，把奇數(shù)和偶數(shù)的直觀圖示相對照，從而自然生發(fā)出用字母式2n+1或者2n-1表示奇數(shù)。（三）用字母式表示任意有特征的數(shù)觀察下列數(shù)列，用字母式表達(dá)。3，6，9，12……字母式（）1，4，7，10……字母式（）設(shè)計(jì)用字母式表示3的倍數(shù)和被3除余1的兩列數(shù)，能幫助學(xué)生提高用字母式表示有特征的數(shù)的能力。題目沒有提供直觀圖示，學(xué)生自己可以畫方塊圖、想象方塊圖，呈現(xiàn)數(shù)的特征。特別是被3除余1的數(shù)，可以有兩種表示方法：3n+1或者3n-2。（四）用字母式推理兩個偶數(shù)相加的和的一般性結(jié)論師：任意選兩個偶數(shù)，求出它們的和，判斷和是奇數(shù)還是偶數(shù)，并通過列表或用字母式表示結(jié)論。生：我通過列表發(fā)現(xiàn)，兩個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)，而且沒有找到反例（見表1）。生：我用字母式相加的方法，2n+2n=4n，4是偶數(shù)，所以4n是偶數(shù)；生：我用字母式來推理出任意兩個偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)，因?yàn)?n+2m=2（n+m）。學(xué)生匯報(bào)后，教師組織比較有代表性的表達(dá)，其中用列舉的方法研究和的奇偶性，這種不完全歸納法對于發(fā)現(xiàn)規(guī)律起到很重要的作用。但是，如果僅僅停留在合情推理的階段，那么學(xué)生抽象邏輯思維的發(fā)展不會走向深入，所以，在高年級引入演繹推理很有必要。用字母式進(jìn)行計(jì)算所獲得的結(jié)論，概括了所有的情形，數(shù)學(xué)上稱為一般性結(jié)論。教師要讓學(xué)生感悟字母式可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，任意兩個偶數(shù)的和結(jié)果都能表達(dá)為2×□的模型，所以和一定是偶數(shù)；要讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理走向演繹推理，提升思維的抽象水平。三、推廣字母推理方法和策略，形成代數(shù)推理素養(yǎng)在數(shù)學(xué)化的過程中，學(xué)生經(jīng)歷“特例—猜想→歸納—猜想一般性結(jié)論→驗(yàn)證或者證明一般性結(jié)論”的思維過程，可以獲得直接的經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，建立真正的數(shù)學(xué)理解。對數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，是學(xué)生通過符號運(yùn)算和形式推理表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系與規(guī)律的重要載體。（一）用字母式推理任意兩個自然數(shù)相加的和的結(jié)論師：剛才我們研究了兩個偶數(shù)的和，如果換成其他的任意自然數(shù)，又有什么結(jié)論？你會說明嗎？探究活動：（）數(shù)+（）數(shù)=（）數(shù)，用字母式說明這個結(jié)論，把你的想法在組內(nèi)說一說?；趯W(xué)生用字母式推理兩個偶數(shù)相加的和是偶數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，生發(fā)出奇數(shù)與奇數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)相加的和的規(guī)律推理，使學(xué)生在推理的過程中獲得推理經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證過程，提升抽象思維水平。（二）用字母式推理任意連續(xù)奇數(shù)相加的和的結(jié)論師：如果是更多的數(shù)相加呢？我們不妨回頭看看剛剛研究的奇數(shù)列，如果從1開始有n個奇數(shù)，那么最后一個奇數(shù)是（），這n個奇數(shù)的和是（），你會用字母式說明你的發(fā)現(xiàn)嗎？課堂將要結(jié)束時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一道從1開始的連續(xù)n個奇數(shù)相加的和的探索題目，讓學(xué)生經(jīng)歷“抓住數(shù)的特征，用字母式來表達(dá)，然后用字母式通過運(yùn)算獲得一般性結(jié)論”的整個演繹推理的過程。這樣，學(xué)生在驗(yàn)證中獲得驗(yàn)證方法和策略，不斷提升思維的歸納和概括水平。高級心理機(jī)能的發(fā)展需要依賴各種中介工具，如語言、數(shù)學(xué)符號、特定的行為模式等。因此，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維