2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.5.1兩角和與差的正弦余弦和正切公式第3課時兩角和與差的正切公式講義新人教A版必修第一冊

PAGE1-第3課時兩角和與差的正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(重點)3.熟識兩角和與差的正切公式的常見變形，并能敏捷應(yīng)用．(難點)1.通過利用公式進行化簡、證明等問題，培育邏輯推理素養(yǎng).2.借助公式進行求值，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).兩角和與差的正切公式名稱簡記符號公式運用條件兩角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠1兩角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)α，β，α－β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)且tanα·tanβ≠－11．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，則tanαtanβ等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．4C[∵tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴eq\f(2,1－tanαtanβ)＝4，解得tanαtanβ＝eq\f(1,2).]2．求值：taneq\f(11π,12)＝________.－2＋eq\r(3)[taneq\f(11π,12)＝－taneq\f(π,12)＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－eq\f(tan\f(π,4)－tan\f(π,6),1＋tan\f(π,4)tan\f(π,6))＝－eq\f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝－2＋eq\r(3).]3．已知tanα＝2，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.－3[taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3.]4.eq\f(tan75°－tan15°,1＋tan75°tan15°)＝________.eq\r(3)[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).]兩角和與差的正切公式的正用【例1】(1)已知α，β均為銳角，tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，則α＋β＝________.(2)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，則tan∠BAC＝________.[思路點撥](1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依據(jù)tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)eq\f(π,4)(2)eq\f(1,7)[(1)∵tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.∵α，β均為銳角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(π,4).(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(1,3)，tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(1,2)，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝eq\f(tan∠CAD－tan∠BAD,1＋tan∠CADtan∠BAD)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq\f(1,7).]1．公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)特征和符號規(guī)律：(1)結(jié)構(gòu)特征：公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式，其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．(2)符號規(guī)律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步驟：(1)計算待求角的正切值．(2)縮小待求角的范圍，特殊留意隱含的信息．(3)依據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角．1．(1)已知tanα－eq\f(5π,4)＝eq\f(1,5)，則tanα＝________.(2)已知角α，β均為銳角，且cosα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，則tanβ＝________.(1)eq\f(3,2)(2)3[(1)因為tanα－eq\f(5π,4)＝eq\f(1,5)，所以tanα＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,4)＋\f(5π,4)))＝eq\f(tanα－\f(5π,4)＋tan\f(5π,4),1－tanα－\f(5π,4)tan\f(5π,4))＝eq\f(\f(1,5)＋1,1－\f(1,5)×1)＝eq\f(3,2).(2)因為cosα＝eq\f(3,5)，α為銳角，所以sinα＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(4,3)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))),1＋\f(4,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3.]兩角和與差的正切公式的逆用【例2】(1)eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝________.(2)eq\f(1－\r(3)tan75°,\r(3)＋tan75°)＝________.[思路點撥]留意特殊角的正切值和公式T(α±β)的結(jié)構(gòu)，適當(dāng)變形后逆用公式求值．(1)eq\r(3)(2)－1[(1)原式＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝eq\r(3).(2)原式＝eq\f(\f(\r(3),3)－tan75°,1＋\f(\r(3),3)tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°,1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式Tα±β的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要留意常值代換.如eqtan\f(π,4)＝1，tan\f(π,6)＝\f(\r(3),3)，tan\f(π,3)＝\r(3)等.要特殊留意eqtan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝\f(1＋tanα,1－tanα)，tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝\f(1－tanα,1＋tanα).2．已知α、β均為銳角，且sin2α＝2sin2β，則()A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A[∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，兩邊同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]兩角和與差的正切公式的變形運用[探究問題]1．兩角和與差的正切公式揭示了tanαtanβ與哪些式子的關(guān)系？提示：揭示了tanαtanβ與tanα＋tanβ，tanαtanβ與tanα－tanβ之間的關(guān)系．2．若tanα、tanβ是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個根，則如何用a、b、c表示tan(α＋β提示：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(b,a),1－\f(c,a))＝－eq\f(b,a－c).【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，試推斷△ABC的形態(tài)．[思路點撥](1)看到tan67°－tan22°與tan67°tan22°想到將tan(67°－22°)綻開變形，找尋解題思路．(2)先由關(guān)于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入關(guān)于角B，C的等式求角B，最終求角A，推斷△ABC的形態(tài)．(1)1[∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解]∵eq\r(3)tanA＋eq\r(3)tanB＝tanAtanB－1，∴eq\r(3)(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(\r(3),3)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(\r(3),3).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(5π,6)，∴C＝eq\f(π,6).∵tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r(3)，tanC＝eq\f(\r(3),3)，∴tanB＋eq\f(\r(3),3)＋tanB＝eq\r(3)，tanB＝eq\f(\r(3),3)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3)，∴△ABC為等腰鈍角三角形．1．將例3(1)中的角同時增加1°結(jié)果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝eq\f(tan68°－tan23°,1＋tan68°tan23°)，∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1.2．能否為例3(1)和探究1歸納出一個一般結(jié)論？若能，試證明．[解]一般結(jié)論：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，則tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.證明：∵tan45°＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)，∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1.1．整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．2．熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；(3)tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；(4)tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提示：當(dāng)一個式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時，?？紤]運用兩角和或差的正切公式．1．公式T(α±β)與S(α±β)、C(α±β)的一個重要區(qū)分，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，而后兩者α、β∈R，應(yīng)用時要特殊留意這一點．2．留意公式的變形應(yīng)用．如：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，1＋tanαtanβ＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)等.1．思索辨析(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(2)對隨意α，β∈R，tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)都成立．()(3)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)等價于tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．()[提示](1)√.當(dāng)α＝0，β＝eq\f(π,3)時，tan(α＋β)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(π,3)))＝tan0＋taneq\f(π,3)，但一般狀況下不成立．(2)×.兩角和的正切公式的適用范圍是α，β，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)√.當(dāng)α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，α＋β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，由前一個式子兩邊同乘以1－tanαtanβ可得后一個式子．[答案](1)√(2)×(3)√2．若tanβ＝3，tan(α－β)＝－2，則tanα＝()A.eq\f(1,7)B．－eq\f(1,7)C．1D．－1A[tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ,1－tanα－βtanβ)＝eq\f(－2＋3,1－－2×3