數(shù)學教育的基本理論省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

數(shù)學教育基本理論西華師范大學數(shù)學與信息學院楊孝斌第1頁培利數(shù)學教育改革F.克萊因數(shù)學教育思想H.弗賴登塔爾數(shù)學教育理論G.波利亞數(shù)學教育理論認知主義建構(gòu)主義情境認知理論……第2頁一、弗賴登塔爾數(shù)學教育理論1.生平及貢獻HansFreudenthal（1905-1990年）,荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家,生于德國.1930年獲柏林大學數(shù)學博士學位；1946年起任荷蘭Utrecht大學教授；1951年起為荷蘭皇家科學院院士；1971-1976年任數(shù)學教育研究所所長；1987年12月應(yīng)邀來上海華東師范大學講學。第3頁弗賴登塔爾被稱為“二十世紀數(shù)學教育之父”“對于數(shù)學教育，本世紀上半葉FelixKlein做出了不朽功勞；本世紀下半葉HansFreudenthal做出了巨大貢獻?！薄雍?Kahane)教授第4頁主要工作：1967年當選為國際數(shù)學教育委員會主席；單獨舉行國際數(shù)學教育大會（ICME－1，1969．法國．里昂）；提倡數(shù)學教育科學研究；創(chuàng)辦ICME理論刊物——《EducationalStudiesinMathematics（數(shù)學教育研究）》第5頁主要數(shù)學教育論著：《作為教育任務(wù)數(shù)學》；《除草與播種———數(shù)學教育學序言》；《數(shù)學結(jié)構(gòu)教學法現(xiàn)象》；《數(shù)學教育再探———在中國三次講學》第6頁2.弗賴登塔爾數(shù)學教育觀——情境問題是教學平臺——數(shù)學化是數(shù)學教育目標——學生經(jīng)過自己努力得到結(jié)論和創(chuàng)造是教育內(nèi)容一部分——“互動”是主要學習方式——學科交織是數(shù)學教育內(nèi)容展現(xiàn)方式第7頁概括為：現(xiàn)實、數(shù)學化、再創(chuàng)造第8頁(1)何謂數(shù)學教育中“現(xiàn)實”？數(shù)學教育中現(xiàn)實——數(shù)學起源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，應(yīng)用于現(xiàn)實，而且每個學生有各自不一樣“數(shù)學現(xiàn)實”.數(shù)學教師任務(wù)之一就是幫助學生結(jié)構(gòu)數(shù)學現(xiàn)實，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展他們數(shù)學現(xiàn)實.第9頁弗賴登塔爾堅持主張：數(shù)學教育體系內(nèi)容應(yīng)該是與現(xiàn)實親密聯(lián)絡(luò)數(shù)學，能夠在實際中得到應(yīng)用數(shù)學，即“現(xiàn)實數(shù)學”。假如過于強調(diào)了數(shù)學抽象形式，忽略了生動詳細模型，過于集中于內(nèi)在邏輯聯(lián)絡(luò)，割斷了與外部現(xiàn)實親密關(guān)系，那必定會給數(shù)學教育帶來極大損害?！靶聰?shù)”運動失敗就是個明證。第10頁怎樣了解“現(xiàn)實”？不一樣社會需要是否就是“現(xiàn)實”？每個人“數(shù)學現(xiàn)實”是一樣嗎？第11頁數(shù)學教育應(yīng)為不一樣人提供不一樣數(shù)學涵養(yǎng)，從而為每個人培養(yǎng)適合于他所從事不一樣專業(yè)所必需數(shù)學態(tài)勢，使其能順利地處理相關(guān)各種數(shù)學問題。為此，弗賴登塔爾一個基本結(jié)論是：每個人都有自己生活、工作和思索著特定客觀世界以及反應(yīng)這個客觀世界各種數(shù)學概念、它運算方法、規(guī)律和相關(guān)數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。這就是說，每個人都有自己一套“數(shù)學現(xiàn)實”。第12頁從這個意義上說，所謂“現(xiàn)實”不一定限于詳細事物，作為屬于這個現(xiàn)實世界數(shù)學本身，也是“現(xiàn)實”一部分，或者能夠說，每個人也都有自己所接觸到特定“數(shù)學現(xiàn)實”。大多數(shù)人數(shù)學現(xiàn)實世界可能只限于數(shù)和簡單幾何形狀以及它們運算，另一些人可能需要熟悉一些簡單函數(shù)與比較復(fù)雜幾何，至于一個數(shù)學家數(shù)學現(xiàn)實可能就要包含Hilbert空間算，子、拓撲學以及纖維叢等等。

第13頁數(shù)學教育任務(wù)就在于，伴隨學生們所接觸客觀世界越來越廣泛，應(yīng)該確定各類學生在不一樣階段必須到達“數(shù)學現(xiàn)實”，而且依據(jù)學生所實際擁有“數(shù)學現(xiàn)實”，采取對應(yīng)方法給予豐富，給予擴展，從而使學生逐步提升所含有“數(shù)學現(xiàn)實”程度并擴充其范圍。從已經(jīng)有“數(shù)學現(xiàn)實”發(fā)展到更高層次“數(shù)學現(xiàn)實”第14頁一些詳細例子以下：經(jīng)過公共汽車上下車人數(shù)改變引入整數(shù)加減法，并找出運算規(guī)律；借助學生上學乘汽車、騎自行車或步行等各種交通工具以及途中出現(xiàn)各種情況，介紹各種類型圖象表示、解析表示，深入可介紹改變率以及斜率等概念及相關(guān)性質(zhì)；還能夠從商店出售各種不一樣牌子、不一樣規(guī)格商品所取得利潤計算，引進矩陣乘法概念，以及它運算法則；以及依據(jù)血壓改變介紹普通周期函數(shù)概念，再進到更有規(guī)律正弦函數(shù)及其性質(zhì)；或者從物質(zhì)生長率引進指數(shù)函數(shù)概念，從而導出對數(shù)函數(shù)等。

第15頁因為人們對數(shù)學需求不盡相同，各人在不一樣階段又有特定數(shù)學現(xiàn)實，弗賴登塔爾認為，在現(xiàn)實背景材料使用上有下述三種不一樣水平：

第一級是在實際問題中直接包含著相關(guān)數(shù)學運算，只要經(jīng)過簡單變換或過渡，就能夠從實際問題求得對應(yīng)數(shù)學問題。在這里，詳細現(xiàn)實問題起著關(guān)鍵作用。

第二級是提出了某個現(xiàn)實問題，希望學生能夠找出與之相關(guān)數(shù)學，加以組織，建立結(jié)構(gòu)，從而處理問題。這里需要利用數(shù)學作為工具來組織現(xiàn)實問題并給予處理，因而詳細實際問題是起著實質(zhì)性作用。

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第三級則是指出某個數(shù)學概念或是描述了某個數(shù)學過程特征，由此引進新數(shù)學概念或是結(jié)構(gòu)新數(shù)學模型，在這兒所提供現(xiàn)實背景材料已經(jīng)從通常詳細客觀世界中抽象出來。

總而言之，弗賴登塔爾提“數(shù)學現(xiàn)實”標準，和我們通常所說理論聯(lián)絡(luò)實際有標準區(qū)分，有其獨特含義和理論深度，值得我們借鑒。

第17頁(2)什么是“數(shù)學化”？弗賴登塔爾名言是：與其說是學習數(shù)學，還不如說是學習“數(shù)學化”；與其說是學習公理系統(tǒng)，還不如說是學習“公理化”；與其說是學習形式體系，還不如說是學習“形式化”第18頁人們利用數(shù)學方法觀察現(xiàn)實世界，分析研究各種具表達象，并加以整理組織，這個過程就是數(shù)學化。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界過程就是數(shù)學化。

第19頁數(shù)學化，是一個由淺入深，含有不一樣層次、不停發(fā)展過程。數(shù)學化對象：水平數(shù)學化——現(xiàn)實客觀事物垂直數(shù)學化——數(shù)學本身水平數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及為處理實際問題而結(jié)構(gòu)數(shù)學模型；垂直數(shù)學化，形成數(shù)學概念、運算法則、規(guī)律、定理，以及不一樣層次公理體系和形式體系。第20頁現(xiàn)實數(shù)學教育數(shù)學化有兩種形式：一是實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題數(shù)學化，即發(fā)覺實際問題中數(shù)學成份，并對這些成份作符號化處理；二是從符號到概念數(shù)學化，即在數(shù)學范圍之內(nèi)對已經(jīng)符號化了問題作深入抽象化處理。第21頁對于前者，基本流程是：確定一個詳細問題中包含數(shù)學成份；建立這些數(shù)學成份與學生已知數(shù)學模型之間聯(lián)絡(luò)；經(jīng)過不一樣方法使這些數(shù)學成份形象化、符號化和公式化；找出蘊含其中關(guān)系和規(guī)則；考慮相同數(shù)學成份在其它數(shù)學知識領(lǐng)域方面表達；作出形式化表述。第22頁對于后者，基本流程是：用數(shù)學公式表示關(guān)系；對相關(guān)規(guī)則作出證實；嘗試建立和使用不一樣數(shù)學模型；對得出數(shù)學模型進行調(diào)整和加工；綜合不一樣數(shù)學模型共性，形成功效更強新模型；用已知數(shù)學公式和語言盡可能準確地描述得到新概念和新方法；作普通化處理、推廣。第23頁(3)什么是“再創(chuàng)造”？弗賴登塔爾認為存在兩種數(shù)學，一個是現(xiàn)成或已完成數(shù)學，另一個是活動或者創(chuàng)新數(shù)學。完成數(shù)學在人們面前以形式演繹面目出現(xiàn)，它完全顛倒了數(shù)學思維過程和實際創(chuàng)造過程，給予人們是思維結(jié)果；活動數(shù)學則是數(shù)學家發(fā)覺和創(chuàng)造數(shù)學過程真實表達，它表明了數(shù)學是一個艱難波折又生動有趣活動過程。

第24頁弗賴登塔爾所說“再創(chuàng)造”，其關(guān)鍵是數(shù)學過程再現(xiàn)。學生“再創(chuàng)造”學習數(shù)學過程實際上就是一個“做數(shù)學”過程。教師任務(wù)是引導和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造工作。第25頁日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先給以嚴格定義，兒童經(jīng)過實際接觸，自然地形成了概念。數(shù)學中一些東西，一樣來自現(xiàn)實，也能夠經(jīng)過學生實際感受而形成概念。第26頁以學習平行四邊形概念為例，教師能夠出示一系列平行四邊形圖形或是實際例子，告訴學生這些就是“平行四邊形”，讓學生自己進行比較、分析、研究，在經(jīng)過重復(fù)觀察與思索后，他們就會發(fā)覺“平行四邊形”許多共同性質(zhì)，如：對邊平行、對角相等、鄰角互補、對角線相互平分等等，接著就會進而發(fā)覺這些性質(zhì)之間聯(lián)絡(luò)，能夠由一個性質(zhì)出發(fā)推出其它性質(zhì)，在教師引導與學生間相互討論基礎(chǔ)上，學生就不但掌握了平行四邊形概念，同時也了解了形式定義含義以及各種相關(guān)性與等價定義概念.第27頁也就是說，學生經(jīng)過自己實踐活動學會了怎樣定義一個數(shù)學概念，對于定義必要性與作用都會有更深體會，經(jīng)過這么“再創(chuàng)造”方式進行概念教學，顯然比將一個現(xiàn)成定義強加給學生要有效得多.第28頁偉大教育家夸美紐斯有一句名言：“教一個活動最好方法是演示。”他主張要打開學生各種感覺器官，那就不但是被動地經(jīng)過語言依賴聽覺來吸收知識，也包含眼睛看甚至手觸摸及動作，弗賴登塔爾將這一思想深入發(fā)展成為“學一個活動最好方法是實踐”，這么提法目標是將強調(diào)重點從教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師行為轉(zhuǎn)到學生活動，而且從感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)為運動效應(yīng)。就象游泳本身也有理論，學游泳人也需要觀摩教練示范動作，但更主要是他必須下水去實地練習，老是站在陸地上是永遠也學不會游泳。

第29頁提倡按“再創(chuàng)造”標準來進行數(shù)學教育，就是基于以上原理，弗賴登塔爾認為能夠從教育學角度來找到這一做法合理依據(jù)，最少能夠提出以下三點：

(1)經(jīng)過本身活動所得到知識與能力比由旁人硬塞了解得透徹，掌握得快，同時也善于應(yīng)用，普通來說還能夠保持較長久記憶。

(2)發(fā)覺是一個樂趣，經(jīng)過“再創(chuàng)造”來進行學習能夠引發(fā)學生興趣，并激發(fā)其學習動力。

(3)經(jīng)過“再創(chuàng)造”方式，能夠深入促進人們形成數(shù)學教育是一個人類活動看法。

第30頁小結(jié)弗賴登塔爾數(shù)學教育理論不是“教育學+數(shù)學例子”式敘述，而是抓住數(shù)學教育特征，緊緊圍繞數(shù)學教育特殊過程，因而有“數(shù)學現(xiàn)實”、“數(shù)學化”、“數(shù)學反思”、“再創(chuàng)造”、“思辨數(shù)學”等很多特有概念.每一個概念以及他每一個想法，都值得我們?nèi)ニ妓?、去領(lǐng)悟、去實踐……第31頁二、G.波利亞數(shù)學教育理論G.Polya(1887-1985)生平及貢獻：

喬治·波利亞（GeorgePolya,1887~1985）美籍匈牙利數(shù)學家。波利亞是法國科學院、美國全國科學院和匈牙利科學院院士。1887年出生在匈牙利，青年時期曾在布達佩斯、維也納、哥廷根，巴黎等地攻讀數(shù)學、物理和哲學，獲博士學位。1914年在蘇黎世著名瑞士聯(lián)邦理工學院任教。第32頁1940年移居美國；1942年起任美國斯坦福大學教授；他對實變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、組合論、概率論、數(shù)論，幾何等若干分支領(lǐng)域都做出了開創(chuàng)性貢獻，一些術(shù)語和定理都以他名字命名。因為他在數(shù)學教育方面所取得成就和對世界數(shù)學教育所產(chǎn)生影響，在他93歲高齡時，被ICME（國際數(shù)學教育大會）聘為聲譽主席。第33頁波利亞數(shù)學教育三部曲1.G.Polya著,涂泓等譯.怎樣解題(1944).上?？萍汲霭嫔?,62.G.Polya著,劉景麟等譯.數(shù)學發(fā)覺(1954).科學出版社,,73.G.Polya著,李心燦等譯.數(shù)學與猜測(1961).科學出版社,,7其中，《怎樣解題》一書被譯成17種文字，僅平裝本就銷售了100萬冊以上。范.德.瓦爾登說：“每個大學生，每個學者，尤其是每個老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝書”（1952）第34頁（一）波利亞數(shù)學教育觀1.數(shù)學教育根本目標：教會學生思索——不只是傳授知識，更應(yīng)努力發(fā)展學生利用所學知識能力，應(yīng)該強調(diào)技能、技巧、有益思索方式和理想思維習慣。2.學習過程三標準：主動學習——盡可能讓學生在現(xiàn)有條件下親自發(fā)覺盡可能多東西。最正確動機——激發(fā)學生在學習中好奇心，并尋求歡樂。循序漸進——從行動與感知開始，發(fā)展到詞語與概念，養(yǎng)成合理思維習慣。第35頁探索——在直覺和啟發(fā)水平上發(fā)展說明——引進術(shù)語、定義、證實等，提升到概念水平吸收——吸納到已經(jīng)有知識系統(tǒng)中，擴大智力范圍學習過程第36頁3.一名好數(shù)學教師必須具備兩方面知識數(shù)學內(nèi)容知識普通中學數(shù)學教師最大缺點在于，他沒有主動完成數(shù)學工作經(jīng)驗.數(shù)學教學法知識第37頁4.給數(shù)學教師“十條提議”1）對數(shù)學有興趣；2）熟知數(shù)學；3）知道學習路徑——親自獨立地發(fā)覺所學東西奧妙；4）努力觀察學生面部表情；5）傳授知識、技能技巧，培養(yǎng)思維方式、科學工作習慣；6）讓學生學會猜測；7）讓學生學會證實問題；8）揭示存在于詳細情況普通模式；9）讓學生獨立地找出盡可能多東西；

10）啟發(fā)問題。第38頁（二）波利亞關(guān)于解題研究1.解題思維過程：聯(lián)想→念頭詳見《數(shù)學發(fā)覺》第十一章：思維作用第39頁搞清問題（表征）確定計劃（模式識別、引入輔助問題）實現(xiàn)計劃回顧（反思、優(yōu)化、拓展）2.怎樣解題表第40頁“怎樣解題”表精華——啟發(fā)聯(lián)想聯(lián)想什么？怎樣聯(lián)想？經(jīng)過一連串提議性或啟發(fā)性問題來加以回答.波利亞認為，“萬能方法”是不存在，不過“各種各樣規(guī)則還是有，諸如行為準則、格言、指南等等，這些都還是有用。第41頁波利亞怎樣解題表與實例示范第42頁【例】已知正四棱臺高為h，上底邊長為a，下底邊長為b,求其面積F。弄清問題已知（a,b,h)未知（F)求:F(A,B)求：A,B(x)求：X(a,b,h)擬定計劃實施計劃回顧反思正面檢驗→特殊檢