備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第一課時(shí)-證明平行和垂直

第6節(jié)立體幾何中的向量方法1.理解直線的方向向量及平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.1.方向向量與空間位置關(guān)系(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表示的向量,一條直線的方向向量有個(gè).

(2)平面的法向量直線l⊥平面α,取直線l的方向向量,則這個(gè)向量叫做平面α的法向量.顯然一個(gè)平面的法向量有個(gè),它們是共線向量.

(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=02.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍(0,π2

求法cosθ=

cosβ=a3.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,a與n的夾角為β,則sinθ==.

4.求二面角的大小(1)如圖①,AB,CD分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=<AB→,CD(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|=,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).

5.空間中的距離(1)利用|AB→|2=AB→·(2)空間點(diǎn)面之間的距離已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則點(diǎn)B到平面α的距離為|BO→|=1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-12A.30° B.60° C.120° D.150°2.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為()A.π4 B.3C.π4或34π D.π23.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為()A.22 B.155 C.644.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.32 B.155 C.105第一課時(shí)證明平行和垂直平面的法向量、直線的方向向量及其應(yīng)用1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個(gè)單位法向量是()A.(33,33,-B.(33,-33,C.(-33,33,D.(-33,-33,-2.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則()A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BCA.337,-157,4 B.407C.407,-2,4 D.4,401.直線的方向向量的確定:若l是空間的一條直線,A,B是l上任意兩點(diǎn),則AB→及與AB2.平面的法向量的確定:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量,n為平面α的一個(gè)法向量,則可用方程組n·利用向量證明平行問題(2021·河北石家莊高三一檢)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為梯形,AD∥BC,CD⊥BC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M為AD的中點(diǎn),N為PC上的點(diǎn),且PC=3PN.求證:MN∥平面PAB.用向量方法證明空間中的平行關(guān)系(1)線線平行:證明兩直線的方向向量平行.(2)線面平行:一是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;二是在平面內(nèi)找一向量與直線的方向向量共線;三是證明直線的方向向量可以利用平面中的兩不共線向量線性表示.(3)面面平行:一是證明兩個(gè)平面的法向量平行;二是轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.[針對訓(xùn)練]1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中點(diǎn)為E,BD的中點(diǎn)為F,證明:CD1∥EF.2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.利用向量證明垂直問題如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,設(shè)E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).求證:(1)EF∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PDC.利用空間向量證明線、面垂直的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系,建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系.(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系,用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素.(3)通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量,再研究垂直關(guān)系.(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題.[針對訓(xùn)練]1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),過點(diǎn)E作EF⊥PB于點(diǎn)F.求證:(1)PA∥平面EDB;(2)PB⊥平面EFD.2.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法證明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.平行與垂直關(guān)系中的探索性問題如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,∠ABC和∠A1AC均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證:BD⊥AA1;(2)在直線CC1上是否存在一點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請說明理由.立體幾何開放性問題的求解方法(1)根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想,找出點(diǎn)或線的位置,然后加以證明,得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在,并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目要求進(jìn)行求解,若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍,則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在.[針對訓(xùn)練]1.已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,側(cè)面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中點(diǎn).(1)求證:BE⊥平面PCD;(2)在PB上是否存在一點(diǎn)F,使AF∥平面BDE?若存在,求出點(diǎn)F的位置;若不存在,請說明理由.