河北省石家莊市辛集市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

辛集市2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)注意事項：1、考試時間120分鐘，滿分150分，另附加卷面分5分.2、答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.3、全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，向量，，，且，，則等于（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)向量坐標(biāo)形式的模長公式計算即可得解.【詳解】由題可得，所以向量，，所以，所以.故選：B.2.在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算可得出關(guān)于、、的表達式.【詳解】連接，如下圖所示：因為為的中點，則，因為點在上，且，則，因為，故選：B.3.若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將曲線方程化為，利用直線與曲線位置關(guān)系，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】依題意，曲線的方程可化為：它表示以原點為圓心，2為半徑的右半圓，如圖：直線過定點，直線與相切時，可得，解得，直線過點時，，根據(jù)圖形，結(jié)合對稱性可得，直線與曲線有兩個交點時，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.4.直線l：（參數(shù)，）的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】直線，因為，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的斜率，因為，所以，或.故選：B.5.點是橢圓上一點，點分別是橢圓的左、右焦點，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題可知，記，，，中，由余弦定理得，又，，.故選：B.6.已知直線與直線的交點為P，則點P到直線距離的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出兩直線所過定點，確定動點P的軌跡方程，結(jié)合圓上的點到定直線的距離的最值，即可求得答案；【詳解】直線，分別過定點，，且互相垂直，所以點P的軌跡是以為直徑的圓（不含點），這個圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.圓心到直線l距離為，因此圓上點到直線l距離最大值為，最小為，取得最小值時圓上點的坐標(biāo)是，因此取值范圍是.故選：D7.已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最大值是（）A.不存在 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及三點共線來確定正確答案..【詳解】依題意，下焦點，設(shè)上焦點，雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，所以延長時，與雙曲線沒有交點，，設(shè)延長，交雙曲線上支于，依題意，是雙曲線上支上的動點，根據(jù)雙曲線的定義可知，，當(dāng)在點時等號成立，則，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故選：A8.已知拋物線的焦點為F，直線與C交于點A，B（A在第一象限），以AB為直徑的圓E與C的準(zhǔn)線相切于點D.若，則下列說法不正確的是（）A.A，B，F(xiàn)三點共線 B.l的斜率為C. D.圓E的半徑是4【答案】B【解析】【分析】如圖，連接DE，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S，過B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為T，連接AF，F(xiàn)B，利用拋物線的幾何性質(zhì)可得A，B，F(xiàn)三點共線，結(jié)合直角三角形DAB邊的關(guān)系可計算得到直線的傾斜角，從而利用直線方程和拋物線方程聯(lián)立求出交點的坐標(biāo)后可求，故可判斷各項的正誤.【詳解】如圖，連接DE，則DE為圓E的半徑，對于A，過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為S，過B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為T，連接AF，F(xiàn)B，則，故A，B，F(xiàn)三點共線，故A正確；對于B，因為AB為直徑，故，而，故，而為等腰三角形，故，故，所以即直線l的傾斜角為，故其斜率為，故B錯誤；.對于C，設(shè)，由可得，所以，故，故，故C正確；對于D，由得，所以圓E的直徑是8即其半徑為4，故D正確．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.圓和圓的交點為、，則有（）A.公共弦所在的直線方程為B.線段的中垂線方程為C.公共弦的長為D.為圓上一動點，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】將兩圓作差，可得出公共弦所在直線的方程，可判斷A選項；分析可知，垂直平分線段，求出直線的方程，可判斷B選項；利用幾何法求出公共弦的長，可判斷C選項；利用圓的幾何性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】圓的圓心為原點，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，對于A選項，將兩圓方程作差可得，所以，公共弦所在直線方程為，A對；對于B選項，因為，，，所以，，則，又因為，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知，垂直平分線段，，所以，直線的方程為，即，故線段的中垂線方程為，B對；對于C選項，圓心到直線的距離為，所以，，C錯；對于D選項，為圓上一動點，則到直線距離的最大值為，D對.故選：ABD.10.如圖，內(nèi)接于圓O，為圓O的直徑，，，平面，E為的中點，若三棱錐的體積為2，則下列結(jié)論正確的有（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.直線與平面所成的角的余弦值為C.點A到平面的距離為D.平面與平面所成的角的大小為【答案】AC【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系所示，利用異面直線的向量求法可判斷A正確，由線面角的向量表示可判斷B錯誤，再根據(jù)點到面的距離的向量求法可得C正確；再由面面角的向量求法可得D錯誤.【詳解】∵為圓O的直徑，且，，∴為直角三角形，，設(shè)，由E為的中點可得，解得，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間坐標(biāo)系如下圖所示：，，，，，則，，，，對于A，易知，所以異面直線與所成角的余弦值為，選項A正確；對于B，設(shè)平面的法向量為，，即，取，，設(shè)與平面所成的角為，則，選項B不正確；對于C，點A到平面的距離為，選項C正確.對于D，設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，，，所以平面與平面的夾角大小為90°，選項D不正確.故選：AC.11.已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，且直線與雙曲線及其漸近線在第二象限的交點分別為，則下列說法正確的是（）A.直線是的一條漸近線B.若，則的漸近線方程為C.若，則的離心率為D.若，則的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件求直線的斜率，再由確定直線斜率判斷A；首先求出點，并設(shè)，根據(jù)給定條件，得到雙曲線參數(shù)的齊次方程判斷B、C、D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)直線，又直線與圓相切于點，所以，又，則，而，得，所以直線是的一條漸近線，A對；聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，若且，則，即，所以，可得，即漸近線方程為，B錯；若且，故，即，化簡得，則的離心率為，C對；若，則，設(shè)，故，得，故，代入，得，所以，則離心率為，D對；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于B、C、D，根據(jù)給定條件得到關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若為空間兩兩夾角都是的三個單位向量，則______．【答案】【解析】【分析】先平方，結(jié)合向量的數(shù)量積公式求出，從而得到答案.【詳解】為空間兩兩夾角都是的三個單位向量，，.故答案為：13.已知為坐標(biāo)原點，橢圓：（）的右焦點為，點在上，且為等邊三角形，則的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】借助等邊三角形的性質(zhì)可得點的坐標(biāo)，由知，，最后將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合，計算即可得解.【詳解】如圖，假設(shè)在第一象限，由題意，，因為為等邊三角形，，所以，，即，代入橢圓方程得，，即，又因為，所以，即，所以，即，解得，，或，因為，所以，所以，因為，所以離心率為.故答案為：.14.數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點分別為，，，則的歐拉線方程為___________.【答案】【解析】【分析】求出重心坐標(biāo)，求出AB邊上高和AC邊上高所在直線方程，聯(lián)立兩直線可得垂心坐標(biāo)，即可求出歐拉線方程.【詳解】由題可知，的重心為，可得直線AB的斜率為，則AB邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，直線AC的斜率為，則AC邊上高所在的直線斜率為，則方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即的垂心為，則直線GH斜率為，則可得直線GH方程為，故的歐拉線方程為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，已知，（1）求邊的高線的方程;（2）求邊的中線的方程;（3）求的平分線的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）因直線即軸，得到邊上的高線斜率不存在，又經(jīng)過點,即得；（2）先求邊的中點，再由兩點式即可求得；（3）的平分線的斜率為，由兩直線的夾角公式列出方程，求得的值，檢驗后由點斜式即得.【小問1詳解】依題意，直線即軸，故邊上的高線必垂直于軸，且經(jīng)過點，故邊的高線的方程為；【小問2詳解】邊的中點為,因邊的中線經(jīng)過點故中線方程：，即；【小問3詳解】如圖，設(shè)的平分線的斜率為，而邊和的斜率分別為,則由，解得或.當(dāng)時，由圖知，顯然不符合題意；當(dāng)時，因，則的平分線的方程為，即.16.已知直線，圓（1）求證：無論a取何值，直線l均與圓O相交；（2）已知AC、BD是圓O的兩條相互兩直的弦，且垂足為，求四邊形ABCD的面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）5【解析】【分析】（1）只需證明直線過定點，且該定點在圓內(nèi)部即可；（2）設(shè)圓心到的距離分別為，則，由，，可得的表達式，結(jié)合基本不等式可整理出，從而可求出面積的最大值.【小問1詳解】直線即，令，解得，所以直線過定點，而，所以點在圓內(nèi)部，故無論a取何值，直線l均與圓O相交；【小問2詳解】設(shè)圓心到的距離分別為，則．則，，所以四邊形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以四邊形的面積最大為.17.如圖，已知四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，平面是正三角形，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離；（3）線段上是否存在點，使得三棱錐體積為，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判斷定理，轉(zhuǎn)化為證明，；（2）以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，再代入點到平面的距離，求解；（3）根據(jù)，求得點的坐標(biāo)，再根據(jù)（2）的結(jié)果求點到平面的距離，并根據(jù)向量的數(shù)量積公式，以及面積公式，求，結(jié)合體積公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為是正三角形，是的中點，所以.又因為平面平面，平面，所以面；【小問2詳解】因為兩兩互相垂直.以點為原點，方向分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為，由，得，點到平面的距離【小問3詳解】設(shè)所以點到面的距離為定值.，解得：或.18.已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點、，，的長半軸與的實半軸之差為，離心率之比為.（1）求這兩條曲線的方程；（2）求曲線以點為中點的弦所在直線的方程；（3）若為兩條曲線的交點，求的余弦值.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，進而可求得、的值，由此可得出兩曲線的方程；（2）利用點差法可求得曲線以點為中點的弦所在直線的方程，然后再將所求直線方程與曲線的方程聯(lián)立，計算即可結(jié)論；（3）設(shè)，，利用橢圓和雙曲線的定義可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值.【小問1詳解】設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，.則，解得，，則，，因此，橢圓方程為，雙曲線方程為.【小問2詳解】曲線以點為中點的弦的兩端點分別為、，則，，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，因為，這兩個等式作差可得，所以，，可得，所以，直線的方程為，即，檢驗：聯(lián)立可得，則，合乎題意，因此，曲線以點為中點的弦所在直線的方程為.【小問3詳解】不妨設(shè)、分別為兩曲線的左、右焦點，是兩曲線在第一象限的交點，設(shè)，，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，所以，.19.已知拋物線與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點到原點的距離為.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（