新高考藝術生40天突破數(shù)學第09講 導數(shù)的運算及切線方程（解析版）

第09講導數(shù)的運算及切線方程【知識點總結】一、基本概念1、導數(shù)的概念設函數(shù)在附近有定義，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限，即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值做函數(shù)在處的導數(shù)，記作或即2、導數(shù)的幾何意義函數(shù)在處的導數(shù)，表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中為切線的傾斜角，如圖所示，過點的切線方程為3、導數(shù)的物理意義:設時刻一車從某點出發(fā)，在時刻車走了一定的距離在時刻，車走了這一段時間里車的平均速度為當與很接近時，該平均速度近似于時刻的瞬時速度.若令，則可以認為，即就是時刻的瞬時速度.二、基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式如表，為正整數(shù)為有理數(shù)注：三、導數(shù)的運算法則（和、差、積、商）設均可導，則（1）（2）（3）（4）注：四、復合函數(shù)的導數(shù)復合函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的導數(shù)之間具有關系，該關系用語言表述就是“對的導數(shù)等于對的導數(shù)與對的導數(shù)的乘積”，也就是先把當作一個整體，把對求導，再把對求導，這兩者的乘積就是復合函數(shù)對的導數(shù)，即.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵的導數(shù)為，∴．∵，∴曲線在點處的切線方程為，即．故選：C．例2．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線斜率是（）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】設，則，，又為偶函數(shù)，∴，則對應導函數(shù)為，∴，即所求的切線斜率為2.故選：B例3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則的值為（）A． B． C．10 D．20【答案】D【詳解】因為，所以，所以.故選：D例4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則f（x）所有的切線中斜率最小的切線方程為___________.【答案】4x﹣2y﹣3=0【詳解】解：由，得，由，當且僅當x=1時等號成立，∴x=1滿足題意，此時，又，∴所求切線方程為，即4x﹣2y﹣3=0.故答案為：4x﹣2y﹣3=0.例5．（2022·全國·高三專題練習）若直線y＝kx與曲線y＝e2x相切，則切點坐標為____．【答案】（，e）【詳解】設切點的坐標為（m，n），y＝e2x的導數(shù)為y′＝2e2x，由切線方程y＝kx，可得2e2m＝k，n＝km＝e2m，k＞0，解得m，n＝e，即切點的坐標為（，e）．故答案為：（，e）．例6．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是_______________________．【答案】【詳解】由題意得，將與分別代入，得，，解得，，而，所以所求切線方程是，即．故答案為：例7．（2022·浙江·高三專題練習）請用函數(shù)求導法則求出下列函數(shù)的導數(shù)．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【詳解】（1）因為，則；（2）因為，則；（3）因為，則；（4）因為，則；（5）因為，故.例8．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線.（1）求曲線S在點處的切線方程；（2）求過點并與曲線S相切的直線方程.【詳解】（1）∵，則，∴當時，，∴點處的切線方程為：，即.（2）設切點坐標為，則直線斜率，而，整理得：∴，則，即有，解得，當時：，直線方程為；當時，，直線方程為；當時，，直線方程為.【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）某物體沿水平方向運動，其前進距離（米）與時間（秒）的關系為，則該物體在運動前2秒的平均速度為（）A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒【答案】C【分析】利用平均變化率的定義可得出該物體在運行前秒的平均速度為，進而可求得結果.【詳解】∵，∴該物體在運動前2秒的平均速度為（米/秒）．故選：C．2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)幾何意義和過兩點的直線的斜率公式，結合圖象即得結果.【詳解】如圖所示，是函數(shù)的圖象在（即點A）處切線的斜率，是函數(shù)的圖象在（即點B）處切線的斜率，是割線的斜率．由圖象知,，即．故選:B．3．（2022·全國·高三專題練習（理））若函數(shù)可導，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導函數(shù)的定義得，根據(jù)，即可求出結果.【詳解】．故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)，若，則（）A．36 B．12 C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)在處的導數(shù)的定義將變形為即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意，，則，則，若，則，則有，即，故選：C.5．（2022·全國·高三專題練習（理））已知函數(shù)的圖象如下所示，為的導函數(shù)，根據(jù)圖象判斷下列敘述正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導數(shù)的幾何意義，結合函數(shù)圖象，即可判斷與、與，及其與0的大小關系.【詳解】由曲線上一點的導數(shù)表示該點切線的斜率，結合圖象知：，而，故選：B.6．（2022·浙江·高三專題練習）若函數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的定義可直接化簡求得結果.【詳解】.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)導數(shù)的定義求值的問題，屬于基礎題.7．（2022·全國·高三專題練習（理））函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導，計算，即得解【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即．故選：B8．（2022·全國·高三專題練習）若曲線上任意一點處的切線的傾斜角的取值范圍是[)，則a=（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】先求得，根據(jù)曲線切線的傾斜角的取值范圍是，得到，列出方程，即可求解．【詳解】由題意，函數(shù)，可得，又由曲線的切線的傾斜角的取值范圍是，可得切線的斜率的取值范圍是，所以，又因為，所以解得.故選：C．9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線過點，則（）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義結合切線經(jīng)過的兩點列式求解即得.【詳解】依題意，，，因函數(shù)的圖象在點處的切線過點，于是得，解得，所以.故選：C10．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)，曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線的斜率為（）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用在點處的切線方程為可得然后利用導數(shù)的幾何意義求切線斜率即可.【詳解】因為，所以．又曲線在點處的切線方程為，所以，所以，即曲線在點處的切線的斜率為4．故選：A.11．（2022·全國·高三專題練習）曲線在點處的切線的傾斜角為，則點的坐標為（）A． B． C． D．或【答案】D【分析】可求得切線的斜率，即，可得解【詳解】切線的斜率，設切點的坐標為，則．又∵，∴，解得或，∴切點的坐標為或．故選：D12．（2022·全國·高三專題練習）若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】求出平行于直線且與曲線相切直線的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設平行于直線且與曲線相切的直線切點為，由，則，令，整理得，解得或（舍去），由，可得，即切點坐標為，又由點到直線的距離公式，可得，即點P到直線的距離的最小值為.故選：B.13．（2022·全國·高三專題練習（文））曲線在處的切線如圖所示，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出切線方程，利用導數(shù)的幾何意義求出的值，利用切線方程求出的值，進而可求得的值.【詳解】設曲線在處的切線方程為，則，解得，所以，曲線在處的切線方程為，所以，，，因此，.故選：C.14．（2022·全國·高三專題練習（文））直線與曲線相切于點，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將切點坐標代入切線方程可求得，根據(jù)得到；將切點坐標代入得到；由此可求得結果.【詳解】為切點，，解得：，，，又，.故選：B.15．（2022·全國·高三專題練習（文））直線是曲線的一條切線，則實數(shù)k的值為（）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】設切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)切線過定點，即可求出，從而求出切線的斜率；【詳解】解：設切點為，由，得，則，則曲線在切點處的切線方程為，由已知可得，切線過定點，代入切線方程可得：，解得，則.故選：A.16．（2022·全國·高三專題練習）動點P，Q分別在函數(shù)，的圖象上運動，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，當過P點的切線與直線平行時，切線與直線的距離即為所求，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】解：因為，所以，設動點，當在P點處切線與平行，過點P作直線垂線，垂足為點Q時，取得最小值，即為兩平行直線間的距離，亦即點P到直線的距離是的最小值.令，解得，故，所以.故選：C17．（2022·全國·高三專題練習）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求得在點處的切線方程，設其與相切于點，由切線斜率可求得，利用兩點連線斜率公式構造方程求得.【詳解】，，，，在點處的切線方程為：；設與相切于點，則，解得：，又，，解得：.故選：C.18．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，那么（）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義確定斜率與切點即可求解答案.【詳解】因為，所以，因此切線方程的斜率，所以有，得，又切點在切線上，可得切點坐標為，將切點代入中，有，得，所以.故選：D.19．（2022·全國·高三專題練習）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)的幾何意義可知，可求得；根據(jù)為兩曲線公共點可構造方程求得，代入可得結果.【詳解】，，，，，又為與公共點，，，解得：，.故選：D.20．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為（）A．2 B．5 C．1 D．0【答案】C【分析】設兩曲線與公共點為，分別求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，列出等式，求得公共點的坐標，代入函數(shù)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設兩曲線與公共點為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線的斜率為，因為兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點的坐標為，將點代入，可得.故選：C.21．（2022·全國·高三專題練習（理））設為曲線上的點，且曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為,又因為曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則切線的斜率，所以,解得，故選A.22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出導數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得．故選：C．23．（2022·全國·高三專題練習）設，，，…，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求解，歸納可得，即得解【詳解】，，，，，所以（）．故．故選：A24．（2022·全國·高三專題練習）設，且，則常數(shù)的值為（）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)給定等式列式即可求得常數(shù).【詳解】由得，，依題意得，，解得，所以常數(shù)的值為.故選：B二、多選題25．（2022·全國·高三專題練習）（多選）為了評估某種治療肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關部門對該藥物在人體血管中的藥物濃度進行測量，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中的藥物濃度（單位：）隨時間（單位：）變化的關系如圖所示，則下列四個結論中正確的是（）A．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率相同C．在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率相同D．在，兩個時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率不相同【答案】ACD【分析】根據(jù)已知血管中的藥物濃度隨時間變化圖象，結合瞬時變化率、平均變化率的概念判斷各選項的正誤.【詳解】A：在時刻，兩圖象相交，即此時甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同，正確；B：兩條曲線在時刻的切線的斜率不相等，所以甲、乙兩人血管中的藥物濃度的瞬時變化率不相同，錯誤；C：根據(jù)平均變化率公式，可知在這個時間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中的藥物濃度的平均變化率都是，正確；D：在時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，在時間段內(nèi)，甲血管中的藥物濃度的平均變化率是，顯然不相等，正確．故選：ACD．26．（2022·全國·高三專題練習）若直線是函數(shù)圖像的一條切線，則函數(shù)可以是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求得已知直線的斜率，對選項中的函數(shù)分別求導，可令導數(shù)為，解方程即可判斷結論【詳解】解：直線的斜率為，由的導數(shù)為，即切線的斜率小于0，故A不正確；由的導數(shù)為，而，解得，故B正確；由的導數(shù)為，而有解，故C正確；由的導數(shù)為，而，解得，故D正確，故選：BCD【點睛】此題考查導數(shù)的幾何意義，正確求導是解題的關鍵，考查運算能力，屬于基礎題27．（2022·全國·高三專題練習）（多選）下列函數(shù)求導運算錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】直接利用常見函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算即可計算.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選ACD．三、填空題28．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，則在區(qū)間上的平均變化率為______．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)平均變化率公式進行化簡并計算得到，代入中得到函數(shù)表達式，再根據(jù)函數(shù)平均變化率公式求在區(qū)間上的平均變化率.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為,，，,所以在區(qū)間上的平均變化率為．故答案為：29．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處的瞬時變化率為，則______．【答案】9【分析】利用導數(shù)的定義求導函數(shù)，結合已知求參數(shù)，進而可求.【詳解】由題知，，得，∴．故答案為：930．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則所有的切線中斜率最小的切線方程為_________.【答案】【分析】求得函數(shù)導數(shù)，由基本不等關系求得導數(shù)的最小值，即函數(shù)所有切線中斜率最小值，進而求得切線方程.【詳解】由，，則，時等號成立，則函數(shù)所有切線中斜率最小為3，且過點，則切線方程為故答案為：31．（2022·全國·高三專題練習）曲線的一條切線過點，則該切線的斜率為_______．【答案】【分析】設切點坐標為，求函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入，求切點坐標，切線的斜率．【詳解】由，設切線斜率為，切點橫坐標為，則，得，所以故答案為：32．（2022·浙江·高三專題練習）曲線上的任意一點P處切線的傾斜角的取值范圍是________．【答案】【分析】求出導數(shù)，可得導函數(shù)的值域即為傾斜角的正切值取值范圍，即可得出傾斜角范圍.【詳解】由可得，設點P處切線的傾斜角為，則可得，，則可得.故答案為：.33．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______．【答案】【分析】利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可得切線方程.【詳解】令，得．對求導，得，所以，故曲線在點處的切線方程為．故答案為：.34．（2022·全國·高三專題練習）已知f(x)＝x2，則過點P(－1，0)，曲線y＝f(x)的切線方程為__________【答案】或【分析】首先判斷不在曲線上，設出切點坐標，利用導數(shù)求得斜率，由此列方程求得切點的橫坐標，進而求得切線的斜率，由此求得切線方程.【詳解】點P(－1，0)不在f(x)＝x2上，設切點坐標為(x0，)，由f(x)＝x2可得，∴切線的斜率.切線方程為.∵切線過點P(－1，0)，∴k＝＝2x0，解得x0＝0或x0＝－2，∴k＝0或－4，故所求切線方程為y＝0或4x＋y＋4＝0.故答案為：或35．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù)，若直線過點，并且與曲線相切，則直線l的方程為______________．【答案】【分析】設出切點坐標，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義可得切線方程為，再根據(jù)切線過點，可求出，進而求出結果．【詳解】∵點不在曲線上，設切點坐標為．又∵，所以∴在處的切線方程為，∵切線過點，∴，解得，∴直線的方程為：，即直線方程為.故答案為：．【點睛】方法點睛：用導數(shù)求切線方程的關鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：．若曲線在點的切線平行于軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．36．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．則______．【答案】0【分析】由，求得，由此求得.【詳解】在圖象上，，的斜率為，，，所以.所以.故答案為：37．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若直線函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________.【答案】【分析】設直線與函數(shù)的圖像相切的切點為，求得的導數(shù)，可得切線的斜率，進而得到切點和切線方程，聯(lián)立，利用判別式為0即可解出a.【詳解】設直線與函數(shù)的圖像相切的切點為，由可得，即切點為，則，所以切線方程為；聯(lián)立，可得，由題意可得，解得.故答案為：38．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是：，若點P的橫坐標為5，則______.【答案】【分析】利用切線的斜率求得，利用切點求得.【詳解】由于切線方程是，所以，由于切點在切線上，，即，所以.故答案為：39．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則a的值為___________【答案】【分析】根據(jù)點Ｐ在函數(shù)的圖象上，求得ｂ的值，得到，利用導數(shù)的幾何意義和直線垂直的條件求得．【詳解】由已知可得在函數(shù)的圖象上，所以，即，解得，所以，故.則函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率，因為切線與直線垂直，所以，即.故答案為：.40．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處的切線方程為，則___.【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，又在切線上，可解得的值，進而可求的值.【詳解】由，得，，，又切線方程為：，即，故，解得，故，，即，故答案為：.41．（2022·全國·高三專題練習（理））我國魏晉時期的科學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設，則________，其在點處的切線方程為________．【答案】【分析】利用復合函數(shù)的求導法則可求得，利用導數(shù)的幾何意義可求得曲線在點處的切線方程.【詳解】，故，則.故曲線在點處的切線方程為.故答案為：；.42．（2022·全國·高三專題練習）設f(x)＝aex+blnx，且f′（1）＝e，f′（﹣1）＝，則a+b＝__．【答案】1【分析】可求出導函數(shù),然后根據(jù)條件可得出關于a，b的方程組，解出a，b即可．【詳解】解：∵，∴＝ae+b＝e①，②，聯(lián)合①②解得，∴a+b＝1．故答案為：1．四、解答題43．（2022·全國·高三專題練習）求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=x（x2）；（2）y=（1）（1）；（3）y=xtanx；（4）y=x﹣sincos；（5）y=3lnx+ax（a>0，且a≠1）.【答案】（1）y′=3x2；（2）y′；（3）y′；（4）y′=1cosx；（5）y′axlna.【分析】根據(jù)導數(shù)的公式，分別進行求解即可.【詳解】根據(jù)導數(shù)的公式，分別進行求解即可.解：（1）y=x（x2）=x3+1；則函數(shù)的導數(shù)y′=3x2.（2）y=（1）（1）=1，則y′；（3）y=xtanx，則y′；（4）y=x﹣sinsinx；則y′=1cosx.（5）y′axlna.故答案為：（1）y′=3x2；（2）y′；（3）y′；（4）y′=1cosx；（5）y′axlna.44．（2022·全國·高三專題練習（文））下列函數(shù)的導函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】直接根據(jù)求導公式及導數(shù)的運算法則即可求出