新高考藝術生40天突破數(shù)學第33講 直線方程（原卷版）

第33講直線方程【知識點總結】一、基本概念斜率與傾斜角我們把直線中的系數(shù)（）叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線，其斜率不存在。軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角。傾斜角，規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為0，傾斜角不是的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用表示，即。當時，直線平行于軸或與軸重合；當時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；當時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減小；二、基本公式1.兩點間的距離公式2.的直線斜率公式3.直線方程的幾種形式（1）點斜式：直線的斜率存在且過，注：①當時，；②當不存在時，（2）斜截式：直線的斜率存在且過，（3）兩點式：，不能表示垂直于坐標軸的直線。注：可表示經(jīng)過兩點的所有直線（4）截距式：不能表示垂直于坐標軸及過原點的直線。（5）一般式：，能表示平面上任何一條直線（其中，向量是這條直線的一個法向量）三、兩直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定.兩直線方程平行垂直(斜率存在)(斜率不存在)或或中有一個為0，另一個不存在.四、三種距離1．兩點間的距離平面上兩點的距離公式為.特別地，原點O(0,.0)與任一點P(x,y)的距離2．點到直線的距離點到直線的距離 特別地,若直線為l:x=m,則點到l的距離;若直線為l:y=n,則點到l的距離3.兩條平行線間的距離 已知是兩條平行線,求間距離的方法:(1)轉化為其中一條直線上的特殊點到另一條直線的距離.(2)設,則與之間的距離注:兩平行直線方程中,x,y前面對應系數(shù)要相等.【典型例題】例1．（2022·全國·高三專題練習）直線經(jīng)過點，在軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．例2．（2022·全國·高三專題練習（文））設，直線恒過定點A，則點A到直線的距離的最大值為（）A．1 B． C． D．例3．（2022·全國·高三專題練習）已知點到直線的距離為，則等于（）A． B． C． D．例4．（2022·全國·高三專題練習）(多選)設點P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，則有（）A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS例5．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，直線，若直線關于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．例6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）坐標原點關于直線對稱的點的坐標是________.例7．（2022·全國·高三專題練習）直線與直線之間的距離為__________．例8．（2022·全國·高三專題練習）已知兩條直線和，試分別確定的值，使：（1）與相交于一點；（2）且過點；（3）且l1在y軸上的截距為.例9．（2022·全國·高三專題練習）已知的三個頂點分別為，，，BC中點為D點，求：（1）邊所在直線的方程（2）邊上中線AD所在直線的方程（3）邊的垂直平分線的方程.例10．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l經(jīng)過點P(4，3)，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O為坐標原點.（1）若點O到直線l的距離為4，求直線l的方程；（2）求△OAB面積的最小值.【技能提升訓練】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2，k3，則有（）A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k2<k3<k12．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l的方程為，則直線l的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2022·全國·高三專題練習）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點和，且直線與平行，則實數(shù)的值為（）A．0 B．1 C．6 D．0或64．（2022·全國·高三專題練習）若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，，且直線與平行，則的值為（）A． B．0 C．1 D．0或16．（2022·全國·高三專題練習）已知兩點A(-2，4)，B(2，3)，過點P（1，0）的直線與線段AB有公共點，則直線斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．7．（2022·全國·高三專題練習）已知點A(1，3)，B(－2，－1)．若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是（）A． B．C．或 D．8．（2021·云南昆明·模擬預測（理））若等邊三角形一邊所在直線的斜率為，則該三角形另兩條邊所在直線斜率為（）A．， B．，C．， D．，9．（2022·全國·高三專題練習）直線的傾斜角為，經(jīng)過點，，則直線與直線的位置關系是（）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合10．（2022·全國·高三專題練習）直線，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與直線平行，則實數(shù)的值是（）A． B． C．或 D．不存在12．（2022·全國·高三專題練習）直線與直線平行，那么的值是（）A． B． C．或 D．或13．（2022·全國·高三專題練習）已知直線與直線垂直，則實數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．不存在14．（2022·全國·高三專題練習）設，則“”是“直線與直線垂直”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件15．（2022·上海·高三專題練習）過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．16．（2022·全國·高三專題練習）過點且垂直于的直線方程為（）A． B．C． D．17．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線和直線都過點，則過點和點的直線方程是（）A． B． C． D．18．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，當變化時，所有直線都恒過點（）A．B．C．D．19．（2022·全國·高三專題練習）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為()A． B．C．或 D．或20．（2022·全國·高三專題練習）直線l經(jīng)過點，與x軸、y軸分別交于A，B兩點，當P為AB中點時，直線l的方程為（）A． B．C． D．21．（2022·全國·高三專題練習）經(jīng)過兩直線與的交點，且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是（）A．或 B．或C． D．22．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（）A．1 B． C．﹣2 D．﹣123．（2022·全國·高三專題練習）點關于直線的對稱點是（）A． B． C． D．24．（2022·全國·高三專題練習）已知直線，則點P(2，2)關于對稱的點的坐標為（）A．(1，3) B．(-1，-1) C．(-1，5) D．(-2，-2)25．（2022·全國·高三專題練習）若入射光線所在直線的方程為，經(jīng)x軸反射，則反射光線所在直線的方程是（）A． B．C． D．26．（2022·全國·高三專題練習）兩條平行直線3x+4y-10=0與ax+8y+11=0之間的距離為（）A． B． C． D．27．（2022·全國·高三專題練習）直線關于點對稱的直線方程是（）A． B．C． D．二、多選題28．（2022·全國·高三專題練習）下列說法中，正確的有（）A．過點且在軸截距相等的直線方程為B．直線在y軸上的截距是；C．直線的傾斜角是D．過點并且傾斜角為的直線方程為29．（2022·全國·高三專題練習）對于直線：，下列說法錯誤的是（）A．時直線的傾斜角為 B．直線斜率必定存在C．直線恒過定點 D．時直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為30．（2022·全國·高三專題練習）關于直線，下列說法正確的有（）A．過點 B．斜率為C．傾斜角為60° D．在軸上的截距為131．（2022·江蘇·高三專題練習）已知直線過，且，到直線的距離相等，則的方程可能是（）A． B．C． D．32．（2022·全國·高三專題練習）已知，，，則（）A．直線與線段有公共點B．直線的傾斜角大于C．的邊上的中線所在直線的方程為D．的邊上的高所在直線的方程為33．（2022·全國·高三專題練習）(多選)若兩平行直線3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為，則實數(shù)c的值是（）A．2 B．-4C．5 D．-634．（2022·全國·高三專題練習）已知直線過點且與點、等距離，則直線的方程為（）A．B．C．D．35．（2022·全國·高三專題練習）過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（）A． B． C． D．36．（2022·全國·高三專題練習）與直線平行且到直線l的距離為2的直線方程是（）A． B．C． D．三、填空題37．（2022·全國·高三專題練習）若直線經(jīng)過點A(－,3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半，則該直線的方程為___________．38．（2022·江蘇·高三專題練習）若經(jīng)過，兩點的直線的傾斜角為，則________.39．（2022·全國·高三專題練習）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______．40．（2022·全國·高三專題練習）已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍________41．（2021·上海市建平中學高二階段練習）直線和直線夾角的余弦值為________．42．（2022·全國·高三專題練習）若點在直線上，則與的位置關系是________．43．（2022·上海·高三專題練習）已知直線則直線與的夾角是________．44．（2022·全國·高三專題練習）已知點和點，P是直線上的一點，則的最小值是__________．45．（2022·全國·高三專題練習）如圖，已知A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點，則光線所經(jīng)過的路程是_________．46．（2020·全國·高三專題練習）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A（－1，－2），則直線l關于點A對稱的直線的方程為____________.47．（2022·全國·高三專題練習）直線恒過定點，則直線關于點對稱的直線方程為_________．48．（2022·上海·高三專題練習）直線關于直線對稱的直線方程是__________.四、解答題49．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三學業(yè)考試）已知，，線段的垂直平分線為直線．（1）求直線的一般式方程；（2）若點在直線上，且，求點坐標．50．（2022·全國·高三專題練習）已知直線l1：2x+y+3＝0，l2：x﹣2y＝0．(1)求直線l1關于x軸對稱的直線l3的方程，并求l2與