2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三課平面向量初步考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升新人教B版必修2

PAGE1-第三課平面對(duì)量初步考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學(xué)運(yùn)算角度平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算【典例1】已知向量=(4,3),=(-3,-1),點(diǎn)A(-1,-2).(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)若點(diǎn)P(2,y)滿意=λ(λ∈R),求y與λ的值.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x1,y1).因?yàn)?(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3).所以x1+1=4,同理可得D(-4,-3).設(shè)線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2,y2),則x2=3-42=-12,y所以M-1(2)由已知得=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又=λ,所以(1,1-y)=λ(-7,-4),則1=-7【類題·通】向量的坐標(biāo)表示事實(shí)上是向量的代數(shù)表示,是將幾何問題代數(shù)化的有力工具,它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分類探討、數(shù)形結(jié)合等思想方法的詳細(xì)體現(xiàn).通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模,推斷共線、平行等問題.素養(yǎng)二直觀想象角度用已知向量表示未知向量【典例2】在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.【解析】選擇,作為平面對(duì)量的一組基底,則=+,=12+,=+12,又=λ+μ=12λ+μ+λ+1于是得12λ所以λ+μ=43【類題·通】利用已知向量表示未知向量,實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算;平面對(duì)量基本定理的引入為其供應(yīng)了有力的理論依據(jù),利用平面對(duì)量基本定理表示向量時(shí),要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕?常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題.素養(yǎng)三邏輯推理角度平面對(duì)量在幾何中的應(yīng)用【典例3】如圖,點(diǎn)L,M,N分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且BLBC=l,CMCA=m,ANAB=n,若++=0.求證:l=m=n.【證明】令=a,=b,=c,則由BLBC=l得,=lb;由CMCA=m得,=mc;由ANAB=n得,=na.因?yàn)?+=0,所以(+)+(+)+(+)=0.即(a+lb)+(b+mc)+(c+na)=0,所以(1+n)a+(1+l)b+(1+m)c=0.又因?yàn)閍+b+c=0,所以a=-b-c,所以(1+n)(-b-c)+(1+l)b+(1+m)c=0,即(l-n)b+(m-n)c=0.因?yàn)閎與c不共線,所以l-n=0且m-n=0,所以l=n且m=n,即l=m=n.【類題·通】1.向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則,數(shù)乘運(yùn)算和線段平行之間聯(lián)系親密,因此用向量方法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.2.利用平面對(duì)量解決幾何問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)匾胂蛄?通過向量運(yùn)算,說明幾何性質(zhì).【加練·固】如圖所示,P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),四邊形PECF是矩形,求證:PA=EF.【證明】以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,||=λ,則A(0,1)