《單調(diào)性的定義與證明》教學(xué)設(shè)計二

《單調(diào)性的定義與證明》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計一、情境導(dǎo)入想一想：下圖是著名的艾賓浩斯遺忘曲線，通過該曲線能說明什么問題？答案：它反映人的遺忘規(guī)律，隨著時間的推移，記憶保持量在逐漸遞減.想一想：如果以表示時間間隔（單位：h），表示記憶保持量（單位：%），從上圖中可以看出，是的函數(shù)，記這個函數(shù)為.從上圖及這個函數(shù)中能得到的啟發(fā)是什么？答案：從函數(shù)的角度來講，對函數(shù)，隨的增加而減少.畫一畫：請同學(xué)們畫一畫函數(shù)與的圖像，觀察所畫函數(shù)圖像，說一說它們有怎樣的升降規(guī)律.設(shè)計意圖：體會函數(shù)與的圖像的升降規(guī)律，增強學(xué)生的直觀感受，體現(xiàn)直觀想象素養(yǎng).學(xué)生畫圖后與同學(xué)討論，發(fā)表自己的見解.教師用幾何畫板在同一直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖像，啟發(fā)學(xué)生觀察這兩個函數(shù)圖像的升降變化，并交流它們各有什么特點.教師總結(jié)：不同函數(shù)，其圖像的變化趨勢也可能不同；同一函數(shù)在不同的區(qū)間上的變化趨勢也不一定相同.函數(shù)的這種變化規(guī)律反映了函數(shù)的一個重要性質(zhì)，即函數(shù)的單調(diào)性.畫一畫：請同學(xué)們作出函數(shù)與的圖像，并觀察函數(shù)圖像，說說相同點與不同點.答案：作出函數(shù)與的圖像如圖所示.相同點：圖像都是反比例函數(shù)的圖像，且不經(jīng)過坐標原點.不同點：圖甲中，時，隨的增大而減?。粓D乙中，時，隨的增大而增大.二、新課探究1.一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，且：（1）如果對任意，，當(dāng)時，都有，則稱在上是增函數(shù)（也稱在上單調(diào)遞增），如圖（1）所示；（2）如果對任意，，當(dāng)時，都有，則稱在上是減函數(shù)（也稱在上單調(diào)遞減），如圖（2）所示.問題：單調(diào)性的定義中，，有何特點？答案：（1）任意性，即，是在定義域內(nèi)的某一區(qū)間上的任意兩個值，不能以特殊值代換.（2）有大小，即確定的兩個值，必須區(qū)分大小，一般令.（3）同屬一個單調(diào)區(qū)間.想一想：理解函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意什么問題？（學(xué)生積極討論，教師給予評價）（1）函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，體現(xiàn)在函數(shù)的定義域或其子區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.（2）函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，在某一點上不存在單調(diào)性.（3）一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“”連接，而應(yīng)該用“和”（或“，”）連接.如函數(shù)在和上單調(diào)遞減，不能表述為：函數(shù)在上單調(diào)遞減.（4）并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性.如函數(shù)就不具有單調(diào)性.2.嘗試與發(fā)現(xiàn).如圖所示的函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是_____函數(shù)，在上是_____函數(shù)，在上是______函數(shù).答案：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).議一議：能說函數(shù)在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減嗎？答案：不能.因為在上函數(shù)中不能保證隨的增大而增大或隨的增大而減小.三、例題講解例1求證：函數(shù)在上是減函數(shù).要求學(xué)生先自己畫圖，再根據(jù)圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性.學(xué)生相互交流，教師巡回指導(dǎo).教師用幾何畫板展示，學(xué)生判斷自己的答案對與錯，及時改正.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材例1的答案，指出這是用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.師生共同總結(jié)用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟如下：（1）取值：設(shè)，是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且；（2）作差變形：作差，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，將差轉(zhuǎn)化為易判斷正負的式子；（3）定號：確定的符號；（4）結(jié)論：根據(jù)的符號及定義判斷單調(diào)性.教師結(jié)合前面所畫圖像，出示下列定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，且：如果對任意，都有，則稱的最大值為，記作，稱為的最大值點；如果對任意，都有，則稱的最小值為，記作，稱為的最小值點.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值；最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點.不難看出，如果函數(shù)有最值而且函數(shù)的單調(diào)性容易求出，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值點和最值.請同學(xué)們學(xué)習(xí)教材第97頁例2.例2判斷函數(shù)，的單調(diào)性，并求這個函數(shù)的最值.想一想例2用到了哪些知識？求解步驟是什么？（學(xué)生積極討論）師：用到函數(shù)單調(diào)性的定義，函數(shù)值的求法.也可利用不等式的性質(zhì)求解.求解步驟是：方法一：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）求端點值；（3）求出最大值和最小值.方法二：由的取值范圍，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)表達式右側(cè)代數(shù)式的取值范圍，即得到的取值范圍，從而求出最大值和最小值.四、課堂練習(xí)1.教材第102頁練習(xí)A第1，2題.2.教材第103頁練習(xí)B第1，2題.先讓學(xué)生獨立完成，再討論交流，統(tǒng)一答案，最后教師講解評價.五、課堂小結(jié)主要知識：函數(shù)單調(diào)性、最大（?。┲迭c和最大（小）值的定義.主要題型：（1）根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）求函數(shù)的最值點及最值.六、布置作業(yè)1.教材第102頁練習(xí)A第3，4題.2.教材第103頁練習(xí)B第3題.板書設(shè)計第1課時單調(diào)性的定義與證明函數(shù)單調(diào)性的定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，且：（1）如果對任意，，當(dāng)時，都有，則稱在上是增函數(shù)（也稱在上單調(diào)遞增），如圖（1）所示；（2）如果對任意，，當(dāng)時，都有，則稱在上是減函數(shù)（也稱在上單調(diào)遞減），如圖（2）所示.例1求證：函數(shù)在上是減函數(shù).最值點和最值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為，且：如果對任意，都有，則稱的最大值為，記作，稱為的最大值點；如果