2024-2025學年高中數(shù)學第2章概率5離散型隨機變量的均值與方差第2課時離散型隨機變量的方差學案北師大版選修2-3

PAGE1-第2課時離散型隨機變量的方差學習目標核心素養(yǎng)1.理解離散型隨機變量的方差的意義．(重點)2．能計算簡潔離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題．(難點)通過對離散型隨機變量方差的學習，培育“邏輯推理”“數(shù)學抽象”“數(shù)學運算”的數(shù)學素養(yǎng).1．離散型隨機變量的方差和標準差(1)方差DX＝E(X－EX)2.(2)標準差為eq\r(DX).2．方差的性質(zhì)D(aX＋b)＝a2DX.3．方差的意義方差可用來衡量X與EX的平均偏離程度，方差越小，則隨機變量的取值就越集中在其均值四周；方差越大，則隨機變量的取值就越分散．1．若隨機變量X聽從兩點分布，且在一次試驗中事務A發(fā)生的概率P＝0.5，則EX和DX分別為()A．0.25,0.5B．0.5,0.75C．0.5,0.25D．1,0.75C[EX＝0.5，DX＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知隨機變量ξ，Dξ＝eq\f(1,9)，則ξ的標準差為________．eq\f(1,3)[ξ的標準差eq\r(Dξ)＝eq\r(\f(1,9))＝eq\f(1,3).]3．已知隨機變量ξ的分布列如下表：ξ－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則ξ的均值為________，方差為________.－eq\f(1,3)eq\f(5,9)[均值Eξ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)；方差Dξ＝(x1－Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋(x3－Eξ)2·p3＝eq\f(5,9).]求離散型隨機變量的方差【例1】在一個不透亮的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中隨意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差．[解]X可能取值為1,2,3,4,5.P(X＝1)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,5).∴X的分布列為X12345P0.20.20.20.20.2由定義知，EX＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.1．求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值時的概率；(3)寫X的分布列；(4)求EX，DX.2．若隨機變量X聽從二項分布，即X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．1．某網(wǎng)站針對某歌頌競賽的歌手A，B，C三人進行網(wǎng)上投票，結(jié)果如下：觀眾年齡支持A支持B支持C20歲以下20040080020歲以上(含20歲)100100400(1)在全部參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值；(2)若在參與活動的20歲以下的人中，用分層抽樣的方法抽取7人作為一個樣本，從7人中隨意抽取3人，用隨機變量X表示抽取出3人中支持B的人數(shù)，寫出X的分布列，并計算EX，DX.[解](1)因為利用分層抽樣的方法抽取n個人時，從“支持A”的人中抽取了6人，所以eq\f(6,100＋200)＝eq\f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400)，解得n＝40.(2)X的全部可能取值為0,1,2，則分布列為X012Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以EX＝0×eq\f(2,7)＋1×eq\f(4,7)＋2×eq\f(1,7)＝eq\f(6,7)，DX＝eq\f(2,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＋eq\f(4,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＋eq\f(1,7)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(6,7)))eq\s\up7(2)＝eq\f(20,49).均值、方差的綜合應用[探究問題]1．A，B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表：A機床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試求EX1，EX2.[提示]EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由EX1＝EX2的值能比較兩臺機床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]不能．因為EX1＝EX2.3．在探究1中，試想利用什么指標可以比較A，B兩臺機床加工質(zhì)量？[提示]利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．【例2】甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．[解](1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，說明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成果比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟1比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平，因此，在實際決策問題中，需先計算均值，看一下誰的平均水平高.2在均值相等的狀況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3下結(jié)論.依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論.2．甲、乙兩個野生動物愛護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等．兩個愛護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)覺違反愛護條例的事務次數(shù)的分布列分別為：甲愛護區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙愛護區(qū)：Y012P0.10.50.4試評定這兩個愛護區(qū)的管理水平．[解]甲愛護區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學期望和方差分別為：EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙愛護區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學期望和方差分別為：EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；DY＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因為EX＝EY，DX>DY，所以兩個愛護區(qū)內(nèi)每季度發(fā)生的平均違規(guī)次數(shù)是相同的，但乙愛護區(qū)內(nèi)的違規(guī)事務次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲愛護區(qū)的違規(guī)事務次數(shù)相對分散，故乙愛護區(qū)的管理水平較高．1．隨機變量的方差反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度．方差越小，則隨機變量的取值越集中在其均值四周；反之，方差越大，則隨機變量的取值就越分散．2．隨機變量的方差與樣本方差的區(qū)分：樣本方差是隨著樣本的不同而改變的，因此，它是一個變量，而隨機變量的方差是一個常量.1.設隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))的值等于()A．1B．2C．eq\f(1,2)D．4C[隨機變量X聽從二項分布，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X))＝eq\f(1,4)DX＝eq\f(1,4)×8×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).]2．已知X的分布列為X－101P0.50.30.2則DX等于()A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0B[EX＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．已知隨機變量X，D(10X)＝eq\f(100,9)，則X的方差為________．eq\f(1,9)[D(10X)＝100DX＝eq\f(100,9)，∴DX＝eq\f(1,9).]4．有兩臺自動包裝機甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機變量X1，X2，已知EX1＝EX2，DX1>DX2，則自動包裝機________的質(zhì)量較好．乙[因為EX1＝EX2，D