高考復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題02解三角形大題(學(xué)生版+解析)

專題02解三角形大題解題秘籍解題秘籍正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，射影定理，，角平分線定理在中，為的角平分線，則有張角定理三角形的面積公式倍角定理在中,三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運(yùn)用在中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（23·24上·寧波·一模）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)證明：；(2)若，，求的面積.2．（22·23·唐山·二模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b．c．已知．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．3．（23·24上·永州·一模）在中，設(shè)所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的面積．4．（22·23·東莞·三模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.(1)求角的大??；(2)設(shè)，，求的值.5．（22·23·張家口·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為.(1)若，求的面積；(2)求的值.6．（22·23下·蘇州·三模）在中，，點(diǎn)在邊上，且，.(1)求；(2)求的面積.7．（22·23下·江蘇·二模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若點(diǎn)D在邊BC上，，，，求的面積.8．（22·23下·浙江·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求.9．（22·23·福州·三模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.(1)求B；(2)D為AC的中點(diǎn)，,求的面積.10．（22·23下·湖北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的外接圓半徑為，且.(1)求；(2)若，求的面積.11．（22·23下·武漢·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．(1)求；(2)若，求的面積．12．（22·23·廣州·三模）在△中，角的對邊分別為，且，，設(shè)與的夾角為．(1)當(dāng)時(shí)，求及△的面積；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)的最大值與最小值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．13．（22·23·寧德·一模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答.問題：已知分別為內(nèi)角的對邊，是邊的中點(diǎn)，，且______.(1)求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求線段的長.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．14．（22·23下·長沙·二模）已知向量（，），（，），.(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的值；(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.15．（23·24上·郴州·一模）已知向量，，函數(shù).(1)若，求的值；(2)已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.16．（22·23下·河北·三模）在中，角的對邊分別為，且．(1)判斷的形狀；(2)若，點(diǎn)分別在邊上，且，求的面積．17．（22·23·邯鄲·二模）已知條件：①；②；③.從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：____.(1)求角C的大??；(2)若，與的平分線交于點(diǎn)I，求周長的最大值.18．（22·23·滄州·三模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，，，且的面積為.若，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，如圖所示.

(1)求的余弦值；(2)求的值.19．（22·23·鹽城·一模）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值20．（22·23下·江蘇·三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.21．（22·23·佛山·一模）在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的周長.22．（22·23下·浙江·二模）在的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)再從條件①?②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值.條件①：的面積取到最大值；條件②：.（注：如果選擇條件①?②分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分.）23．（22·23下·溫州·二模）設(shè)的內(nèi)角所對邊分別為，若.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)若為整數(shù)，，且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，求周長的最小值.24．（22·23下·浙江·二模）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.25．（22·23·泉州·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，．(1)求B；(2)已知D為的中點(diǎn)，，求的面積．26．（22·23·菏澤·二模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知的外接圓半徑，且.(1)求B和b的值；(2)求AC邊上高的最大值.27．（22·23·福州·二模）的角的對邊分別為的面積為.(1)若，求的周長；(2)設(shè)為中點(diǎn)，求到距離的最大值.28．（22·23·淄博·三模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)給出以下三個(gè)條件：①，b＝4；②；③.若以上三個(gè)條件中恰有兩個(gè)正確，求的值.29．（22·23·深圳·二模）已知在中，角的對邊分別為.(1)求角的余弦值；(2)設(shè)點(diǎn)為的外心（外接圓的圓心），求的值.30．（22·23·濰坊·三模）定義平面凸四邊形為平面上每個(gè)內(nèi)角度數(shù)都小于的四邊形．已知在平面凸四邊形中，，，，的平分線為，且．(1)求的面積；(2)求的取值范圍．31．（22·23·山東·二模）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．32．（22·23·菏澤·三模）已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．33．（22·23·棗莊·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.34．（22·23下·襄陽·三模）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且.(1)求角的大??；(2)若的外接圓半徑為1，且的外心滿足，，求的最大值.35．（22·23下·武漢·三模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的面積.36．（22·23下·黃岡·三模）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍．37．（22·23下·湖南·二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，，的角平分線交于點(diǎn)．(1)求B；(2)若，求的周長．38．（22·23下·長沙·一模）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，C=.(1)當(dāng)時(shí)，求的面積;(2)求周長的取值范圍.39．（22·23·梅州·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求；(2)若，，點(diǎn)，分別在邊，上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值.40．（22·23下·鹽城·三模）在中,為的角平分線,且.(1)若,,求的面積;(2)若,求邊的取值范圍.專題02解三角形大題解題秘籍解題秘籍正弦定理基本公式：（其中為外接圓的半徑）變形三角形中三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，，余弦定理邊的余弦定理，，角的余弦定理，，射影定理，，角平分線定理在中，為的角平分線，則有張角定理三角形的面積公式倍角定理在中,三個(gè)內(nèi)角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運(yùn)用在中,三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（23·24上·寧波·一模）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)證明：；(2)若，，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，求出的取值范圍，可得出，即可證得結(jié)論成立；（2）由可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，故，因?yàn)?、，所以，則，所以，，所以，或（舍），因此.（2）解：因?yàn)椋?，由，因?yàn)?，故，所?2．（22·23·唐山·二模）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b．c．已知．(1)求A；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）利用余弦定理，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)椋?，故．因?yàn)?，所以，?/p>

函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得；（2）由余弦定理，

得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故面積的最大值為．3．（23·24上·永州·一模）在中，設(shè)所對的邊分別為，且滿足．(1)求角；(2)若的內(nèi)切圓半徑，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡，可得的值，即可得答案；（2）利用余弦定理得，配方得，再結(jié)合的內(nèi)切圓半徑，利用等面積法推出，即可求得，從而求得答案.【詳解】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，則，由的內(nèi)切圓半徑，可得，即，即，故，解得，故的面積.4．（22·23·東莞·三模）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.(1)求角的大??；(2)設(shè)，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用正弦定理求解；（2）運(yùn)用兩角差公式求解.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，可得，即，，又，可得；?）在中，由余弦定理得：，由，以及，可得，因?yàn)?，所以A是銳角，所以，因此，，所以，，綜上，，.5．（22·23·張家口·三模）在中，內(nèi)角的對邊分別為.(1)若，求的面積；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，代入，得，再根據(jù)余弦定理求出，再根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)果.（2）根據(jù)余弦定理得，再切化弦，利用兩角和的正弦公式、正弦定理變形可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，即，又，所以，所以，所?（2）由，得，得，所以，所以，所以.6．（22·23下·蘇州·三模）在中，，點(diǎn)在邊上，且，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)6(2)75【分析】（1）根據(jù)已知可推得，設(shè)，即可得出，進(jìn)而得出答案；（2）設(shè)，根據(jù)直角三角形以及兩角和的正切公式，即可得出，進(jìn)而求出，根據(jù)三角形面積公式，即可得出答案.【詳解】（1）

由題意知，.設(shè)，所以.在中，，所以，從而.（2）設(shè)，在中，，在中，，所以.在中，由，得，所以，從而的面積為.7．（22·23下·江蘇·二模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求A；(2)若點(diǎn)D在邊BC上，，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角可得，，然后化簡即可得出.根據(jù)的范圍即可得出答案；（2）設(shè)，則，然后在和中，根據(jù)余弦定理推得.在中，由余弦定理可得.聯(lián)立可解得，，然后根據(jù)面積公式即可得出答案.【詳解】（1）由正弦定理邊化角可得，，整理可得，.因?yàn)椋?，所以有，所?因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.聯(lián)立，解得，所以，所以，.8．（22·23下·浙江·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理將等式邊化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化簡可得，再由余弦定理代入即可求出；（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理邊化角化簡已知表達(dá)式可得，再結(jié)合兩角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化簡即可求出.【詳解】（1）解法1：代入，得.解法2：由正弦定理可得：：代入化簡，則，則，因?yàn)?，所以，解得：；由余弦定理可得：，代入化簡得，解得（?fù)值舍）.（2）解法1：，，又所以.解法2：因?yàn)?，所以，代入，，，因?yàn)椋瑒t，化簡：，當(dāng)時(shí)，則，則，舍去不滿足題意；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋?9．（22·23·福州·三模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，.(1)求B；(2)D為AC的中點(diǎn)，,求的面積.【答案】(1)(2)或,【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡，再應(yīng)用正弦定理，最后由余弦即可求出.（2）由D為AC的中點(diǎn)，求出關(guān)系,可得，最后求出面積即可.【詳解】（1）（2）D為AC的中點(diǎn)，,,,,,或,當(dāng)時(shí),，時(shí),所以的面積為或.10．（22·23下·湖北·二模）記的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的外接圓半徑為，且.(1)求；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角變換公式可得，故可求.（2）利用余弦定理可求，利用公式可求.【詳解】（1）因?yàn)?，故，整理得到?所以，而，故.（2）由余弦定理可得，故，解得，故.11．（22·23下·武漢·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．(1)求；(2)若，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系與角的范圍分別計(jì)算，的值，根據(jù)利用兩角和的正弦公式代入計(jì)算即可；（2）利用正弦定理計(jì)算，再由三角形面積公式計(jì)算面積.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，所以，故，所以．?）由正弦定理可知：，代入已知條件得，解得，所以的面積為12．（22·23·廣州·三模）在△中，角的對邊分別為，且，，設(shè)與的夾角為．(1)當(dāng)時(shí)，求及△的面積；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)的最大值與最小值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)，(2)條件選擇見解析，最大值為，最小值為0【分析】（1）利用余弦定理可直接求，利用面積公式求解面積；（2）先化簡，選擇條件①時(shí)，根據(jù)得出的范圍即可求解函數(shù)的范圍；選擇條件②時(shí)，根據(jù)得出的范圍即可求解函數(shù)的范圍.【詳解】（1）由余弦定理得，，所以，△的面積．（2）．選擇條件①：因?yàn)椋?，所以，，?故，．選擇條件②：因?yàn)椋?，所以，故．所以，，?故，．13．（22·23·寧德·一模）在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上，并給出解答.問題：已知分別為內(nèi)角的對邊，是邊的中點(diǎn)，，且______.(1)求的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)，求線段的長.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）選擇①，利用余弦定理列方程組可求，選擇②，利用正弦定理及兩角和差公式求角，再用余弦定理列方程組可求；（2）先求角，再利用三角形面積公式及等面積法即可求出線段的長.【詳解】（1）選擇①：設(shè)，則，在中，，在中，，因?yàn)椋?，即，所以，故．選擇②：由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，所以，即，于是，因?yàn)?，所以，設(shè)，，在中，，即（i），在中，，即（ii），聯(lián)立（i）（ii）解得，，，即，．（2）選擇①：由條件及小問（1）可知，，，，則，因?yàn)椋?，由題意得，，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以.選擇②：由小問（1）可知，，由題意得，，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，所以.14．（22·23下·長沙·二模）已知向量（，），（，），.(1)求函數(shù)的最大值及相應(yīng)x的值；(2)在△ABC中，角A為銳角且，，BC=2，求的面積.【答案】(1)，時(shí)，取最大值；(2).【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)恒等變換可得的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的最大值及相應(yīng)的值；（2）由（1）及角A的范圍可求角A，進(jìn)而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的邊長值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）依題意，，即，所以，當(dāng)，即，時(shí)，取最大值；（2）由（1）及得：，即，由，則，因此，，則，而，有，所以，在中，由正弦定理得，，，所以的面積為.15．（23·24上·郴州·一模）已知向量，，函數(shù).(1)若，求的值；(2)已知為銳角三角形，，，為的內(nèi)角，，的對邊，，且，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量共線定理可得，再利用二倍角的余弦公式，結(jié)合齊次式的應(yīng)用可得解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式可得，進(jìn)而可得，再利用正弦定理和面積公式可將三角形面積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域問題，確定自變量范圍，即可得解.【詳解】（1），，則；；（2），又，所以，，得，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，則故，即面積的取值范圍為.16．（22·23下·河北·三模）在中，角的對邊分別為，且．(1)判斷的形狀；(2)若，點(diǎn)分別在邊上，且，求的面積．【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，整理即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，化簡得，所以是直角三角形；?）由（1）得，因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以?,，，所以.17．（22·23·邯鄲·二模）已知條件：①；②；③.從三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足：____.(1)求角C的大??；(2)若，與的平分線交于點(diǎn)I，求周長的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①：利用余弦定理即可求解；選②：利用二倍角正弦、正弦定理邊化角求解；選③：利用二倍角余弦公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合（1）的結(jié)論求出，再利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可求解.【詳解】（1）選擇條件①，，在中，由余弦定理得，整理得，則，又，所以；選擇條件②，，于是，由正弦定理得，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，因此，即，又，所以；選擇條件③，，則，所以，則，又，即有，則，所以；（2）由（1）知，，有，而與的平分線交于點(diǎn)I，即有，于是，

設(shè)，則，且，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周長為，由，得，則當(dāng)，即時(shí)，的周長取得最大值，所以周長的最大值為.18．（22·23·滄州·三模）在中，角A，，所對的邊分別為，，，，，且的面積為.若，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，如圖所示.

(1)求的余弦值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合三角形面積公式及已知可求得，求得，再利用余弦定理求得，從而可得，由勾股定理求得，再由余弦定理計(jì)算出；（2）是的重心，由此可得，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得，由的面積，得，相除得，又，故，由，，得，，由余弦定理得，即，，在中，，，，滿足，所以為直角三角形，.在中，，，所以.（2）在中，為邊上的中線，所以，由，分別為邊，上的中線可知為的重心，可得，，所以.19．（22·23·鹽城·一模）已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)最大值為【分析】（1）運(yùn)用兩角和差的正余弦公式進(jìn)行化簡即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得到，然后把表示為的函數(shù)，再利用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍及求解.【詳解】（1）由題意知.所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，由角，所?（2）由（1）知，所以，，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，且，則有，得，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.20．（22·23下·江蘇·三模）已知，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可知，由最小正周期為可得，即可知，再利用三角函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）根據(jù)三角形形狀可得，再由正弦定理得，又，所以.【詳解】（1）因?yàn)?，，則，，故，因?yàn)樽钚≌芷跒椋?，所以，故，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）及，即，又，所以，解得，又為銳角三角形，即，即，解得；由正弦定理得，又，則，所以.21．（22·23·佛山·一模）在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.(1)求的值；(2)若，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，即可得到，利用正弦定理將邊化角，即可得到，再由平方關(guān)系計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式及（1）的結(jié)論得到，從而求出、，再由正弦定理求出，即可求出，從而得解.【詳解】（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負(fù)值舍去）.

（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負(fù)值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.22．（22·23下·浙江·二模）在的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)再從條件①?②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求的值.條件①：的面積取到最大值；條件②：.（注：如果選擇條件①?②分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】(1)證明見解析；(2)選①或②，都有．【分析】（1）已知式化為，由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式，商數(shù)關(guān)系變形可證；（2）選①，由面積得取最大值時(shí)，求出，利用二倍角公式，再化為關(guān)于的二次齊次式，弦化切代入計(jì)算；選②，由正弦定理得出，再代入（1）中結(jié)論得，由平方關(guān)系求得，然后由二倍角公式計(jì)算．【詳解】（1）因?yàn)椋?，由正弦定理得，又，所以，所以，顯然，，所以；（2）選①，的面積取到最大值，，所以時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由（1），；選②，，由正弦定理得，，由（1），，所以，，所以，即，，．23．（22·23下·溫州·二模）設(shè)的內(nèi)角所對邊分別為，若.(1)求證：成等差數(shù)列；(2)若為整數(shù)，，且三個(gè)內(nèi)角中最大角是最小角的兩倍，求周長的最小值.【答案】(1)證明見詳解(2)15【分析】（1）根據(jù)題意利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用正、余弦定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋淼?，即，由正弦定理可得：，即成等差?shù)列.（2）由題意可得：，則，不妨設(shè)，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，由余弦定理可得：，即，整理得，所以，可得周長，可知當(dāng)時(shí)，周長的取到最小值15.24．（22·23下·浙江·二模）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，滿足，且.(1)求證：；(2)已知是的平分線，若，求線段長度的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，結(jié)合整理可得角的關(guān)系；（2）由正弦定理得，又因?yàn)闉殇J角三角形且，結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段長度的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，因?yàn)?，則，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因?yàn)闉殇J角三角形，則，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，解得.故，所以.因此線段長度的取值范圍.25．（22·23·泉州·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，．(1)求B；(2)已知D為的中點(diǎn)，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理，邊角互化，結(jié)合余弦定理即可得解.（2）利用向量得到，從而利用數(shù)量積運(yùn)算法則得到，從而得解.【詳解】（1），，，且，，兩式相加得，，即,.（2）因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，所以，，代入，得：，或（舍去）；.26．（22·23·菏澤·二模）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知的外接圓半徑，且.(1)求B和b的值；(2)求AC邊上高的最大值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）把給定的等式切化弦，再逆用和角的正弦求出B，利用正弦定理求出b作答.（2）利用余弦定理、均值不等式求出的最大值，借助面積三角形求出AC邊上高的最大值作答.【詳解】（1）由，得，即，因此，在中，，即，而，即，于是，又，解得，因?yàn)榈耐饨訄A半徑，由正弦定理得，所以，.（2）由（1）知，，，由余弦定理，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，令的邊上的高為，則由，得所以AC邊上高的最大值是.27．（22·23·福州·二模）的角的對邊分別為的面積為.(1)若，求的周長；(2)設(shè)為中點(diǎn)，求到距離的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件得出和，聯(lián)立求得，進(jìn)而求得，結(jié)合余弦定理求出的值，進(jìn)而求得結(jié)果.（2）利用面積公式和基本不等式求最值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋芒?，又因?yàn)榈拿娣e為，所以有②，顯然，由①②得，所以，代入得，在中，因?yàn)椋?，得，所以的周長為.

（2）因?yàn)闉檫吷系闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以.設(shè)點(diǎn)到直線距離為，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)到直線距離最大值為.28．（22·23·淄博·三模）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知.(1)求角A的大??；(2)給出以下三個(gè)條件：①，b＝4；②；③.若以上三個(gè)條件中恰有兩個(gè)正確，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）先由余弦定理分析條件確定正確的是②③，然后由正弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，不滿足，所以，因?yàn)?，所?（2）由及①，由余弦定理可得，即，由，解得；

由及②，由余弦定理可得，由可得，可得；

由及③，由三角形的面積公式可得，可得.經(jīng)分析可知①②不能同時(shí)成立，①③不能同時(shí)成立，正確條件為②③，故，.代入②可得可得.在中，由正弦定理，故.29．（22·23·深圳·二模）已知在中，角的對邊分別為.(1)求角的余弦值；(2)設(shè)點(diǎn)為的外心（外接圓的圓心），求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理可得答案；（2）設(shè)的中點(diǎn)分別為，利用向量數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）在中，，由余弦定理；（2）設(shè)的中點(diǎn)分別為，則，同理.

30．（22·23·濰坊·三模）定義平面凸四邊形為平面上每個(gè)內(nèi)角度數(shù)都小于的四邊形．已知在平面凸四邊形中，，，，的平分線為，且．(1)求的面積；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線定理可得出，利用余弦定理可求得、的長，分析可知為直角三角形，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可得出，求出的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得長的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意可得，在中，的平分線為，且，所以，，則，由余弦定理得，，即，所以，，，則，為直角三角形，故.（2）解：在平面凸四邊形中，，則，由（1）可得，，，在中，由正弦定理可得，所以，，又因?yàn)?，且，所以，則，所以的取值范圍是．31．（22·23·山東·二模）在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，已知．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）分析可得，，，求出角的取值范圍，由正弦定理可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：由結(jié)合正弦定理可得：，則，因?yàn)?、，則，所以，，可得，故.（2）解：由可得，所以，，所以，，故，

在中，，，由正弦定理可得，所以，，因?yàn)?，則，所以，.所以，的取值范圍是.32．（22·23·菏澤·三模）已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，．(1)若，求出的值；(2)若為銳角三角形，，求邊長的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由立方差公式及余弦定理求出，由將弦化切，利用兩角和的正弦公式求出，從而求出，最后根據(jù)兩角差的余弦公式計(jì)算可得；（2）由正弦定理得到，再轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻?，即，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，且，所以，所以，解得，又，由正弦定理，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即邊長的取值范圍為.33．（22·23·棗莊·三模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理化簡已知等式可得，結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值；（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【詳解】（1）由余弦定理知，則所以，所以，則又因?yàn)?，所以，整理得，在中，，所以．?）由（1）知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為．34．（22·23下·襄陽·三模）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且.(1)求角的大??；(2)若的外接圓半徑為1，且的外心滿足，，求的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角互化化簡，再由三角恒等變換公式即可得到結(jié)果；（2）由題意可得，再結(jié)合平面向量的模長計(jì)算公式，將式子兩邊平方，再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由及正弦定理，得即，,因?yàn)樗?，?由于，所以，.（2）∵，∴.由，得平方，得，∴解得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，此時(shí)為正三角形）故為正三角形時(shí)，取最大值2.35．（22·23下·武漢·三模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角A；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義及正弦定理得，.再結(jié)合三角形的性質(zhì)建立方程求解即可；（2）根據(jù)正弦定理及面積公式直接求解