2024-2025學年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟烏蘭浩特市高二上冊第一次月考數(shù)學檢測試題（含解析）

2024-2025學年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟烏蘭浩特市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中：只有一項是符合題目要求的.1.若直線方程為，則此直線必不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中,正確的命題是（

）A.若,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則4.若向量是空間中一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設(shè)向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（）A. B.C. D.5.已知直線經(jīng)過點，且法向量，則的方程為（）A. B.C. D.6.已知兩條直線，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點，（），且，則（）A. B. C. D.8.如圖，在棱長為的正方體中，點是左側(cè)面上的一個動點，滿足，則與的夾角的最大值為（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.過定點C.若，則或 D.若，則10.若平面，的法向量分別是，，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（）A. B.C.與為相交直線 D.在上的投影向量為11.如圖，球與棱長為2的正方體的六個面都相切，分別為棱的中點，為正方形的中心，則（）A.球與該正方體的體積之比為B.球與該正方體的表面積之比為C.直線被球截得線段的長度為D.過三點的正方體的截面與球的球面的交線長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過點，則直線的一般式方程為__________.13.在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線距離為__________.14.直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點，則的最大值為__________四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求符合下列條件的直線方程：（1）直線過點，且斜率為；（2）直線過點，且橫截距為縱截距的兩倍.16.如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點，連接DE．（1）計算DE的長；（2）求點O到平面ABC的距離．17.如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點，，，．（1）求證：平面平面（2）求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．18.如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點．（1）在上是否存在點P，使直線平面，若存在，請確定點P的位置并給出證明，若不存在，請說明理由；（2）若（1）中點P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．19.在空間直角坐標系中，已知向量，點.若直線以為方向向量且經(jīng)過點，則直線的標準式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點，則平面的點法式方程表示為.（1）已知直線的標準式方程為，平面的點法式方程可表示為，求直線與平面所成角的余弦值；（2）已知平面的點法式方程可表示為，平面外一點，點到平面的距離；（3）若集合，記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積.2024-2025學年內(nèi)蒙古自治區(qū)興安盟烏蘭浩特市高二上學期第一次月考數(shù)學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中：只有一項是符合題目要求的.1.若直線的方程為，則此直線必不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】由條件判斷直線的斜率和縱截距的正負，結(jié)合圖象分析即得.【詳解】由可得，，即直線的斜率為負數(shù)，在軸上的截距為負數(shù)，故直線經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)過第一象限.故選：A.2.在軸與軸上截距分別為的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意得出直線經(jīng)過的點，利用直線斜率公式求得直線斜率，繼而得到直線的傾斜角.【詳解】依題意，直線經(jīng)過點，則直線的斜率為,故直線的傾斜角為.故選：D.3.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中,正確的命題是（

）A.若,,則B.若,,,則C.若,,,則D.若,,,則【正確答案】D【分析】根據(jù)直線和平面的平行和垂直的性質(zhì)定理對各選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:,,只有當在同一平面內(nèi)的時候,才有,故不正確;選項B:,,,則可相交、平行或異面,故不正確;選項C:,,,則還可能是相交平面,故不正確;選項D:兩個平面垂直時,與它們垂直的兩條直線一定是垂直的,所以若,,,則,正確.故選:D.4.若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設(shè)向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】借助待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標計算即可得.【詳解】由題意可得，設(shè)，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐標為.故選：A.5.已知直線經(jīng)過點，且法向量，則的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)直線的法向量求得直線的斜率，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意知直線的法向量是，可得其斜率為，所以直線的方程為，即.故選：C6.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當時，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.如圖，正三棱柱的棱長都是1，M是的中點，（），且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】建立適當?shù)目臻g直角坐標系，由共線向量表示出，又，結(jié)合已知可得，由此即可得解.【詳解】建立空間直角坐標系如圖，則，，，，，設(shè)，由，得，所以，，，所有，，因為，，所以，得.故選：C.8.如圖，在棱長為的正方體中，點是左側(cè)面上的一個動點，滿足，則與的夾角的最大值為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】先建立空間坐標系，再根據(jù)向量的坐標運算和向量的夾角公式計算即可.【詳解】以為坐標原點，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系,是左側(cè)面上的一個動點,設(shè)，其中，，又，設(shè)，設(shè)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且又且在上單調(diào)遞減，時取最大值與的夾角的最大值為故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.在軸上的截距為 B.過定點C.若，則或 D.若，則【正確答案】ABD【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.【詳解】由易知，故A正確；由，故B正確；若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；若兩直線垂直，則有，故D正確.故選：ABD10.若平面，的法向量分別是，，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則（）A. B.C.與為相交直線 D.在上的投影向量為【正確答案】AD【分析】由空間向量的坐標運算判斷線面的平行垂直關(guān)系，可判斷A、B、C選項；利用投影向量的計算公式計算可判斷D選項.【詳解】∵，∴，故A正確；∵，∴或，故B錯誤；設(shè)，則，此方程組無解，則與為相交直線或異面直線，故C錯誤；在上的投影向量為，故D正確.故選：AD11.如圖，球與棱長為2的正方體的六個面都相切，分別為棱的中點，為正方形的中心，則（）A.球與該正方體的體積之比為B.球與該正方體的表面積之比為C.直線被球截得的線段的長度為D.過三點的正方體的截面與球的球面的交線長為【正確答案】BC【分析】根據(jù)正方體和球的表面積和體積公式，可判定A錯誤；B正確；連接，取中點，得到，求得到的距離，結(jié)合圓的弦長公式，可判定C正確；以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，求得和平面的法向量，結(jié)合距離公式，得到過三點的正方體的截面恰好過球的球心，可判定D錯誤.【詳解】因為球與棱長為2的正方體的六個面都相切，對于A中，可得正方體的體積為，球的半徑為，體積為，球與該正方體的體積之比為，所以A不正確；對于B中，正方體的表面積為，球的表面積為，所以球與該正方體的表面積之比為，所以B正確；對于C中，連接，可得，再連接，直角中，可得，取中點，連接，則，可得，即點到的距離為，所以直線被球截得的線段的長度為，所以C正確；對于D中，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以，所以點到平面的距離為，可得過三點的正方體的截面恰好過球的球心，所以截面交線的周長為，所以D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線的傾斜角為，且這條直線經(jīng)過點，則直線的一般式方程為__________.【正確答案】或【分析】先由傾斜角求直線的斜率，然后寫出直線的點斜式方程，最后化為直線的一般式方程.【詳解】因為，且，則，所以直線斜率為，又因為直線經(jīng)過點，則直線的方程為，所以直線的一般式方程為或.故或.13.在空間直角坐標系中，已知三點，則點到直線的距離為__________.【正確答案】【分析】根據(jù)條件，求出，進而得出，再利用點到直線的距離的向量法即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，得到，所以點到直線的距離為，故答案為.14.直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點，則的最大值為__________【正確答案】4【分析】根據(jù)直線恒過定點求法求出兩直線恒過的定點，即的坐標，根據(jù)直線的方程計算得出兩直線垂直，即，即可得出，即可根據(jù)基本不等式得出答案.【詳解】直線化為，當，得，即直線恒過點，即點，直線化為，當，得，即直線恒過點，即點，且兩條直線滿足,,即，,,當且僅當時，等號成立，的最大值為4.故4.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求符合下列條件的直線方程：（1）直線過點，且斜率為；（2）直線過點，且橫截距為縱截距的兩倍.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）由直線的點斜式方程求解即可.（2）分截距為0和不為0兩種情況求解.【小問1詳解】因為直線過點，且斜率為，所以，化簡可得.【小問2詳解】當橫、縱截距都是0時，設(shè)直線的方程為.∵直線過點2,1，∴，即直線的方程為.當截距均不為0時，設(shè)直線的方程為.∵直線過點2,1，∴，解得，即直線方程.綜上，所求直線方程為或.16.如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點，連接DE．（1）計算DE的長；（2）求點O到平面ABC的距離．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用基底表示出向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求長度的方法即可求出；（2）由該幾何體特征可知，點O在平面ABC的射影為的中心，即可求出．【詳解】（1）因為四面體OABC的所有棱長都是1，所以該四面體為正四面體，，而且，所以，即，所以DE的長為．（2）因為四面體OABC為正四面體，所以點O在平面ABC的射影為的中心，的外接圓半徑為，所以點O到平面ABC的距離為．17.如圖，在四棱錐中平面ABCD，E為PD的中點，，，．（1）求證：平面平面（2）求直線EC與平面PAC所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見詳解；（2）.【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為證明平面，利用已知，結(jié)合勾股定理即可得證；（2）利用（1）中結(jié)論判斷線面角，結(jié)合直角三角形性質(zhì)將所求轉(zhuǎn)化為即可.【小問1詳解】因為平面，平面，所以，由題知，，，所以，由余弦定理得，所以，又，所以，即，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，在平面內(nèi)的射影為，所以在平面內(nèi)的射影也為，故直線EC與平面PAC所成角即為.因為，所以，所以，又因為E為PD的中點，所以，所以，所以.18.如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點．（1）在上是否存在點P，使直線平面，若存在，請確定點P的位置并給出證明，若不存在，請說明理由；（2）若（1）中點P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【正確答案】（1）存在，P是中點，證明見解析；（2）．【分析】（1）利用面面平行和線面平行確定點的位置，然后利用線面平行判定定理證明即可；（2）過點D作，以D為坐標原點，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)面面夾角的向量公式求解可得.【小問1詳解】存在，證明如下：在四棱柱中，因為平面平面，所以可在平面內(nèi)作，由平面幾何知識可證，所以，可知P是中點，因為平面，所以平面．即存在線段的中點，滿足題設(shè)條件．滿足條件的點只有一個，證明如下：當平面時，因為平面，所以過作平行于CQ的直線既在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，而在平面內(nèi)過只能作一條直線，故滿足條件的點P只有唯一一個．所以，有且只有的中點為滿足條件的點P，使直線平面．【小問2詳解】過點