浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

鎮(zhèn)海中學(xué)2023學(xué)年第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卷上．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．，，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)（，），則函數(shù)的單調(diào)性（）A．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a無關(guān)，且與b有關(guān)C．與a有關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，且與b無關(guān)4．已知等差數(shù)列，則是成立的（）條件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要5．已知直線a，m，n，l，且m，n為異面直線，m⊥平面，n⊥平面．若l滿足l⊥m，l⊥n，則下列說法中正確的是（）A． B．C．若，則 D．6．已知，是單位向量，且它們的夾角是60°．若，，且，則（）A．2 B． C．2或 D．3或7．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B．C． D．8．設(shè)實數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實數(shù)k的最大值為（）A．12 B．24 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．10．已知，的定義域為R，且（），，若為奇函數(shù)，則（）A．關(guān)于對稱 B．為奇函數(shù) C． D．為偶函數(shù)11．已知O為坐標(biāo)原點，曲線：，，為曲線上動點，則（）A．曲線關(guān)于y軸對稱 B．曲線的圖象具有3條對稱軸C． D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．則角．13．鎮(zhèn)海中學(xué)舉辦大觀紅樓知識競賽，該比賽為擂臺賽，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，兩人輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝，挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是，每次答題互相獨立，則挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為．14．在四面體P—ABC中，BP⊥PC，，若，則四面體P—ABC體積的最大值是，它的外接球表面積的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且．（1）求A；（2）若△ABC的外接圓半徑為2，且，求△ABC的面積．16．（15分）已知為正項數(shù)列的前n項的乘積，且，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列為遞增數(shù)列，求實數(shù)k的取值范圍；17．（15分）某款游戲預(yù)推出一項皮膚抽卡活動，玩家每次抽卡需要花費10元，現(xiàn)有以下兩種方案．方案一：沒有保底機制，每次抽卡抽中新皮膚的概率為；方案二：每次抽卡抽中新皮膚的概率為，若連續(xù)99次未抽中，則第100次必中新皮膚．已知，玩家按照一、二兩種方案進行抽卡，首次抽中新皮膚時的累計花費為X，Y（元）．（1）求X，Y的分布列；（2）求；（3）若，根據(jù)花費的均值從游戲策劃角度選擇收益較高的方案．：．18．（17分）已知橢圓C：（，）的左、右焦點分別為、，離心率為，經(jīng)過點且傾斜角為（）的直線l與橢圓交于A、B兩點（其中點A在x軸上方），的周長為8．（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求三棱錐的體積，②若，異面直線和所成角的余弦值；③是否存在（），使得折疊后的周長為與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．（17分）在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長為△s，當(dāng)動點從A沿曲線段運動到B點時，A點的切線也隨著轉(zhuǎn)動到B點的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長固定時，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時，弧長越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即△s越小，K就越能精確刻畫曲線C在點A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；（2）求橢圓在處的曲率；（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．

參考答案答案：C B D B C D C B9．BC 10．ACD 11．ABC12．60° 13．1/3 14． 11．【解析】將x用替換代入方程，方程不變，故曲線關(guān)于y軸對稱，A正確；令，，代入整理可得，其中，為點所在終邊對應(yīng)的角度，且，因為，故，因為曲線關(guān)于y軸對稱，故對應(yīng)的圖象關(guān)于軸（即y軸對稱）對稱，注意到關(guān)于的周期為，故曲線也關(guān)于和（即）對稱，故B選項正確；，C正確；，D錯誤；綜上，選ABC．C另解：，該方程關(guān)于有解，由實根分布可知．D另解：，解得．15．解：（1）由已知，即，由正弦定理得，即，整理得，即，又，故；（2）因為，所以，則，即，又，所以．因為△ABC的外接圓半徑，所以由正弦定理可得，所以，所以．16．（1）（2）由恒成立得17．【解析】（1），，．（2）；（3）；，因為，故選擇方案二．18．解：（1）由橢圓的定義知：，，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準方程為；（2）①由直線l：與，聯(lián)立求得，（因為點A在x軸上方）以及，，，②由，，故，O為坐標(biāo)原點，折疊后原y軸負半軸，原x軸，原y軸正半軸所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．記異面直線和所成角為，則；②設(shè)折疊前，，折疊后A，B在新圖形中對應(yīng)點記為A＇，B＇，，，將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，，在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原x軸仍然為x軸，原y軸正半軸為y軸，原y軸負半軸為z軸）；，，所以，（?。┯郑?，（ⅱ