浙江省全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十一

在國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題一

1、已知函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足f(2-x)=f(2+x),f(5+x)=f(5-x),且f(0)=0,

則函數(shù)f(x)在上至少有個(gè)零點(diǎn)。

2、已知關(guān)于x的不等式lx+3l+lx-5l<a的解集非空，則a的取值范圍是。

3、已知P是直線y=x+l上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x-3)2+(y+3)?=1與圓(x+1)2+(y-4)

2=1上的點(diǎn)，則IPMI-IPNI的最大值為。

343437r34

4、將四個(gè)數(shù)sin(cos——),cos(sin--),cos(cos—),sin(sin—)按從小到大的順序

8888

排列，結(jié)果是。

5、已知多項(xiàng)式的展開式儼^+苫繳'2戶”=旬+。/+。2/+—+。,1，

mila\a2，“4"54〃ai“8*......一

則n為丁彳+n「-"-耳-萬+--------------°

6、正四棱錐P-ABCD中，斜高為1,側(cè)面與底面成60°角，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，

則底面中心0到截面PEF的距離為。

7、已知方程X3-7X2+1=0的最大實(shí)根為t,則「叫被7除的余數(shù)為。

8、設(shè)n23,Sn是集合｛1,2,3,……，n｝的具有下面性質(zhì)的子集的個(gè)數(shù)：這些子集至少為二

元子集，同一子集中的任兩個(gè)元素的差的絕對(duì)值大于1，則$0的值為。

aa+a

9、數(shù)列｛%｝定義為：&=0，%=的=1，n+t=nn-\(n2N*),求出噂與“1998的公約

數(shù)。

10^已知定點(diǎn)M(-1,2),直線小y=a(x+l),曲線C：y=Jx2+l,與C交于A、B兩點(diǎn),

N為線段AB的中點(diǎn)，直線/2經(jīng)過M、N兩點(diǎn),且在x軸上的截距為m,將m表示為a的函

數(shù)m=f(a),設(shè)g(m)=----,求g(f(a))的值域。

m+1

11＞二次函數(shù)f(x)=ax?+bx+c滿足條件：

③當(dāng)xW(0,2)時(shí)，f(x)W

①f(-1)=0；②當(dāng)xWR時(shí)，f(x)2x；(%+1

4

若X1、X2、x3S(0,2),且■^?+[*+'?=3,求f(x()f(x2)f(x3)的最小值。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題二

1、方程=28$、的解是。

2、從數(shù)字1,2,3,4,5中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))，組成一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)

的各位數(shù)字之和等于9的概率為。

3、從1至144的自然數(shù)中任意取出3個(gè)數(shù)構(gòu)成以整數(shù)為公比的遞增等比數(shù)列，不同的取法種

數(shù)是o

4、已知a、b為正實(shí)數(shù),。為參變量，則滿足xsin。-ycos。=Jx?+燈和

星吸+=㈣=一二的點(diǎn)(x,y)的軌跡方程是____________o

erbx+y

5、整數(shù)(1+V2)，，，)O的個(gè)位數(shù)字是。

6、若實(shí)數(shù)。使得不等式|2x-a+|3x-2HNa2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

_____O

7、設(shè)函數(shù)f(x)：RfR,且滿足：對(duì)任意的x,y￡R,f(x)f(y)=f(2xy+3)+3f(x+y)

-3f(x)+6x,則f(x)=o

8、一棱長(zhǎng)為1的正方體封閉盒子中放有一半徑為r的小球(2rVl),若將盒子任意翻動(dòng)，則

小球達(dá)不到的空間的體積是o

2

9、已知數(shù)列｛為｝滿足。產(chǎn)的=7，a,,.,an+1=a?+2009(n22),試求々“。+“2期的值。

_^2010^2009_

c

10、已知。i，a2,a3,b、,b2,/￡N*,且q+的+的=4+4+4，%a2h=瓦b2b3,

%a2+%。3+a2a3*瓦b2+ab?+b2b3,求max{%,a2,a3,4,b2,&}的最小值。

11、已知橢圓*■+親■=1(。＞b〉0)的焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓的右焦點(diǎn)F(c,0)作互相垂

直的弦AC和BD,若四邊形ABCD的面積的取值范圍是，求橢圓的方程。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題三

1、已知sin（a+20）=3sina,且B#竺，a+B#〃萬+工，n、k￡Z,則3n（。+夕）=____。

22tanP

2、已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是4SBC的垂心,SA=1,

則此三棱錐的體積的最大值是o

3、若（尸+—2）。=a。+。］（x—1）+—1）+…+a1］（x—1）,

貝！J（q+3%+…+11%］I—（2。）+4%+??,+1（I。］。=。

4、斜率為1的直線/與橢圓/+匕=1交于A、B兩點(diǎn)，P為線段AB上一點(diǎn)，且IAPI=2IPBI,

4

則點(diǎn)P的軌跡方程是O

r\

’2+x,x>0

5、已知r（x）=h，記/（x）=r（/"T（x）i〃=2,3「??，用表示不超過x的最大

—,x=0

111

整數(shù)，則------+—+???+------

i+/'（o）i+/2（o）i+r（o）

6、已知/（a,。）=a；+2asin6>+2,則6）的最大值為

a+2。cos。+2

22

7、已知不等式log,［\lx+ax+5+l）-log5（x+ax+6）+log?3>0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,

則實(shí)數(shù)a的值為。

卜2+22+…+

8、設(shè)正整數(shù)n22,則使得J---------------為整數(shù)的最小正整數(shù)n為。

Vn

9、設(shè)邊長(zhǎng)為1的正AABC的邊BC上的n等分點(diǎn)沿點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向依次為口，P2,

Pn-i9若Sn=AB?APy+APy?A舄+....+APn_y,AC，求SnO

10、已知橢圓E：=+5=l(a>b〉0),A、B是上半橢圓E上的兩點(diǎn)。

ab

(1)求證：橢圓E上點(diǎn)A(X”力)處的切線方程是誓+綽=1；

a~h2

(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P,OP交橢圓E于點(diǎn)Q。求證：直線OP經(jīng)過弦AB的

中點(diǎn)，且Q點(diǎn)處的切線平行于弦AB。

11、已知函數(shù)/(x)=ln(x+02

+—g(x)=lnx<>

X

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)如果關(guān)于x的方程g(x)=gx+m有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值集合；

(3)是否存在正數(shù)k,使得關(guān)于x的方程f(x)=kg(x)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？如果存在,

求k滿足的條件；如果不存在，說明理由。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題四

1、點(diǎn)O為^ABC的內(nèi)心，AB=6,BC=7,CA=8,非零實(shí)數(shù)x、y、z滿足

xOA+yOB+zOC=0,則x：y：z=。

2、已知正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AB、AA|的中點(diǎn),則平面CEBi與平面DAF

所成的二面角的正弦值為。

TT

3、函數(shù)y=sin(§+x)-sin3x的最大值為。

22

4、過橢圓二+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成1：2的兩段，則此直線的斜率為。

34

5、若方程優(yōu)=x(a〉0,aw1)有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

6、設(shè)m、n為正整數(shù)，若存在正整數(shù)k,使log2m,log2n和log2k這三個(gè)數(shù)能組成一個(gè)三角形

的三邊長(zhǎng)，則稱k為一個(gè)“好數(shù)”?，F(xiàn)已知恰存在100個(gè)“好數(shù)”k,則mn的最大值為o

37911

7、已知正項(xiàng)數(shù)列｛?！埃凉M足為=士，——v一一T，則數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

2(〃+2)〃

Sn=o

8、設(shè)集合S=｛1,2,3,4,……,15｝,A=｛a,b,c｝是S的子集，且lWaVb〈cW15,

c-bW6,則滿足條件的子集A的個(gè)數(shù)為o

9、設(shè)。為實(shí)數(shù)，記函數(shù)/(x)=aJl+Jl+r+Jl-x的最大值為g(\),求g(〃)及

g(a)的值域。

10、設(shè)點(diǎn)P(xo,y0)在直線x=m(y#±m(xù),0<m<l)上，過點(diǎn)P作雙曲線x2-y2=l的兩條

切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B,定點(diǎn)

(1)求證：三點(diǎn)A、B共線；

(2)過點(diǎn)A作直線x=y的垂線，垂足為N,試求aAMN的重心G所在曲線的方程。

+,

11、在數(shù)歹U{%}中，%=2,an+1=/h?+Z+(2-2)2",其中2>0,問是否存在kGN*,

使得4包4&±L對(duì)任意nGN*均成立？證明你的結(jié)論。

anak

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題五

1、已知函數(shù)/(x)=ox2+bx+c,對(duì)于任意XG,恒有|/(》一2)區(qū)2,則XG時(shí)12ax+2/?-44

的范圍是。

2、已知拋物線y2=4x及其上一點(diǎn)P,焦點(diǎn)F(l,0)和A(5,2后)，則|尸產(chǎn)「+歸1的最

小值為?

3、正三棱柱ABC-A|B|G中，其高與底面邊長(zhǎng)相等，AB的中點(diǎn)為M,AiG的中點(diǎn)為N,則

過Bi、M、N三點(diǎn)的截面將三棱柱分成兩部分的體積之比的值為?

“2_"

4、已知數(shù)列｛%｝滿足%=1,4=2,且n己2時(shí),2nan_2-(n-1)an=------，

a

n-i

貝Ia6a7-o

x2-y2=2(xz+yz+x+y)

5、方程組，>2一z?=2(yx+zx+y+z)的解的個(gè)數(shù)是。

z2-無2=2(zy+xy+z+x)

6、鈍角AABC中，(2sinC-l)sin2A=sin2C-sin2B,則sin(A-B)=。

7、￡4c：的值為。

k=0

8、方程Y+(2。-3)盯-=0表示的兩條直線的夾角的取值范圍是

9、x、y、z、,B.tanx+tany+tanz+tanw=1,

2222

求證：sinx+siny+sinz+sinw>—0

——-----(0<pVl且pW,)，求lim瘋"的值。

10、數(shù)列｛凡｝滿足:。I=1,an+i

pan+1-p2"I-

11、已知兩定點(diǎn)A(I,0),B(0,-2),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足反=。方+/無，其

22

中a、pER,且a-2B=l,若點(diǎn)C的軌跡與雙曲線3■一2r=1(。＞0,匕＞0)相交于M、N

ab

兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若雙曲線的離心率不大于百，求a的取值范圍。

2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題六

,ln（x2-3）

1、lim—x----L=___________o

x-2x-2

2、￡=（1,血），彳=若正數(shù)k和t滿足向量7=1+（產(chǎn)+15與歐=—女7+；彳垂

直，則當(dāng)k取最小值時(shí)，t=。

3、在AABC中，已知AB=?6,cosB=—,AC邊上的中線BD=JF,則sinA=

36

4、設(shè)a、beR,關(guān)于x的方程（x2-ax+l）（x2-bx+l）=0的4個(gè)實(shí)根構(gòu)成以q為公比的等比數(shù)

列，若qG-,2,則ab的取值范圍是。

5、已知非等邊三角形aABC中，以點(diǎn)B、C為焦點(diǎn)，過A作一支雙曲線，以點(diǎn)C、A為焦點(diǎn),

過B作一支雙曲線，以點(diǎn)A、B為焦點(diǎn)，過C作一?支雙曲線，則這三支雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)

數(shù)為。

6、?個(gè)五位數(shù)是凸數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)。<b<c>d>e,則凸數(shù)的個(gè)數(shù)為。

7、一個(gè)球外接于四面體ABCD,另一個(gè)半徑為1的球與平面ABC相切，并且兩球內(nèi)切于點(diǎn)D,

4V2

若AD=3,cosZBAC=-,cosZBAD=cosZCAD=—,則四面體ABCD的體積為_______。

52

8、直角坐標(biāo)平面內(nèi)直線即=以+2006!+6中的。、b取自（1+4）°°°展開式中x的整數(shù)次

寨前的系數(shù)，則各組（。，匕）可確定的不同直線的條數(shù)為。

2

9、設(shè)X］、X2、X3G,X1X2X3=,試求X1X2X3的最大值。

10、一種排卡游戲規(guī)則如下：將寫有1,2,3,4,5,6,7,8,9的9張卡片隨機(jī)地排成一

行，若第一張卡片（左起）上的標(biāo)數(shù)為k,則將前k張卡片逆序排過來稱為一次操作，無法操

作時(shí)（即第一張卡片上為“1”）游戲停止。如果一個(gè)排列無法操作，且恰好由唯一的另一個(gè)

排列經(jīng)過1次操作得到，則這個(gè)排列稱為“二次終止排列”，在所有可能的排列中，求“二次

終止排列”出現(xiàn)的概率。

11、已知橢圓C1：=+與=1(。>6>0),動(dòng)圓C2：x1+y2=R',其中b<R<。，若A

ab

是橢圓G上的動(dòng)點(diǎn)，B是動(dòng)圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，且使AB與橢圓C,和動(dòng)圓C2均相切，求A、B

兩點(diǎn)的距離IABI的最大值。

2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題七

X

1、已知x>%>0,攵為常數(shù)，則/(%)二——的最小值是

x-k

2、已知數(shù)列｛a〃｝滿足(n+1)an+i=an+n,且。[=2,則。

3、方程組[應(yīng)-2)"=3共有_______組整數(shù)解。

[xt+yz=1

4、已知Q是銳角，P是鈍角，且sec(a-2B),seca,sec(a+2P)成等差數(shù)列，則

cosa

-------=_____________o

COS0

5、已知正方體ABCD-A]B|GD|的棱長(zhǎng)為1,在對(duì)角線AC上取一點(diǎn)P,過P、A|、B1三點(diǎn)作

平面與底面所成的二面角為a,過P、B|、G三點(diǎn)作平面與底面所成的二面角為B,

則(a+B)min=。

6、已知集合A=｛zlz2"T=2,zGC,ndN,n22｝,在復(fù)平面上，以A中的復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

頂點(diǎn)可構(gòu)成f(n)個(gè)直角三角形，則f(n)=.

7、平面上整點(diǎn)到直線y=+的距離的最小值為o

2

8、數(shù)列｛｝定義如下：a,=2010,---,nGN,n22,則lima“=.

9、設(shè)可，0A2,……，西是平面上的n個(gè)向量，且滿足衛(wèi)|西卜1。

求證：在上述n個(gè)向量中必可找到若干個(gè)向量，它們的和的模不小于工。

4

10、求所有的a°eR，使得山區(qū)川=2"—3a"(nCN)所確定的數(shù)列凡是遞增的。

11、在拋物線y2=2Px(p>0)的對(duì)稱軸的正方向是否存在一點(diǎn)K,使得對(duì)于經(jīng)過點(diǎn)K的拋物

線的任意一條弦AB,總有」y為定值？證明你的結(jié)論。

|心『

2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題八

1、已知函數(shù)f(x)=a/+bx+c(a、b、。6口且。*0),滿足條件：對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有

f(x)22x,且當(dāng)0<xV2時(shí)，總有f(x)W&業(yè)成立。則f(-l)的取值范圍是o

2

2、已知。、b、ceR+,Rabc=8,則。1082。+匕1。82。+。1。82。的最小值為

2x

22

3、過圓O：x+y=-上任意一點(diǎn)P(xo,yo)(xoyo^O),引圓O的切線1,1與橢圓另+產(chǎn)=[

32

交于A、B兩點(diǎn)，則NAOB=o

4、多項(xiàng)式(1+X+/+……+%必丫的展開式在合并同類項(xiàng)后，的系數(shù)為。

5、一只小球放入一長(zhǎng)方體容器內(nèi)，且與共點(diǎn)的三個(gè)面相接觸，小球上有一點(diǎn)到這三個(gè)面的距

離分別是3、3、6,則這只小球的半徑是。

6、設(shè)4=1,an+i=1+—(n&N*),則lim^==_________

annf841tl

3”萬

7、已知f(x)=-----------,記=f\,則4+。］+%+…+”2009

cosx+cos2x

8、設(shè)集合A={1,2,3,4,5,6},f是A到A上的---映射，若對(duì)任意的x￡A,

有f(f(f(x)))=x，則這樣的映射有個(gè)。

22

9、A、B是橢圓C：二+乙=1的短軸兩端點(diǎn)，P是橢圓C上任意一點(diǎn)(異于C的頂點(diǎn)),

43

PA、PB分別與x軸交于M、N兩點(diǎn),記過M、N兩點(diǎn)的圓為E。過O作圓E的一條切線,

切點(diǎn)為F,求點(diǎn)F的軌跡方程。

10、定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以卜3個(gè)條件：

①x>0時(shí)，f(x)>0；②f(1)=2；③對(duì)任意的m、nWR都有f(m+n)=f(m)+f(n)?

設(shè)集合人={(羽+(3/)+/(4力v24},8={卜%0/?)+/(3)=0},

(x,"(x)=g/(產(chǎn))+/(辦

c=《o若AABW①且ACCW中，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

1。

II、已知數(shù)列｛4“｝的首項(xiàng)%=-,an+l=—(〃eN)。

22an+1

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求證:a￡+qC+…+%瑪2、一

2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題九

1、設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0EI寸，f(x)是單調(diào)函數(shù)，貝IJ滿足f(x)=/［三g)的

所有x之和為。

2、ZiABC的三邊長(zhǎng)a、b、c均為整數(shù)，且a+c<3b,若b為常數(shù),則滿足條件的三角形

有個(gè)。(結(jié)果用b表示)

3、若實(shí)數(shù)x,y,z滿足+y+z=1，則xy+3yz的最大值為。

4、設(shè)數(shù)列｛?！埃凉M足女一ln〃，若出和的兩項(xiàng)中至少有一項(xiàng)是數(shù)列｛4｝的最小值，則實(shí)

數(shù)k的取值范圍是o

5、在空間四邊形ABCD中，AB=J7,BC=4,CD=11,AD=12,則正?前=。

6、已知拋物線X?—圭)和直線x-y+n+l=O,n依次取1,2,3,……時(shí)，直線截拋物

線所得的弦長(zhǎng)為\AnBn\,記an=二,S”為｛?！埃那皀項(xiàng)和，則S2oio=。

冗

7、函數(shù)y=sin4xcosx+sinxcos4x,0<x<—,的最大值為。

8、已知f(x)=2010,-2011+2010-x,設(shè)乂、m分別為f(x)的最大值和最小

2010'+1fc2010+x

值，則M+m=o

9、數(shù)列｛g｝定義如下：q=l,3“+1=)1+。；數(shù)列｛2,｝定義為a=2"?！?。

(1)求｛?！埃耐?xiàng)公式;

7T

(2)證明對(duì)一切ndN*,有5<b“W2。

TTx=l+8cos。

10、過點(diǎn)p(-1,-1)且傾斜角為一的直線交曲線G：L（。為參數(shù)）于A、B

3y=4v2sin^

2

兩點(diǎn)，Q為圓C2：(x-1-8cos^>)+(y-4A/2sin=2上的一點(diǎn)，由點(diǎn)Q向圓C3：

々一1)2+丁=8引兩條不同的切線，分別切圓C3于M、N。

(I)求點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積；

(2)求西?麗的最小值。

11、證明：任給4個(gè)兩兩不同且絕對(duì)值小于1的實(shí)數(shù)，其中必存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x、y滿足

0<-丁-yj]―/<等。

2010全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題十

23

1、方程logVx+log,x+log4x+log8x+logl6=40的解是

2、設(shè)數(shù)列｛%｝滿足3a用+%=4,且％=9,前n項(xiàng)和為S”則滿足不等式⑹“-〃-6|〈茂

的最小正整數(shù)n是?

3、已知。、b-CGR+,則max，。,26,3。，7^=卜］勺最小值為。

1AC

4、已知四面體ABCD的體積為一，且滿足NACB=45°,AD+BC+——=3,則CD=______。

6V2

11「21「9

5、用表示不超過x的最大整數(shù)，若實(shí)數(shù)r滿足r+—+r+—+…+r+—=122,則

6、過橢圓工+二=1內(nèi)一點(diǎn)(后行)作兩條弦AB和CD,過A、B作橢圓的兩切線交于E,

過C、D作橢圓的兩切線交于F,則直線EF的方程是。

7、甲和乙輪流擲一個(gè)均勻的硬幣，誰先擲出正面誰獲勝，他們玩了n次，而目前一場(chǎng)的輸家

下一場(chǎng)先擲，若甲第一場(chǎng)先擲，則甲贏得第5場(chǎng)的概率為.

8、已知函數(shù)f(x)=log,(ax2—x+；)在上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

9、設(shè)函數(shù)/(外=羽工一疝，其中人＞0。

(1)求人的取值范圍，使得函數(shù)f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

解不等式f(2x+l)

2

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十一

1、已知定義在閉區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)：g(x)=2X3+5X2+4X,f(x)在的值域?yàn)?。若?duì)于任意的

X|G,總存在X2W,使得g(X2)=f(X|)成立,則k的取值范圍是O

2、設(shè)周期函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且=若f(1)>-2,

3

f(2009)=m——,則m的取值范圍是。

m

3、已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是一1,若對(duì)于所有的正整數(shù)n,恒有不等式

cos------sin—>3mcos----------3msin-------成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

ana?33

4、一座31層高的辦公大樓，最下層叫0層，最上一層叫30層。一部載人電梯在工作時(shí)間開

始時(shí)在第。層，開了一段時(shí)間，電梯停在第11層，此時(shí)，有一段時(shí)間在各層均沒有人上下，

電梯服務(wù)員有了一些休息時(shí)間，她在思索：“如果電梯把下的樓層都改為上的樓層，此時(shí)電梯

會(huì)停在哪一層呢？"她有四個(gè)答案：

①可能停在第30層；②可能停在第28層；③不可能停在第30層；④不可能停在第29層。

這位電梯服務(wù)員的正確答案是。

5、一個(gè)半徑為26-2的球放在桌面匕桌面上的一點(diǎn)Ai的正上方有一個(gè)光源A,AAI與球

相切，AA,=4,球在桌面上的投影是一個(gè)橢圓，則該橢圓的離心率等于。

2—?—?—?

6、已知0為AABC的外心，AB=2a,AC=-,ZBAC=120°,若40=a46+B4C，則

a

a+B的最小值等于o

7、若nWN*,則1+f(-咪C,"+號(hào)=----。

k=\(1+nx)

8、定義/(〃)=￡，］，其中表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，貝”(2010)1(2009)=。

9、已知點(diǎn)P?(an,bn)滿足a“+i=anbn+l,bn+i-bn=4a^bll+l,且點(diǎn)P,(1,-1)?設(shè)對(duì)任

意的nCN*點(diǎn)P”均在同一條直線L上。

⑵若對(duì)任意nGN*,不等式在(1+《)文———成立，求實(shí)數(shù)k的最大值。

10、已知拋物線x?=4y,過定點(diǎn)Mo(0,m)(m>0)的直線L交拋物線于點(diǎn)A、B,當(dāng)m>2

時(shí)，在拋物線上存在不同的兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線L對(duì)稱。問弦長(zhǎng)IPQI中是否存在最大值？若存

在，求其最大值(用m表示)若不存在，請(qǐng)說明理由。

11、已知曲線C：>=6衣卜>0)。點(diǎn)A、B是x軸上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，過A、B作x

軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P、Q,過點(diǎn)P、Q作曲線C的切線，P、Q為切點(diǎn)。證明：兩條切線

的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是正數(shù)。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十二

1、若滿足7](a+b+c)的奇三位數(shù)次的個(gè)數(shù)為S,偶三位數(shù)赤的個(gè)數(shù)為T,則S-T=o

2、正三棱錐V-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面邊長(zhǎng)為2,過底邊AB的截面交側(cè)棱VC于點(diǎn)D,則

截面ABD面積的最小值是。

3、使函數(shù)y=-4x+3“？TT取得最小值的正數(shù)x=。

4、cos550cos65°sin85°=。

5、若經(jīng)過點(diǎn)pf-3,-的直線L被圓x2+y2=25所截得的弦長(zhǎng)為8,則直線L的方程為。

6、已知正數(shù)x、y、z滿足9x?+12y2+5z2=l,則3x+6y+5z的最大值是。

7、將集合M=｛1,2,3,……，24｝分成A、B、C、D四個(gè)六元子集，使得每個(gè)子集的元素之

和S(ASS(B)、S(C)、S(D)均為平方數(shù)。記S(A)=a2,S(B)=b2,S(C)=c2,S

(D)=d2,其中a、c>dGN*,貝ija+b+c+d=?

8、將小于100的九個(gè)互異的正整數(shù)分別填入一個(gè)3X3的

方格表中，使得表格的每行三數(shù)、每列三數(shù)都成為勾股數(shù)組。

在右圖中填出你的填法。

9、數(shù)列｛a.｝滿足％=2,出=7，a”+2=3a“+i+2a”。

證明對(duì)任意的nWN*,%,一可表為兩個(gè)正整數(shù)的平方和。

22

10、給定橢同I----F--=1以及點(diǎn)D(10,0)(>

16925

(1)求r的值，使得對(duì)于橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)A(-13,0),存在橢圓上的另兩點(diǎn)Mi、M2,滿足

以D為圓心、r為半徑的圓D是△AM1M2的內(nèi)切圓；

(2)證明對(duì)于橢圓短軸頂點(diǎn)C(0,5),也存在橢圓上的另兩點(diǎn)N|、N2,使得圓D是△ANN?

的內(nèi)切圓，并確定此時(shí)直線NIN2的方程。

11、?平面與一正四棱錐V-ABCD的五個(gè)面都相交，得到一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正五邊形截面，試

求正四棱錐的體積。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十三

1、設(shè)S=[J1]+卜歷]+卜8]+…+[V20W],其中表示不超過X的最大整數(shù)，則[fs\=0

2、設(shè)x>-l,y=在數(shù)軸上若y比X更接近血，則X的取值范圍是。

x+1

3、在正三棱臺(tái)ABC-A|B|Ci中，上底面△AIBCI面積為12,下底面4ABC面積為27,若底

邊BC到截面ABCi的距離等于三棱臺(tái)的高，則AAB|G的面枳為.

4、設(shè)正數(shù)仇c滿足3/+2/+6。3=6,則2a+3/7+c的最大值為。

nn

5、在極坐標(biāo)平面內(nèi)，曲線P=l+cos|■與夕=COS,（P，9GR）的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是0

CSXCS

6、已知?dú)w,E，Zi=°2+°i<且匕|=血，若Z2=x+yi,當(dāng)x、y

V2V2Jsinysinx

變化時(shí)，H-Z2I的最大值與最小值之積為。

7、設(shè)乂={1,2,3,4,5},從M中任取四個(gè)數(shù)（允許相同）作積，則不同的積的值有

個(gè)。

8、從等差數(shù)列2,5,8,……中取k項(xiàng)，使其倒數(shù)之和為1,則k的最小值是。

9、設(shè)q=3,+求{4}的通項(xiàng)公式。

an-an-\

10、設(shè)4，。2，。3,…，。2010￡[-2,2],且q+。2+。3+?一+。2010=0，

試求+生^+UyH-----F^201Q3的最大值。

11、P]、P2是橢圓，+方=1（。>8>0）上任意不同的兩個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在以線段PF2為直徑

ab

的圓上。證明：|OP|4卜+/。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十四

1、方程萬(X+工一1]=2x—1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為。

2、已知函數(shù)/(x)=av(優(yōu)一/+3)(。>0且在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是o

3、已知x,y,z,te(0,1),且x+y+z+t=2,則xy+yz+zt+tx的取值范圍是。

4、將M={1,2,3,9}中的任意三個(gè)互不相同的數(shù)作乘積，則所有這些乘積的和S為

5、設(shè)數(shù)歹ij{4}滿足q=5,a,.=屋—2,neN*,則lim—四一=__________。

28aya2---an

6、設(shè)方程xZ3x-l=0的三個(gè)實(shí)根是X],X2,X3(X[VX2Vx3),則代數(shù)式(x3+x2)(x3-x2)-(x3-

XI)的值是?

7、棱長(zhǎng)為2的正方體在空間移動(dòng)，但始終保持點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，則點(diǎn)C1到

原點(diǎn)O的最遠(yuǎn)距離為。

一

8、在平面直角坐標(biāo)系中，定點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸匕過B的動(dòng)直線L交橢圓萬+>2=1于點(diǎn)

C、D,以CD為直徑的圓恒過x軸上方的定點(diǎn)A,則A的坐標(biāo)為.

9、一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球和5個(gè)白球，每次摸獎(jiǎng)是從袋中一次性摸出兩個(gè)球，若兩個(gè)球不

同色則中獎(jiǎng)。每次摸獎(jiǎng)后將球放回袋中。記三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為P。試問當(dāng)n為何

值時(shí)，P最大？并求出最大值。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十五

I、在銳角三角形ABC中，邊BC=2,ZB=2ZA,則邊AC的取值范圍是=

2、已知函數(shù)f(x)=x2+ax+4+@+b(xGR,x/0),若實(shí)數(shù)a、b使方程f(x)=O有

xx

實(shí)根，則a2+b2的最小值是。

3、已知每條棱長(zhǎng)都為3的直平行六面體ABCD-A|B|CQ|中，ZBAD=60°,長(zhǎng)為2的線段

MN的一個(gè)端點(diǎn)M在DD|上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，則MN中點(diǎn)P的軌

跡與該直平行六面體表面所圍成的幾何體中較小的體積值為o

4、已知整數(shù)a、b、c、d都是偶數(shù)，且J-a=90,若a,h,c成等差數(shù)

列，且0,c,d成等比數(shù)列，貝iJa+6+c+d的值為。

5、橢圓《+亡=1的左、右焦點(diǎn)分別為B、F2,點(diǎn)P在直線L：x—gy+8+2ji=0上,

164

\PF

當(dāng)/F1PF2取最大值時(shí)，~L的值為O

2

6、已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為S”，Ji.Sn-2Sn-anSn+l=0,nGN*.則S”的表達(dá)式為。

7、已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且當(dāng)OWxWl時(shí),f(x)=2jj=7

若直線y=x+m與曲線y=f(x)恰有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

8、某食品廠制作了四種不同的精美卡片，在該廠生產(chǎn)的每袋食品中都隨機(jī)裝入一張卡片，規(guī)

定：如果收集齊了四種不同的卡片便可獲得獎(jiǎng)品。若小明一次性購買該種食品6袋，則小明

獲獎(jiǎng)的概率是。

9、已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為E過F作兩條互相垂直的弦AB、CD,設(shè)弦AB、CD的中點(diǎn)

分別為M、No

(1)求證：直線MN過定點(diǎn)；

(2)分別以弦AB、CD為直徑作圓，求證：兩圓相交弦所在的直線經(jīng)過原點(diǎn)。

10、設(shè)函數(shù)f(x)=x?+ax+b,數(shù)列｛a“｝、他,｝定義為％2an+i=/(??)+15,bn=——

22+a.

已知不等式If(x)忘l2x'+4x-30l對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立。

(1)求實(shí)數(shù)a、b的值；

(2)若將數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)的和與乘積分別記為Sn、1,，

證明：對(duì)任意正整數(shù)n,2向Tn+Sn為定值；

(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)n,都有2WSn<2。

11、設(shè)X|,x2>....，Xn為n(n22,nGN*)個(gè)正實(shí)數(shù)，且xi+x2+...+xn=l,將一^—

1+Xj

--一，……，--------3--------中的最大的數(shù)記為S。

1++%21+尤］+々+?**+X”

(1)令yk=l+X］+X2+...+Xk，求證：yi+y2+....+yn>一;

S

(2)對(duì)于給定的正整數(shù)n(n22),求S的最小值，并求出S取最小值時(shí)，X］，x2,…，x),的

值。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十六

1、若7xxyzabc=6xabcxyz，則xyzabc=。

2、有六位演員參加演出，六套服裝可供他們選擇。規(guī)定：每位演員在演出期間必須換一套不

同的演出服裝。若他們第一次選擇服裝的方法數(shù)為m,第二次選擇服裝的方法數(shù)為n,則

m+n=o

3、已知P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且放+2而+3正=6,記4ABP、ZXBCP、ZiACP的面積依

次為Si、S2>S3,則Si：S2：S3=。

4、設(shè)OA是球O的半徑，M是0A的中點(diǎn)，過點(diǎn)M且與OA成45°角的平面截球O的表面

77r

得到圓Co若圓C的面積等于——，則球0的表面積為。

4

5、若關(guān)于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在區(qū)間上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

已知x-y=l(y>0),則/(x,y)=l+x+二的最小值是.

6^

y

在平面上給定正方形ABCD,O為平面上的任意點(diǎn)，則比值+℃的最小值為?

7、

OB+OD

8、已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)A(1,0)與直線x=4的距離之和為5,對(duì)于給定的點(diǎn)B(b,

0),在曲線上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱，則b的取值范圍是

9、只由三個(gè)字母a、b、c組成的長(zhǎng)度為n的一些單詞將在通信信道上傳輸，且在傳輸中應(yīng)滿

足條件：不得有兩個(gè)a連續(xù)出現(xiàn)在任一單訶中。試確定通信信道允許傳輸?shù)膯卧~個(gè)數(shù)。

1,1-

10、已知函數(shù)f(x)=-/+—+bx在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)。

32

(1)求/-4b的取值范圍；

(2)當(dāng)/-46=8時(shí)，設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線為L(zhǎng),若L在點(diǎn)A處穿

過函數(shù)y=f(x)的圖象，求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式。

2

11、如圖，設(shè)拋物線C,：y=4mx(m>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)焦點(diǎn)為F2,以F,和F2為

焦點(diǎn)、離心率為4的橢圓C?與拋物線C1在x軸上方的交點(diǎn)為P。延長(zhǎng)PF?交拋物線于點(diǎn)Q,

2

M是拋物線G上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M在P與Q之間運(yùn)動(dòng)。當(dāng)APF.F,的邊長(zhǎng)恰好是三個(gè)連續(xù)的自

然數(shù)時(shí)，求AMPQ面積的最大值。

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬練習(xí)十七

22

1、設(shè)函數(shù)f(x)=log,(x-2ax+3)(a>0)的值域?yàn)?-°°,-1J,g(x)=log2(Ax-lax+2)

2

的定義域?yàn)锳,集合B=-,1,若ACBW①，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________。

_2_

2、使得nsinl>l+5co