高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)12角的概念的推廣省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)新課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1.2角概念推廣第1頁(yè)第2頁(yè)1.在初中角是怎樣定義？定義1：有公共端點(diǎn)兩條射線組成幾何圖形叫作角.頂點(diǎn)邊邊第3頁(yè)定義2：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成圖形叫作角.ABO頂點(diǎn)始邊

終邊第4頁(yè)2.角是怎樣度量?角單位是度.要求:周角為1度角.3.我們學(xué)過(guò)哪些角?它們大小是多少?銳角:大于0o小于90o直角：等于90o鈍角:大于90o小于180o平角：等于180°周角：等于360o

我們以前所學(xué)過(guò)角都是大于0°，小于或等于360°角.第5頁(yè)生活中很多實(shí)例不在0°～360°范圍內(nèi).像體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體720o，跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體1080o.本節(jié)課我們深入研究更廣泛角.第6頁(yè)地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，角范圍怎樣來(lái)表示？第7頁(yè)角這就是這節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)內(nèi)容——角第8頁(yè)1.經(jīng)過(guò)實(shí)例深刻了解推廣后角概念.(重點(diǎn))2.了解正角、負(fù)角和零角定義及任意角、象限角概念.（重點(diǎn)）3.掌握全部與角α終邊相同角表示方法.（難點(diǎn)）第9頁(yè)探究點(diǎn)1任意角概念思索1：下面角度怎樣表示？（１）你手表慢了５分鐘，想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？（２）假如你手表快了2.5小時(shí)，想將它校準(zhǔn)，分針應(yīng)該旋轉(zhuǎn)多少度？注意：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量確定了校準(zhǔn)手表方式.順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900°第10頁(yè)提醒：類(lèi)比正負(fù)數(shù)可表示含有相反意義量，對(duì)于旋轉(zhuǎn)方向不一樣角，我們猜測(cè)：也能夠用正負(fù)來(lái)表示.思索2：類(lèi)比數(shù)系擴(kuò)充，思索角概念是否也能夠推廣?第11頁(yè)

逆時(shí)針

順時(shí)針任意角定義：正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角

零角：一條射線從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合任意角記法：角或,可簡(jiǎn)記為

.

注意角旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量.第12頁(yè)【尤其提醒】1.角正負(fù)由旋轉(zhuǎn)方向決定.2.角能夠任意大小，其數(shù)值大小由旋轉(zhuǎn)次數(shù)及終邊位置決定.這么，我們就把角概念推廣到了任意角.第13頁(yè)以下說(shuō)法正確是()A.一條射線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)圈數(shù)越多，則這個(gè)角越大B.在坐標(biāo)系中，將y軸非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到x軸非負(fù)方向形成角為90°C.將鐘表調(diào)快一個(gè)小時(shí)，則分針轉(zhuǎn)了360°D.順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角一定小于逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角【即時(shí)訓(xùn)練】第14頁(yè)【解析】假如一條射線繞頂點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則它形成負(fù)角，旋轉(zhuǎn)圈數(shù)越多，則這個(gè)角越小，故A不正確.在坐標(biāo)系中，將y軸非負(fù)方向繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到x軸非負(fù)方向時(shí)，是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，故它形成角為-90°，故B不正確.將鐘表調(diào)快一個(gè)小時(shí)，也是按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，故分針轉(zhuǎn)了-360°，C不正確.順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成角為負(fù)角，它一定小于逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成正角，故D正確.答案：D.第15頁(yè)oyx思索1：為了深入研究角需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角始邊與x軸非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角終邊可能落在哪些位置？

提醒：如圖，能夠是坐標(biāo)軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限探究點(diǎn)2象限角第16頁(yè)象限角1.角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.2.角始邊重合于x軸非負(fù)半軸.則角終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，就是第幾象限角.第17頁(yè)xy

O始邊

終邊

Ⅰ終邊

Ⅱ終邊

Ⅲ終邊

Ⅳ提醒：象限角只能反應(yīng)角終邊所在象限，不能反應(yīng)角大小.象限角圖形表示ⅠⅡⅢⅣ第18頁(yè)思索2：如圖所表示角α、角β是第幾象限角？怎樣判斷一個(gè)角是第幾象限角？提醒：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判斷方法是將角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角始邊與x軸非負(fù)半軸重合，角終邊落在第幾象限，就說(shuō)該角是第幾象限角.第19頁(yè)坐標(biāo)軸上角假如角終邊落在了坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.比如：角終邊落在x軸或y軸上.坐標(biāo)軸上角第三象限角第四象限角第三象限角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角第一象限角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角象限角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角坐標(biāo)軸上角按終邊位置分類(lèi)第二象限角第20頁(yè)1.銳角是第幾象限角？2.第一象限角是否都是銳角？3.小于90°角都是銳角嗎？答：銳角是第一象限角.答：第一象限角并不都是銳角.答：小于90°角并不都是銳角，它也有可能是零角或負(fù)角.【即時(shí)訓(xùn)練】第21頁(yè)思索1：在坐標(biāo)軸上畫(huà)出30°,390°,-330°,它們有什么共同點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)絡(luò)？提醒：終邊相同，且30°=30°+0×360°xyO30°390°-330°390°=30°+360°-330°=30°-360°=30°+1×360°

=30°-1×360°探究點(diǎn)3終邊相同角390°,-330°兩個(gè)角都能夠表示成30°角與k個(gè)周角和,其中k為整數(shù).第22頁(yè)提醒：集合思索2：全部與30°角終邊相同角，連同30°角在內(nèi)，可組成一個(gè)集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

提醒：全部與30°角終邊相同角，連同30°角在內(nèi)，都是集合S元素；反過(guò)來(lái)，集合S任一元素顯然都與30°角終邊相同.第23頁(yè)終邊相同角表示全部與角α終邊相同角，連同角α在內(nèi)，可組成一個(gè)集合：

S=即任何一個(gè)與角α終邊相同角，都能夠表示成角α與周角整數(shù)倍和.{β|β=α+k×360°,k∈Z}第24頁(yè)(1)k∈Z.(2)α是任意角.(3)k×360°與α之間是“+”號(hào)，如k×360°-30°,應(yīng)看成k×360°+（-30°）.(4)k兩層含義：①特殊性：每對(duì)k賦一個(gè)值可得一個(gè)詳細(xì)角；②普通性：表示了全部與終邊α重合角集合.【尤其提醒】第25頁(yè)(5)終邊相同角不一定相等，但相等角終邊一定相同，終邊相同角有沒(méi)有數(shù)多個(gè)，它們相差360°整數(shù)倍.第26頁(yè)例1判定以下各角是第幾象限角：（1）-60°.（2）606°.（3）-950°12'.解:（1）因?yàn)?60°角終邊在第四象限，所以它是第四象限角.

第27頁(yè)（2）因?yàn)?06°=360°+246°,所以606°與246°角終邊重合，而246°終邊在第三象限，所以606°是第三象限角.（3）因?yàn)?950°12'=（-2）×360°-230°12',而-230°12'終邊在第二象限，所以-950°12

'是第二象限角.第28頁(yè)【總結(jié)提升】判斷一個(gè)角所在象限或不一樣角之間終邊關(guān)系，只要把它們化為β+k·360°,k∈Z，（0°≤β

＜360°），然后只要考查β

相關(guān)問(wèn)題即可.第29頁(yè)【變式練習(xí)】已知角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊落在x軸非負(fù)半軸上，作出以下各角，并指出它們是第幾象限角.(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.第30頁(yè)【解析】作出各角，其對(duì)應(yīng)終邊如圖所表示：(1)由圖可知：-75°是第四象限角.(2)由圖可知：855°是第二象限角.(3)由圖可知：-510°是第三象限角.第31頁(yè)例2在直角坐標(biāo)系中，寫(xiě)出終邊在y軸上角集合（用0°～360°角表示).解:

在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上角有兩個(gè)，即90°與270°角（如圖）.所以，全部與90°角終邊相同角組成集合S1=而全部與270°角終邊相同角組成集合S2=于是，終邊在y軸上角集合S=S1∪S2=={β|β=90°+k×180°,k∈Z}.{β|β=270°+k×360°,k∈Z}∪第32頁(yè)解：S=｛β丨

β=k×360°+60°,k∈Z｝.S中適合-360°≤

β

＜720°元素是:60°-1×360°=-300°,60°+0×360°=60°,60°+1×360°=420°.例3寫(xiě)出與60°角終邊相同角集合S,并把S中適合不等式-360°≤

β

＜720°

元素β寫(xiě)出來(lái).第33頁(yè)【變式練習(xí)】如圖所表示：則終邊在圖中所表示直線上角集合為_(kāi)_______.第34頁(yè)【解題關(guān)鍵】在0°～360°范圍內(nèi)找出終邊落在圖中直線上角，利用終邊相同角表示出集合即可.【解析】由題干圖易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y=-x上角有兩個(gè)，即135°和315°，所以，終邊在直線y=-x上角集合為S={β|β=135°+k×360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k×360°,k∈Z}={β|β=135°+k×180°,k∈Z}.答案:{β|β=135°+k×180°,k∈Z}第35頁(yè)【總結(jié)提升】1.終邊相同角慣用兩個(gè)結(jié)論(1)終邊在同一直線上角之間相差180°整數(shù)倍.(2)終邊在相互垂直兩直線上角之間相差90°整數(shù)倍.2.表示區(qū)間角三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針?lè)较蛘业絽^(qū)域起始和終止邊界；第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)-180°～180°范圍內(nèi)角α和β，寫(xiě)出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α≤x≤β}；第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合.第36頁(yè)1.時(shí)鐘經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角是()A.30° B.60° C.-30° D.-60°【解析】時(shí)鐘經(jīng)過(guò)1小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)1格是30°，又順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以大小為-30°.C第37頁(yè)2.已知α=-130°,則α終邊落在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限C【解析】α=-130°角終邊處于-180°和-90°之間,所以其終邊落在第三象限.第38頁(yè)3.與-800°終邊相同最小正角是_________.【解析】與-800°終邊相同角集合為{α|α=-800°+k×360°,k∈Z}.當(dāng)k=3時(shí)，得最小正角-800°+3×360°=280°.答案：280°4.有一個(gè)小于360°正角，這個(gè)角6倍終邊與x軸正半軸重合，則這個(gè)角為_(kāi)________.【解析】由題知，6α=k×360°，k∈Z，所以α=k×

60°，k∈Z.又因?yàn)棣潦切∮?60°正角，所以滿(mǎn)足條件角α值為60°，120°，180°，240°，300°.答案:60°,120°,180°,240°,300°第39頁(yè)5.在0°～360°范圍內(nèi),找出與-990°15′角終邊相同角,并判定它是第幾象限角.

【解析】

因?yàn)?990°15′=89°45′-3×360°,所以在0°～360°范圍內(nèi),與-990°15′角終邊相同角是89°45′,它是第一象限角.第40頁(yè)S1={β|

β=k×3