2023-2024學(xué)年北京市第四中學(xué)七年級(jí)下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期初一年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)（數(shù)學(xué)學(xué)科）數(shù)學(xué)試卷考生須知1．本試卷共8頁,共27道小題,滿分100分,附加題共2道,滿分10分．考試時(shí)間100分鐘．2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí),姓名和學(xué)號(hào)．3．答案一律填寫在答題卡上,在試卷上作答無效．4．在答題卡上,選擇題用2B鉛筆作答,其他試卷用黑色字跡簽字筆作答．一,選擇題（每小題3分,共30分,在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如圖,手蓋住是兩個(gè)圖形中的一個(gè),若這兩個(gè)圖形其中一個(gè)是由另一個(gè)平移得到的,則手蓋住的圖形是（）A. B. C. D.3.如圖,,于,,則（）．A. B. C. D.4.已知是關(guān)于x,y的二元一次方程的一個(gè)解,那么a的值為（）A. B.1 C. D.5.下列等式正確的是（）A. B. C. D.6.已知,則下列不等式中,正確的是（）A. B.C. D.7.下列四個(gè)命題.①對(duì)頂角相等.②有一條公共邊,且互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.③平行于同一條直線的兩條直線平行.④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)8.不等式組的解集為,則a滿足的條件是（）A. B. C. D.9.如圖是北京地鐵部分線路圖．在圖中,分別以正東,正北方向?yàn)檩S,軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,當(dāng)表示崇文門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示北海北站的點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),表示復(fù)興門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.10.如圖,直線,,分別在直線,上,為平面內(nèi)一點(diǎn),連接,,延長至點(diǎn),和的角平分線相交于點(diǎn)．若,則可以用含的式子可以表示為（）A. B. C. D.二,填空題（每小題2分,共16分）11.用不等式表示“m的3倍與n的差不大于6”：________．12.寫出一個(gè)大小在和之間的整數(shù)是_________．13.如圖,直線l表示一段河道,點(diǎn)P表示村莊,現(xiàn)要從河l向村莊P引水,圖中有四種方案,其中沿線段路線開挖的水渠長最短,理由是______．14.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中第七卷《盈不足》記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有大器五,小器一容三斛,大器一,小器五容二斛．問大,小器各容幾何？”譯文：“今有大容器5個(gè),小容器1個(gè),總?cè)萘繛?斛,大容器1個(gè),小容器5個(gè),總?cè)萘繛?斛．問大容器,小容器的容量各是多少斛？”（注：斛,音hú,古量器名,亦是容量單位）設(shè)大容器的容量為斛,小容器的容量為斛,根據(jù)題意,可列方程組為_______．15.在平面直角坐標(biāo)系中,軸,,若點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．16.如圖,直線,相交于點(diǎn),平分,,垂足為．若,則的度數(shù)是____．17.如圖,將邊長為1的正方形沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次,點(diǎn)依次落在點(diǎn),,,,的位置,則的坐標(biāo)為_____,的坐標(biāo)為____．18.給定實(shí)數(shù),,記為,兩數(shù)的最大者,為,兩數(shù)的最小者,如,．特別地,．若,則的取值范圍是_____．三,解答題（共54分）19.計(jì)算：20.解方程組：．21.解下列不等式（組）：（1）（2）22.完成下面證明：如圖,已知：,,垂足分別為,,且,求證：．證明：,（已知）.（__________）.（__________）．__________（__________）．又（已知）.__________．（__________）．．23.已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)．（1）寫出的面積．（2）將平移,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,得到,點(diǎn),的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn),．①畫出平移后的,并寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo).②若中任意一點(diǎn)經(jīng)同樣的平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則_____．24.如圖,已知,．（1）判斷與位置關(guān)系,并證明.（2）若平分,于點(diǎn),,求的度數(shù)．25.學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎(jiǎng)品．已知購買3個(gè)A獎(jiǎng)品和2個(gè)B獎(jiǎng)品共需130元,購買5個(gè)A獎(jiǎng)品和4個(gè)B獎(jiǎng)品共需230元．（1）求A,B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià).（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A,B兩種獎(jiǎng)品共40個(gè),且A獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B獎(jiǎng)品數(shù)量的．購買預(yù)算金不超過920元,請(qǐng)問學(xué)校有幾種購買方案．26.對(duì)于實(shí)數(shù),我們規(guī)定：用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù),稱為的根整數(shù),例如：,,還可以對(duì)連續(xù)求根整數(shù),直到結(jié)果為1為止,例如：10連續(xù)求根整數(shù)2次：,,得到結(jié)果為1．（1）仿照以上方法計(jì)算：_____.（2）對(duì)123連續(xù)求根整數(shù),_______次之后結(jié)果為1.（3）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中,最大的正整數(shù)是多少？請(qǐng)通過計(jì)算說明．27.如圖,,點(diǎn),在直線上,點(diǎn)在直線上,且,作射線平分,交直線于點(diǎn),在內(nèi)部作射線交直線于點(diǎn),使,射線與射線交于點(diǎn)．（1）圖中補(bǔ)全圖形.（2）若,求的度數(shù).（3）在（2）的條件下,將繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)時(shí)間為,當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止,直接寫出為何值時(shí),的邊與的某一邊平行．附加題（共10分）28.對(duì)于給定的自然數(shù),用1和作為元素填滿行列的數(shù)表,數(shù)表中第行第列的元素記作,記為數(shù)表的第行的各數(shù)之和,為數(shù)表的第列的各數(shù)之和,其中．記為數(shù)表“代表數(shù)”．若數(shù)滿足且,則稱元素是“好的”,記是數(shù)表中“好的”元素的個(gè)數(shù)．（1）對(duì)以下數(shù)表,,則_______.（2）當(dāng)自然數(shù)是偶數(shù)時(shí),數(shù)表的“代表數(shù)”的最大值是______．（用含的代數(shù)式表示）（3）在數(shù)表中,若中恰有個(gè)正數(shù),中恰有個(gè)正數(shù),其中,,,則的最大值是_____．（用含,和的代數(shù)式表示）29.在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn),給出如下定義：當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí),稱點(diǎn)是點(diǎn)的倍等距點(diǎn)．已知,點(diǎn)．（1）在,,中,點(diǎn)的2倍等距點(diǎn)是_______.（2）已知點(diǎn),,若在線段上存在點(diǎn)是點(diǎn)的2倍等距點(diǎn),求的取值范圍.（3）如圖,已知點(diǎn),,,以為邊在直線的上方作正方形,以為邊在直線的上方作正方形,對(duì)于正方形邊上任意一點(diǎn),若正方形的邊上都存在點(diǎn)的倍等距點(diǎn),直接寫出的取值范圍．

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期初一年級(jí)期中測(cè)驗(yàn)（數(shù)學(xué)學(xué)科）數(shù)學(xué)試卷一,選擇題（每小題3分,共30分,在每道題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)正確）1.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征,記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵,四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限,第二象限,第三象限,第四象限．根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．【詳解】解：點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0,縱坐標(biāo)小于0.故點(diǎn)所在的象限是第四象限．故選：D．2.如圖,手蓋住的是兩個(gè)圖形中的一個(gè),若這兩個(gè)圖形其中一個(gè)是由另一個(gè)平移得到的,則手蓋住的圖形是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查的是平移的性質(zhì),平移不改變圖形的形狀與大小只是改變圖形的位置,而且對(duì)應(yīng)相等平行且相等（或在同一直線上）,掌握平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：根據(jù)平移的性質(zhì)可得：小手蓋住的三角形是：.故選：A．3.如圖,,于,,則（）．A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查平行線的判定,垂直的定義,關(guān)鍵是求出的度數(shù)．由垂直的定義得到,求出,然后由平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：∵.∴.∵.∴.∵.∴．故選B．4.已知是關(guān)于x,y的二元一次方程的一個(gè)解,那么a的值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【分析】直接把代入方程中,求出a的值即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x,y的二元一次方程的一個(gè)解.∴.∴.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的解,熟知二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．5.下列等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】此題考查求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根,化簡絕對(duì)值．【詳解】解：A,,故該項(xiàng)不符合題意.B,,故該項(xiàng)不符合題意.C,,故該項(xiàng)不符合題意.D,,故該項(xiàng)符合題意.故選：D．6.已知,則下列不等式中,正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷選擇即可．本題考查了不等式的性質(zhì),熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵.∴.故A不符合題意.∵.∴.故B不符合題意.∵.∴.故C符合題意.∵.∴.故D不符合題意.故選C．7.下列四個(gè)命題.①對(duì)頂角相等.②有一條公共邊,且互補(bǔ)的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角.③平行于同一條直線的兩條直線平行.④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了命題真假的判斷,對(duì)頂角性質(zhì),平行公理,點(diǎn)到直線的距離,補(bǔ)角的定義．根據(jù)對(duì)頂角性質(zhì),平行線公理,點(diǎn)到直線的距離,補(bǔ)角的定義,逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：①對(duì)頂角相等,故①是真命題.②有一條公共邊,另一邊互為反向延長線,具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角,故②是假命題.③平行于同一條直線的兩條直線平行,③是真命題.④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度叫做點(diǎn)到直線的距離,故④是真命題.綜上所述,真命題的個(gè)數(shù)為3.故選：C．8.不等式組的解集為,則a滿足的條件是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先解不等式組,解集為且,而不等式組解集為,根據(jù)“同小取較小"的原則,求得a取值范圍即可．【詳解】解不等式組得：且.∵不等式組的解集為.∴.故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式組解集的四種情況：①同大取較大,②同小取較小,③小大大小中間找,④大大小小解不了．9.如圖是北京地鐵部分線路圖．在圖中,分別以正東,正北方向?yàn)檩S,軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,當(dāng)表示崇文門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示北海北站的點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),表示復(fù)興門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】此題考查坐標(biāo)確定位置．根據(jù)表示崇文門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為,表示北海北站的點(diǎn)的坐標(biāo)為建立平面直角坐標(biāo)系,確定坐標(biāo)原點(diǎn)的位置,進(jìn)而可確定表示復(fù)興門站的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：根據(jù)題意可建立如下所示平面直角坐標(biāo)系.則表示復(fù)興門站的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A．10.如圖,直線,,分別在直線,上,為平面內(nèi)一點(diǎn),連接,,延長至點(diǎn),和的角平分線相交于點(diǎn)．若,則可以用含的式子可以表示為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．作,,設(shè),則,利用平行線的性質(zhì)分別求得,,據(jù)此求解即可．【詳解】解：作,,如圖.設(shè),則.∵.∴.∵.∴.∴.∵.∴.∴.∵平分.∴.∵,.∴.∴.∴.故選：C．二,填空題（每小題2分,共16分）11.用不等式表示“m的3倍與n的差不大于6”：________．【答案】【分析】“m的3倍與n的的差”表示為“”,“不大于6”即“”,據(jù)此可得答案．【詳解】解：由題意知：“m的3倍與n的差”表示為“”,“不大于6”即“”.∴不等式為.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式,用不等式表示不等關(guān)系時(shí),要抓住題目中的關(guān)鍵詞,如“大于（小于）,不超過（不低于）,是正數(shù)（負(fù)數(shù)）”“至少”,“最多”等等,正確選擇不等號(hào)．因此建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵,不同的詞里蘊(yùn)含這不同的不等關(guān)系．12.寫出一個(gè)大小在和之間的整數(shù)是_________．【答案】2（答案不唯一）【分析】先估算,,故符合題意的整數(shù)滿足,寫出一個(gè)即可,本題考查了無理數(shù)的估算,熟練掌握估算的基本方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵,.∴符合題意的整數(shù)滿足..故答案為：2．13.如圖,直線l表示一段河道,點(diǎn)P表示村莊,現(xiàn)要從河l向村莊P引水,圖中有四種方案,其中沿線段路線開挖的水渠長最短,理由是______．【答案】垂線段最短【分析】本題考查垂線段最短,根據(jù)“垂直線段最短”進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由“從直線外一點(diǎn),到直線上任意一點(diǎn)所引的線段中,垂直線段最短”可知.這樣挖的理由是：垂線段最短.故答案為：垂線段最短．14.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中第七卷《盈不足》記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：“今有大器五,小器一容三斛,大器一,小器五容二斛．問大,小器各容幾何？”譯文：“今有大容器5個(gè),小容器1個(gè),總?cè)萘繛?斛,大容器1個(gè),小容器5個(gè),總?cè)萘繛?斛．問大容器,小容器的容量各是多少斛？”（注：斛,音hú,古量器名,亦是容量單位）設(shè)大容器的容量為斛,小容器的容量為斛,根據(jù)題意,可列方程組為_______．【答案】【分析】根據(jù)大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛,列出方程組解答即可．【詳解】解：根據(jù)大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛可列方程組得：故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際運(yùn)用,找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．15.在平面直角坐標(biāo)系中,軸,,若點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)是__________．【答案】或【分析】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)特征,根據(jù)軸得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,為,再由得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得解．【詳解】解：軸.點(diǎn)縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,為..點(diǎn)橫坐標(biāo)為：或.點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故答案為：或．16.如圖,直線,相交于點(diǎn),平分,,垂足為．若,則的度數(shù)是____．【答案】##54度【分析】本題考查了垂直的定義,對(duì)頂角相等以及角平分線的定義．根據(jù)垂直的定義,對(duì)頂角相等以及角平分線的定義求解即可．【詳解】解：∵.∴.∵平分.∴.∵.∴.∴.故答案為：．17.如圖,將邊長為1的正方形沿軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次,點(diǎn)依次落在點(diǎn),,,,的位置,則的坐標(biāo)為_____,的坐標(biāo)為____．【答案】①.②.【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)規(guī)律的探索的知識(shí)．根據(jù)翻轉(zhuǎn)的特點(diǎn),依次得出,,,,,,……,尋找出規(guī)律即可求解．【詳解】解：解：根據(jù)題意得：,,,,,,…….以此類推可知,每4次翻折為一個(gè)循環(huán),每個(gè)循環(huán)內(nèi)橫坐標(biāo)增加4.∴,∵.∴的坐標(biāo)是．故答案為：,．18.給定實(shí)數(shù),,記為,兩數(shù)的最大者,為,兩數(shù)的最小者,如,．特別地,．若,則的取值范圍是_____．【答案】【分析】本題考查了求不等式組的解集,解一元一次方程．分類討論5與,5與的大小,利用題中的新定義,求出解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí),即,此時(shí),解得.當(dāng)時(shí),無解,不存在.當(dāng)時(shí),即,此時(shí),符合題意.當(dāng)時(shí),即,此時(shí),解得.綜上,的取值范圍是.故答案為：．三,解答題（共54分）19.計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)算術(shù)平方根,立方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】解：．20.解方程組：．【答案】【分析】觀察方程組各個(gè)含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù),可加減消元法解二元一次方程組．【詳解】解：.①×2,得2x+2y=-2③．②-③,得-5y=10．∴y=-2．將y=-2代入①,得x=1．∴該方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解法,熟練掌握代入消元法或加減消元法解二元一次方程組是解題關(guān)鍵．21.解下列不等式（組）：（1）（2）【答案】（1）,（2）．【分析】本題考查的是解一元一次不等式與一元一次不等式組,掌握解一元一次不等式與一元一次不等式組的一般步驟及方法是解題的關(guān)鍵．（1）按解一元一次不等式的一般步驟求解即可.（2）分別解兩個(gè)不等式后,利用“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小找不到”確定不等式組的解集即可．【小問1詳解】解：去分母得：.去括號(hào)得：.移項(xiàng)得：合并得：.系數(shù)化為1得：.【小問2詳解】解：.解不等式①得,.解不等式②得,.∴原不等式組的解集為：．22.完成下面的證明：如圖,已知：,,垂足分別為,,且,求證：．證明：,（已知）.（__________）.（__________）．__________（__________）．又（已知）.__________．（__________）．．【答案】垂直的定義,同位角相等,兩直線平行,,兩直線平行,同位角相等,,內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可．【詳解】證明：,（已知）.（垂直的定義）.（同位角相等,兩直線平行）．（兩直線平行,同位角相等）．又（已知）.．（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）．．故答案為：垂直的定義,同位角相等,兩直線平行,,兩直線平行,同位角相等,,內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行．23.已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)．（1）寫出的面積．（2）將平移,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,得到,點(diǎn),的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn),．①畫出平移后的,并寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo).②若中任意一點(diǎn)經(jīng)同樣的平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則_____．【答案】（1）1.5（2）①圖見解析,,②4【分析】本題考查了利用網(wǎng)格求三角形的面積,平移的性質(zhì),熟練掌握平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）用割補(bǔ)法求解即可.（2）①先確定出點(diǎn),的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn),,然偶連線畫出平移后的,再根據(jù)圖形寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo).②利用平移的性質(zhì)求出,代入所給代數(shù)式計(jì)算即可．【小問1詳解】解：的面積為：.【小問2詳解】如圖,.②∵點(diǎn)平移至點(diǎn).∴先向右平移4個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得.∵經(jīng)同樣的平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.∴.∴．故答案為：4．24.如圖,已知,．（1）判斷與的位置關(guān)系,并證明.（2）若平分,于點(diǎn),,求的度數(shù)．【答案】（1）,證明見解析（2）【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì),角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn),靈活運(yùn)用平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先證明,結(jié)合已知條件可得再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行即可證明結(jié)論.（2）先根據(jù)角平分線的定義求出,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,,最后根據(jù)角的和差即可解答．【小問1詳解】解：,證明如下：∵.∴.∴.∵.∴.∴．【小問2詳解】解：∵.∴.∵平分.∴.∵.∴.∵,.∴.∴．25.學(xué)校計(jì)劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎(jiǎng)品．已知購買3個(gè)A獎(jiǎng)品和2個(gè)B獎(jiǎng)品共需130元,購買5個(gè)A獎(jiǎng)品和4個(gè)B獎(jiǎng)品共需230元．（1）求A,B兩種獎(jiǎng)品的單價(jià).（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買A,B兩種獎(jiǎng)品共40個(gè),且A獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于B獎(jiǎng)品數(shù)量的．購買預(yù)算金不超過920元,請(qǐng)問學(xué)校有幾種購買方案．【答案】（1）A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為30元,B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元．（2）學(xué)校有三種購買方案,方案一：購買A種獎(jiǎng)品10個(gè),B種獎(jiǎng)品30個(gè),方案二：購買A種獎(jiǎng)品11個(gè),B種獎(jiǎng)品29個(gè),方案三：購買A種獎(jiǎng)品12個(gè),B種獎(jiǎng)品28個(gè)．【分析】（1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元,B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元,根據(jù)“購買3個(gè)A獎(jiǎng)品和2個(gè)B獎(jiǎng)品共需130元,購買5個(gè)A獎(jiǎng)品和4個(gè)B獎(jiǎng)品共需230元”,即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組,解之即可得出結(jié)論.（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m個(gè),則購買B種獎(jiǎng)品（40﹣m）個(gè),根據(jù)購買A種獎(jiǎng)品數(shù)量不少于B種獎(jiǎng)品數(shù)量的且購買預(yù)算金不超過920元,即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組,解之即可得出m的取值范圍,再結(jié)合m為整數(shù)即可得出各購買方案．【詳解】解：（1）設(shè)A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為x元,B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為y元.依題意,得：.解得：．答：A種獎(jiǎng)品的單價(jià)為30元,B種獎(jiǎng)品的單價(jià)為20元．（2）設(shè)購買A種獎(jiǎng)品m個(gè),則購買B種獎(jiǎng)品（40﹣m）個(gè).依題意,得：.解得：10≤m≤12．∵m為整數(shù).∴m＝10,11,12.∴40﹣m＝30,29,28．∴學(xué)校有三種購買方案,方案一：購買A種獎(jiǎng)品10個(gè),B種獎(jiǎng)品30個(gè),方案二：購買A種獎(jiǎng)品11個(gè),B種獎(jiǎng)品29個(gè),方案三：購買A種獎(jiǎng)品12個(gè),B種獎(jiǎng)品28個(gè)．【點(diǎn)睛】此題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式組的應(yīng)用,掌握實(shí)際問題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.26.對(duì)于實(shí)數(shù),我們規(guī)定：用符號(hào)表示不大于的最大整數(shù),稱為的根整數(shù),例如：,,還可以對(duì)連續(xù)求根整數(shù),直到結(jié)果為1為止,例如：10連續(xù)求根整數(shù)2次：,,得到結(jié)果為1．（1）仿照以上方法計(jì)算：_____.（2）對(duì)123連續(xù)求根整數(shù),_______次之后結(jié)果為1.（3）只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運(yùn)算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中,最大的正整數(shù)是多少？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】（1）5（2）3（3）最大的正整數(shù)是255．理由見解析【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力,同時(shí)也考查了一個(gè)數(shù)的平方數(shù)的計(jì)算能力．（1）仿照方法計(jì)算即可.（2）根據(jù)定義對(duì)123進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù),可得3次之后結(jié)果為1.（3）最大的正整數(shù)是255,根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作,即可得出答案．【小問1詳解】解：.故答案為：5.【小問2詳解】解：第一次：.第二次：.第三次：.故答案為：3.【小問3詳解】解：最大的正整數(shù)是255.理由是：∵,,.∴對(duì)255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.∵,,,.∴對(duì)256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?.∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中,最大的正整數(shù)是255．27.如圖,,點(diǎn),在直線上,點(diǎn)在直線上,且,作射線平分,交直線于點(diǎn),在內(nèi)部作射線交直線于點(diǎn),使,射線與射線交于點(diǎn)．（1）在圖中補(bǔ)全圖形.（2）若,求的度數(shù).（3）在（2）的條件下,將繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)時(shí)間為,當(dāng)邊與射線重合時(shí)停止,直接寫出為何值時(shí),的邊與的某一邊平行．【答案】（1）見解析（2）,（3）為或或或時(shí),的邊與的某一邊平行．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可.（2）設(shè),則,利用等邊對(duì)等角結(jié)合三角形外角性質(zhì)求得,利用平行線的定義結(jié)合角平分線的定義求得,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求解.（3）分情況討論,畫出圖形利用平行線的性質(zhì),列式求解即可．【小問1詳解】解：補(bǔ)全圖形如圖..【小問2詳解】解：設(shè),則.∵.∴.∴,.∵.∴.∵射線平分.∴.∵.∴,即.解得.∴.【小問3詳解】解：由（2）得,.當(dāng)時(shí).設(shè)交于點(diǎn),則.∴.∴,當(dāng)時(shí).則.∴.∴,當(dāng)時(shí).則.∵.∴共線.∴.∴,當(dāng)時(shí).設(shè)交射線于點(diǎn),則.∴.∴旋轉(zhuǎn)角為.∴,綜上,為或或或時(shí),的邊與的某一邊平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì),角平分線的定義,三角形外角的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理及一元一次方程在幾何問題中的應(yīng)用,理清題中的數(shù)量關(guān)系并分類討論是解題的關(guān)鍵．附加題（共10分）28.對(duì)于給定的自然