2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷試題（二試）含解析

2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一.(本題滿分40分)給定正整數(shù)r,求最大的實數(shù)C,使得存在一個公比二.(本題滿分40分)如圖，在凸四邊形ABCD中，AC平分∠BAD,點E,F分別在邊BC,CD上，滿足EF||BD,分別延長FA,EA至點P,Q,使得過點構(gòu)成的集合S稱為"連通的",如果對S中任意兩個不同的小方格A,B,存在整(i=1,2,…,1-1).(1)對任意非負(fù)整數(shù)k,有A∈S;(4)若n∈S,則An+B∈S.2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(預(yù)賽)暨2024年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試(A卷)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)解：情形1:r為奇數(shù).情形2:r為偶數(shù).,從而若,則,即,此時.這意味著滿足要求.1綜上，當(dāng)r為奇數(shù)時，所求C的最大值為值為當(dāng)r為偶數(shù)時，所求C的最大……40分二.(本題滿分40分)如圖，在凸四邊形ABCD中，AC平分∠BAD,點E,F分別在邊BC,CD上，滿足EFI|BD.分別延長FA,EA至點P,Q,使得過點A,B,P的圓w,及過點A,D,Q的圓w?均與直線AC相切.證明：B,P,Q,D四點共(答題時請將圖畫在答卷紙上)證明：由圓w與AC相切知∠BPA=∠BAC=∠故BP,CA的延長線相交，記交點為L.由EF||BD知.在線段AC上取點K,使由∠ABL=∠PAL=∠KAF,∠BAL=180°-∠BAC=180°-∠C可知△ABL∽△KAF,所以…………20分同理，記DQ,CA的延長線交于點L',則又由KE||AB,KF||AD所以AL'=AL,即L'與L重合.由切割線定理知LP·LB=LA2=LQ·LD,所以B,P,Q,D四點共圓.…………40分三.(本題滿分50分)給定正整數(shù)n.在一個3×n的方格表上，由一些方格構(gòu)成的集合S稱為“連通的”,如果對S中任意兩個不同的小方格A,B,存在整2(i=1,2,…,1-1).數(shù).用[i,門表示第i行第j列處的方格，這里1≤i≤3,1≤j≤n.對于兩個方格通的集合S,均有|S,-S,|≤n,這表明K≤n.取不屬于S的黑格A滿足d(A,S)最小，這里).易知d(A,S)=1或2.若d(A,S)=1,取S'=SU{A},則S'仍是連通的，且S'-若d(A,S)=2,則存在與A相鄰的白格C,而C與S中某個方格B相鄰，取S'=SU{A,B},則S'仍是連通的，且S/-S'不變.因而可逐步擴充S,使得S個方格屬于S,否則不存在從黑格A=[1,1]eS到黑格B=[3,n-1+e]的S中路徑.故),而),故S?-S,≤n.……10分再考慮黑格集合B?={[i,]li+j=k},k=4,6,…,n+2-e,每個B中至少有一個黑格屬于S,否則不存在從白格A=[1,2]到白格B=[3,n-c]的S中路徑.從而,故S,-S,≤n.設(shè)表格中共有X個黑格和Y個白格，在第二行中有x個黑格和y個白格.于是X+Y=3n,x+y=n.故不妨設(shè)X-y≥n.取S為第二行中的y個白格以及所有X個黑格.由于S包含第二行中所有方格，因而S是連通的.而S,=X,S.=y,S,-S,=X-y≥n.綜上所述，Km=n.…………50分四.(本題滿分50分)設(shè)A,B為正整數(shù)，S是一些正整數(shù)構(gòu)成的一個集合，(1)對任意非負(fù)整數(shù)k,有A∈S;(2)若正整數(shù)n∈S,則n的每個正約數(shù)均屬于S;3(3)若m,n∈S,且m,n互素，則mn∈S:(4)若n∈S,則An+B∈S.引理的證明：對n∈S,設(shè)n,是n的與A互素的最大約數(shù)，并設(shè)n=n,n?,則A'n+B∈S(對任意正整數(shù)k).①…………10分設(shè)n+B=C·D,這里正整數(shù)C的所有素因子均整除A,正整數(shù)D與A互素，另一方面，因(D,A)=1,故由歐拉定理知D|AD)-1.因此AD)n+B=(AD)-1)n+(n+B)=0(mod但由①知AD)n+B∈S,故由(2)知D∈S.結(jié)合C∈S及(C,D)=1知CD∈S,即n+B∈S.引理證畢.……4