新人教版高中數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)(B版)知識(shí)精講+資料

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

三角函數(shù)

1.正弦函數(shù)圖像（幾何法）

2.正切函數(shù)圖像

3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

-、函數(shù)的基本性質(zhì)

1.奇偶性對(duì)于一個(gè)函數(shù)/(幻，如果存在一個(gè)常數(shù)r(T*o),使得當(dāng)X取定義域D內(nèi)的每一個(gè)值

2單.調(diào)性

氏，都有/(x+T)=/(x)成立，哥么這個(gè)函數(shù)/(x)叫技周期函數(shù)，常數(shù)7"叫做函數(shù)/(x)

3.最大值最小值

的周期,

4.零點(diǎn)

對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)/(x)來(lái)說(shuō)，如果在所有的同期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小

5.周期性正數(shù)就叫做這個(gè)函數(shù)的最小正冏期.

、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

y=slnxy=cosx

定義城

僵城x=2An*y=IJT==-11-1.1)xu削,》.=l；x=2*口4，.2=-1

奇偶性餐由做儡番抵

周明

單鼻區(qū)鬻[2ftxr—^,2kx*jj("sF-nJk圖

怯

加吟.?學(xué)曄2U+?]

函數(shù)y=tanxy—cotx

定義域{x|x#kw+WZ}{x|x工kn,keZ)

值域RR

奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)

.7

等jc),/tan(0K+o)第條*是辰串r**6(&*0)海鋁)■zcotGax▼論量4、正田塞

同

4.主要研究方法

與正弦函數(shù)余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)的研究

通過(guò)恒等變換將函數(shù)表達(dá)式化為:

y=Asin(a)x+(p)(A>0,>0)

或y=/lcos(tox+w)(4>0,3>0)

5.主要內(nèi)容

函數(shù)y=+w)(4>0,3>0)的圖像

1.解析式中參數(shù)力、3、桃對(duì)正弦曲線(xiàn)（y=sinx的圖像）影響

A——振幅圖像上點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）

3—圖像上點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的g倍（縱坐標(biāo)不變）

7=-3——周期

/■=5—頻率

9一初相圖像平移

2.五點(diǎn)法作函數(shù)y=+9）（4>0,3>0）在一個(gè)周期丁上的圖像

3X+3的值分別取0,TT/2,TT,3n/2,2n.

即X的取值分別是一包，紅，5d,3,

33333

實(shí)際上是將區(qū)間［-j,-5+7］進(jìn)行四等分

三角函數(shù)解題技巧

三角函數(shù)是高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)之一。它側(cè)重于考查學(xué)生的觀察能力、思維能力和綜

合分析能力，在高考試題中始終保持"一大一小"甚至是"一大兩小”的模式。

y=sinxy=cosx

一、見(jiàn)“給角求值”問(wèn)題，運(yùn)用“新興”誘導(dǎo)公式一步到位轉(zhuǎn)換到區(qū)間（-90。,

90。）的公式.

1、sin(kiT+a)=(-1)ksina(keZ)；

2、cos(kiT+a)=(-1)kcosa(keZ)；

3、tan(kn+a)=(-1)ktana(keZ)；

4、cot(kn+a)=(-1)kcota(keZ).

二、見(jiàn)“sina士cosa”問(wèn)題，運(yùn)用三角"八卦圖"

1、sina+cosa>0(或<0)6a的終邊在直線(xiàn)y+x=O的上方(或下方);

2、sina-cosa>0(或<0)6a的終邊在直線(xiàn)y-x=O的上方(或下方)；

3、|sina|>|cosa|6a的終邊在H、3的區(qū)域內(nèi);

4、|sina|v|cosa|6a的終邊在I、4區(qū)域內(nèi).

三、見(jiàn)“知1求5”問(wèn)題，造RtA,用勾股定理，熟記常用勾股數(shù)(3,4,5),

(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符號(hào)看象限”。

四、見(jiàn)“切割”問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成“弦”的問(wèn)題。

五、"見(jiàn)齊思弦"=>"化弦為一"：已知tana,求sina與cosa的齊次式，有

些整式情形還可以視其分母為1,轉(zhuǎn)化為sin2a+cos2a.

六、見(jiàn)“正弦值或角的平方差”形式，啟用“平方差”公式：

1、sin(a+P)sin(a-[3)=sin2a-sin2p；

2、cos(a+[3)cos(a-p)=cos2a-sin2p.

七、見(jiàn)“sina土cosa與sinacosa”問(wèn)題，起用平方法則：

(sina±cosa)2=1±2sinacosa=1±sin2a,故

1、若sina+cosa=t,(且12M2),則2sinacosa=t2-1=sin2a；

2、若sina-cosa=t,(且t2$2),則2sinacosa=1-t2=sin2a.

八、見(jiàn)"tana+tan|3與tanatan?！眴?wèn)題，啟用變形公式：

tana+tanB=tan(a+B)(1-tanatanB).思考：tana-tanp=???

九、見(jiàn)三角函數(shù)“對(duì)稱(chēng)”問(wèn)題，啟用圖象特征代數(shù)關(guān)系：(A,0)

1、函數(shù)y=Asin(wx+(p)和函數(shù)y=Acos(wx+(p)的圖象，關(guān)于過(guò)最值點(diǎn)且平行

于y軸的直線(xiàn)分別成軸對(duì)稱(chēng)；

2、函數(shù)y=Asin(wx+(p)和函數(shù)y=Acos(wx+(p)的圖象,關(guān)于其中間零點(diǎn)分別

成中心對(duì)稱(chēng)；

3、同樣，利用圖象也可以得到函數(shù)y=Atan(wx+q))和函數(shù)y=Acot(wx+(p)的

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)。

十、見(jiàn)“求最值、值域”問(wèn)題，啟用有界性，或者輔助角公式：

1>|sinx|<1,|cosx|<1；

2、(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+(p)<(a2+b2)；

3、asinx+bcosx=c有解的充要條件是a2+b2>c2.

十一、見(jiàn)“高次”，用降幕，見(jiàn)“復(fù)角”，用轉(zhuǎn)化.

1、cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1.

2、2x=(x+y)+(x-y)；

2y=(x+y)-(x-y)；x-w=(x+y)-(y+w)等。

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)。它們的地位和

作用與一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基

本初等函數(shù)。

任意弟的念

一條射線(xiàn),繞著它的端點(diǎn)。,按逆時(shí)針(或順時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)到〃/，

就形成角.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始位置的射線(xiàn)叫角的始邊,終止位■的射線(xiàn)叫做角的終邊.

端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn).

規(guī)定：

投逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做正角.表示1：可記為

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.表示2：小寫(xiě)希臘字母〃、"、了…

當(dāng)射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí),是零角.

任意角知識(shí)點(diǎn)

1、正角，負(fù)角,零角的概念

我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫正角.

按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角.

如果?條射線(xiàn)沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱(chēng)它形成了一個(gè)零角.

至此把角的概念推廣到任意角.

2、象限角：建立直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.

那么角的終邊在第幾象限.我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.

如果角的終邊在坐標(biāo)軸匕就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限。

(1)銳角是第一象限珀嗎？第一象限角是銳角嗎？

答：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；

(2)銳角就是小于90°的角嗎？

答：小于90°的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；

(3)銳角就是0°?90°的角嗎？

答：銳角：伯|0°8〈90°)；

0°?90°的角：［e0°W8<90°).

終邊相同的角的表示法：

一般地：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合

S={pp=a+kX360°.kGZ}

(1)終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合如何表示？

{p3=kX180°.kez},{PIP=kX90°.kez}

(2)終邊落在第一、三象限角平分線(xiàn)上的角的集合如何表示？

{pP=45°+nX18O0.nGZ}

例：若a是第二象限角.則2a,生分別是第幾象限的角.問(wèn)是第二象限角，如何表示？

2

解：(1)是第二象限角..,.90°+kX360°<a〈180°+kX360°(kGZ)

二180°+kX7200<2a<360°+kX720"

；.2a是第三或第四象限的角，或角的終邊在y細(xì)跑非事半熱上。

(2)Vjt.isO0+45。v：<A」80'+905(JteZ)?

:

當(dāng)％=2〃("wZ)時(shí),n.36O+45°<-</;-360=+90°(AeZ).巴是第一象限的角;

22

與A=2〃+1(〃€Z)時(shí)，〃.360。+225。vWV〃-3<5O?+270*(AeZ)f§是第二象限的角。

???烏是第一或第三象限的角。

2

弧度制知識(shí)點(diǎn)

定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符合rad表示，正

角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為0.

角度與弧度的換算：

360°=2nrad180°=nrad

角度12°15°18°30°36°45°

弧度

弧度制及其與角度制的換算

4.360°=2兀rad

這是弧度制和角度制互換的根基。

一些特殊角的弧度數(shù)

角

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧

兀7171兀2兀3兀5兀3兀

度0~4兀T2n

632346

任意角的三角函數(shù)

三角函數(shù)，

RfABC三邊分別為a,b,c,正弦、余弦、正切這三個(gè)最基本的公

式相信大家應(yīng)該比較熟悉了。

B

a

sina=—

b

cosa=—

c

a

tana=—

b

三角函數(shù)的求解常常涉及到坐標(biāo)系。所以我們將其放到坐標(biāo)系中，接

下來(lái)要講的是任意角的三角函數(shù)在四個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)的判斷。

首先建立一個(gè)直角坐標(biāo)系，以原點(diǎn)為圓心畫(huà)一個(gè)單位圓，單位圓就是

半徑為1的圓。在第一象限畫(huà)一個(gè)角度a,與圓交于點(diǎn)B,過(guò)B點(diǎn)作x軸

的垂線(xiàn)，交點(diǎn)為A。設(shè)AB=y,OA=x,

那么，就有

好，接下來(lái)看第一象限,

y在y軸正半軸，是+的，x在x軸正半軸，也是是+的，所以有:

第一象限:

sina=y+

cosa=x

.y

tana=—

x

sina=y+

cosa=x_

t,ana=—y—

x

相應(yīng)的，第三象限，

y

第三象限:

sina=y

cosa=x

y

tana=-

x+

第四象限，

y

第四象限：

si71a=y-

cosa=x+

t,ana=—y—

x

單位圓

以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓叫單位圓.

設(shè)單位圓的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則單位圓與X軸

的交點(diǎn)分別為4(-1,0).而與y軸的交點(diǎn)分

別為8(0,1),B'(0,-1),則有圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為

(cosor,sina).

P(cosa,sina)

N；iJ

-L_____d\

CIf-4(1,0)

M).i

單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)

如圖所示，在單位圓中，設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn),

始邊與x軸的正半軸重合，交單位圓于點(diǎn)A,終邊與單

位圓相交于點(diǎn)P（尤y）,過(guò)尸作x軸的垂線(xiàn),垂足為M；

做OM垂直y軸于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)4作x軸的垂線(xiàn)與a角

的終邊（或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)）相交于點(diǎn)T,我們把向量

兩，訴和方分別叫做a的余弦線(xiàn)、正弦線(xiàn)和正切

線(xiàn).

a的終央yyTa呼^邊

三烝

（H）y，⑴

小,

用終邊

a的終邊l（in）（IV）

單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)的應(yīng)用

定義三角函數(shù)

根據(jù)三角函數(shù)的定義有尸的坐標(biāo)為(cosa,sina),

■，?

其中cosa=OM,sina=MP,tana=AT.

確定角的范圍

例L若sinx>—,求x的取值范圍.

2

【解】如圖1.作單位陰，并作直線(xiàn)y=；與單位圓交

于A、8兩點(diǎn)，連接OH.

m1

由圖知，當(dāng)a終邊落在圖中的陰影部分時(shí)，sina>—.

2

因?yàn)?8是巴的終邊，04是紅的終邊，

66

故sina>2時(shí)，角x的取值范圍是

2

2k7r+y<a<2kjr+^-,keZJ.

比較三角函數(shù)值的大小

7t

例2.已知。<x<一,試比較cosx,sin(cosx),

2

cos(sinx)的大小.

7T

首先由單位圓可知0<sinx<x<5,

所以cosx<cos(sinx).

冗

其次由單位圓可知，一一x^AP,M>=cosx,

2

717T7T

易知不一戈=COSX>0,BP0<X<--COSX<—,

~7T

所以cos(--cosx)<cosx,即sin(cosx)<cosx,

綜上可得sinfcosx)<cosx<cos(sin.r)

證明三角不等式

例3.當(dāng)aw(0,g),證明：sine<a<tana.

【證明】單位圓。與角a的終邊交于點(diǎn)尸，與x軸的

正半軸交于點(diǎn)4,過(guò)。作PM垂直于x軸于M,過(guò)八

作單位圓的切線(xiàn)，交a的終邊與點(diǎn)T,連接A尸，

則:a=AP,sina=MP,tana-AT,

由S△OAP<S扇形aw<S/^OAT,知MP<AP<AT,

即sin<cr<tan

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

2.誘導(dǎo)公式

——四五六

可7T

2MT+oU€Z)7U+a-u7T-a------<7-----F0r

22

sin。-sino-sinosinocosoCOS_o

coso-cosocos0-cososin0-sino

V*M**WWM*<

X

。

tantan<7-tanu-WtaAAnAAAo/W\

誘導(dǎo)公式的記憶口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

對(duì)口訣的解釋?zhuān)?/p>

JT

<1）“奇”“偶”指睚“人一+。&€z”中的

2

<2）（2）“變”與“極”制髓儆的名稱(chēng)修化，若正是抽，則正、余弦互變；若無(wú)

為麒3典崎名稱(chēng)不變.

JTJT

（3）“符號(hào)看象限”指的是在“無(wú)?二+?！纄z”中，將?？闯射J角時(shí)，，?生+。

22

立Z”雌邊所在躡限.

三角函數(shù)圖象與性質(zhì)

H基礎(chǔ)知識(shí)

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和

余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

(1)“五點(diǎn)法”作圖原理：

作正弦函數(shù)I=sinv,A€[0.2^]的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

(0.0).|I],(<T.0).|-I|.(lit.0)

作余弦函數(shù)v=cosx..v€[0.2^]的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：

(0,1<1).(??—1).1<?I：,

(2)五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)(注意光滑).

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的

圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cos.ry=tanx

圖

號(hào)K7cIM

像VTF

定義

域RRFT

值域[-1.1]R

周期2萬(wàn)17t7T

奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

在［汨-夕歸

單調(diào)增在陽(yáng)_#加］增：Y田+3

性在［比+左次+等］在［25：2a+*］減增

減

對(duì)稱(chēng)軸：對(duì)稱(chēng)軸：

對(duì)稱(chēng)軸:無(wú)；

,n

對(duì)稱(chēng)x=k九?

時(shí)稱(chēng)中心：

對(duì)稱(chēng)中心：

性對(duì)稱(chēng)中心：

3/1

（左兀0）

考點(diǎn)一求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

［典例］已知函數(shù)<x)=sin2：LcoBLzSsinxcos式rCR).

(D求/日的值；

(2)求式X)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

［解］(1)由題意,?r)=-cos2x—msin2x=-2停+^cos2.xj

=-2sinl

故周=一庶+=-2sin—=2

32

2r+q

(2)由⑴知7(x)=-2sin16J.!0'］_/(x)的最小正周期是71.

由正弦函數(shù)的性質(zhì)，

令匹+2內(nèi)1<2、+^^出+2版(左￡2),婚得匹+E4x《?+E(左￡Z),

26263

—+^7T,——+kil

所以大x)的單調(diào)遞增區(qū)間是63J(^ez).

考點(diǎn)二考點(diǎn)二求三角函數(shù)的值域(最值)

［典例］⑴函數(shù)次x）=3sin（2“一3在區(qū)間R，乳的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.BFIT

「一逑噌得,3

C.L22JD.

(2)(2017?全國(guó)卷H)函數(shù)/(x)=siiA+3cosx-￡€R'3的最大

4

值是

）器

［解析］⑴當(dāng)xe

周，sig一jf

6jeL-r:

,3

故3s*i一靠已

所以函數(shù)網(wǎng)的值域?yàn)椴?

21

⑵依題意，/(x)=sin2x+J5cosx-------co^x+cosx+-=一

44

cosX一

+1,

。，年

國(guó)為xe所以cosxe[0,1],

因此當(dāng)cosx=,_/(X)niax-1"

[答案](1)B(2)1

考點(diǎn)三三角函數(shù)的周期性

［典例］(1)函數(shù)人x)=T^「的最小正周期為()

1+tairx

A.-B.-

42

C.nD.2n

(2)若函數(shù)八》)=213!14+4的最小正周期T滿(mǎn)足1<T<2,則正整數(shù)

上的值為.

si"-sinx

［解析］⑴由已知得網(wǎng)=三聶二=涓：；)=U'k=sin

1+tan2xsmAIcorx+snrx

1+LosAJCOS2!'

xcosx=^sin2x,所以/(x)的最小正周期為7=4=兀

(2)由題意知1令2,即5次<兀

又因?yàn)锳"€N",所以左=2或左=3.

［答案］(1)C(2)2或3

考點(diǎn)四三角函數(shù)的奇偶性

函數(shù)亢0=3siib3+91@C（0,兀）滿(mǎn)足心|）=〃），則夕

［典例］

的值為（）

C.—D.—

63

［解析］因?yàn)椋紎x|)=八x),

所以函數(shù)_/(x)=3sin1i'3+")是偶的數(shù),

所以一j+^=^7r+ytkez.

57r

所以p=E+J,kez,

6

又因?yàn)椤積（o,7T）,所以@=y.

6

［答案］c

考點(diǎn)五三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

［典例］（1）已知函數(shù)｛x）=2sin「6」3〉0）的最小正周期為4兀,

則該函數(shù)的圖象（）

A.關(guān)于點(diǎn)日，q對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)卷，q對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于直線(xiàn)x=g對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)》=竽對(duì)稱(chēng)

「我＜3的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則

⑵已知函數(shù)y=sin(2x+@)

@的值為_(kāi)________

［解析］（1）因?yàn)楹瘮?shù)式x）=2sj''"+%］（￡0>0）的最小正周期是4K,

而y=—=4JT,所以口=1,

co2

即/（xLZsin^+e］

令土+注=4+航（左wz）,解得x="+%（左ez）,

2623

故式X）的對(duì)稱(chēng)軸為》=尹2版（左ez）,

令、+?=內(nèi)1（左ez）,解得x=一弓+2E（左ez）.

263

故於）的對(duì)稱(chēng)中心為卜與+2航'0Kez）,對(duì)比選項(xiàng)可知B正確.

（2）由題意得［H=s」h"+4=±1,

-"-—+<p=lai+\kEZ）,二夕=析一々左CZ）.

326

-工母

-->€I2,21二9=一￡

O

［答案）（1）B（2）-J

6

困

正弦函數(shù)y=sinx,xeR余弦函數(shù)丁=COSX,XER正切函數(shù)y=tanx.xfk”+]

數(shù)

有

界育界有界無(wú)界

性

卜|x+J.kwz}

義(—y)(-00,-K?)

域

[-14][-1.1]

當(dāng)工=，+2左zr(左wZ)時(shí)，,丫印=1(fg)

當(dāng)戈*2上”(上在Z)時(shí),丁3al=1

值

當(dāng)x=冗+2kdReZ)時(shí)，

域當(dāng)x=-y*2x7r(k-eZ)時(shí),

Aaia=-1

J-W=—]

周

期是周期函數(shù)，最小正周期T=2”是周期函數(shù)，最小正周期7-2女T=71

性

奇奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)偶函數(shù)，圖象關(guān)于J軸對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

偶

性

在[乃+2左產(chǎn),2兀+2//r],（QwZ）上

在卜；-2配（+2ATT],（kwZ）在（一】+七乃.￡+k;r）.（keZ）

是單調(diào)增函數(shù)

單

上是單調(diào)增函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù)

調(diào)

在[2譏；r-2W;r],（左EZ）上是單

性在吁+2譏3-26]，（左wZ）

調(diào)減函數(shù)

上是單調(diào)減函數(shù)

對(duì)

.7t-.

稱(chēng)x=M+—,(zKeZ)x=kn代wZ)

軸

對(duì)

稱(chēng)件.0)(keZ)

(也0)(keZ)(fer+y,O)(keZ)

中

心

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像

（一）三角函數(shù)的性質(zhì)

1、定義域與值域

2、奇偶性

(1)基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：y=sinx,y=tanx；偶函數(shù)：y=cosx.

(2)/(皈+勃型三角函數(shù)的奇偶性

(i)g(x)=而諷"+。)(xWR)

g(x)為偶函數(shù)Og(F=g(x)(xeK)

QAsin(皈+⑵=/sin(一勿+協(xié)(xwR)=sin皈cos(p=0(x€R)

cos<p=O<=>0=ATT+—(上eZ)

由此得2k

同理，g(x)=/sin(?x+/(xe&)為奇函數(shù)=sin。=0=。=上雙上6Z)

(ii)奴x)=4co$(<ac+?(xe&)

火力=485(次+8)為偶函數(shù)=<P=AT*€Z)；<p(x)=4cos(加+切為奇函數(shù)

7F

<=>^>=^+—(*eZ)

3、周期性

(1)基本公式

(i)基本三角函數(shù)的周斷y=sinx,y=cosx的周期為2"；y=tanx,y=cotx

的周期為”.

(ii)/(勿+?+歸型三角函數(shù)的周期

2”

y=Asm{(Dx+qi)+k,y-Acoi{<Bx+^+k的周期為IM.

7T

y=4tan（?x+@+<y=4cot（?x+^+尢的周期為Ml.

（2）認(rèn)知

（i）y=火次+時(shí)型函數(shù)的周期

“

y=Msm（皈+砌j=|Rco$（?x+砌的周期為同；

7T

_y=ktan（?x+@L_y=l^cot（曲+砌的周期為同

（,）y=|/的+?+浜+。）的周期

27r

y=|4sin（0x+?+班尸機(jī)0$（西+9）+耳的周期為同；

7r

_y=Wtan（0x+?）+Mj=kcot（0x+@）+M的周期為同

均同它們不加絕對(duì)值時(shí)的周期相同，即對(duì)y=/（次+的+上的解析式施加絕對(duì)值后，該函

數(shù)的周期不變.注意這一點(diǎn)與（i）的區(qū)別.

（ii）若函數(shù)為"勿+*）型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于'‘最小公倍數(shù)法”.

（iii）探求其它“雜”三角函數(shù)的周期，基本策略是試驗(yàn)一一猜想一一證明.

（3）特殊情形研究

（i）y=tanx—cotx的最小正周期為2；.

7F

<ii）y=恤巧詞的最小正周期為5；

n

（iii）y=sii?x+cos'x的最小正周期為2..

由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類(lèi)型，以防施錯(cuò)對(duì)象.

4、單調(diào)性

（1）基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（族）

依從三角函數(shù)圖象識(shí)證“三部曲”：

①選周期：在原點(diǎn)附近選取那個(gè)包含全部銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的

一個(gè)周期；

②寫(xiě)特解：在所選周期內(nèi)寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）；

③獲通解：在②中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù)

的增區(qū)間族（或減區(qū)間族）

循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.

揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡(jiǎn)單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域.

（2）y=/（"+。）型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

此類(lèi)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為

①換元、分解：令u=0x+*,將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：y=f（u）,u=°x+7.

②套用公式：根據(jù)對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知，確定出f（u）的單調(diào)性，而后利用（1）中公

式寫(xiě)出關(guān)于u的不等式；

③還原、結(jié)論：將u=°x+O代入②中U的不等式，解出X的取值范圍，并用集合或區(qū)間

形成結(jié)論.

正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

y=Jsm(ox-?-^)

j=sinxJ=cosxy=tanxy=cotx

(Axo>0)

Xi

定義域RR；xxcK^jr*JbT--X,ibeZ；R

2(rxeRBiX^k^^keZ}

值域T+i][-L+1]RR

\rA'A

周期性InInKKIn

V

奇偶性奇函數(shù)偶國(guó)數(shù)奇函數(shù)奇國(guó)數(shù)當(dāng)"0,非奇非偶

當(dāng)0=0：奇函數(shù)

z

￡u「

[（22-1沅.d（譏（左十1年）上為減函

[-卜2Eb2.

2kn]2數(shù)（無(wú)EZ）2kjr―――(p

為

增

±a數(shù)——Z—(A

尹㈤上為增函G)

(k>

數(shù)1

e2z)2初*+一7_0

上為增函[2機(jī)——-——(T)

o」

數(shù)；（2k+1閉L

單調(diào)性上為減函上為增函數(shù)；

號(hào)+2機(jī)

數(shù)

2-k/[4--7----Q

（keZ）--------—(-4).

—+2^]G)

-3

上為減函2內(nèi)r+一k-Q

-——(-⑷

數(shù)（keZ）.G)--------------J

上為減函數(shù)

(keZ)

注意：①y=-sin.t與y=sinx的單調(diào)性正好相反；『=-cosx與y=cosx的單調(diào)性也同樣相反.一般

地，若了=y（x）在值可上遞增（減），則八X）在Mb］上遞減（增）.

②y=|sini|與J=|cosx）的周期是1.

（3）v=sin（@x+0）或丫=COS（GX-°）（0工0）的周期T=口.

*忸1

卜昌的周期為2萬(wàn)（7嘀-1如圖，翻折無(wú)效）.

④）=血3丫-0）的對(duì)稱(chēng)軸方程是、=加十?（keZ）,對(duì)稱(chēng)中心（無(wú)兀0）；y=cos（@x-0）的對(duì)稱(chēng)軸方

程是戈=/br（keZ）,對(duì)稱(chēng)中心（5+Ly.o）;y=tan（@i+夕）的對(duì)稱(chēng)中心（”,0）.

y=cos2x-'/秣>y=-cos（-2x）=-cos2x

當(dāng)tana?tan￡=La-￡=fcr+；（2eZ）；tana?tan￡=-La-B=.

（6）X*=cosx與），=5代1+1+2"］是同一函數(shù),而『=（0'+0）是偶函數(shù)，則

y=（。1—0）=sin（^x4上萬(wàn)+；丁）==cos（（in）?

⑦函數(shù)丁=13工在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域,

y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件:一是定義域

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（奇偶都要），二是滿(mǎn)足奇偶性條件，偶函數(shù)：八-工）=八0,奇函數(shù)：/（-x）=VW）

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數(shù)，j=tan（x+；;r）是非奇非偶.（定義域不

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Oex的定義域，則/（x）一定有以0）=0.（0比x的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）

⑨y=smk|不是周期函數(shù)；），=隨凡為周期函數(shù)（』）;

y=co相是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosM為周期函數(shù)（7=1）；、

「卜。疝」的周期為萬(wàn)（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如:

*r2

y=f(.x)=5=f(x+k),keR.

?).r=acosa+6sinp=sin(oi+<p)+cos<p=—有Ja'+b，邛,.

正弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像

正弦型函數(shù)y=Asin（wx+<p）（A>0,3>0）中的參數(shù)A,w,cp對(duì)函數(shù)

圖象變化的影響

向左平楞個(gè)單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)畤

y=sinx~>y=sin（x+7）------------------------，

.“?1縱坐標(biāo)擴(kuò)為原來(lái)的3倍陽(yáng)

y—sin（2x十］）-----------------------ry-3sm（2丫十y）

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;向左平移￡個(gè)單位

y=sinx------------------------->y=sin2x---------------------->

.，兀.............冗、縱坐標(biāo)擴(kuò)為原來(lái)的3倍、?.廣?國(guó)

y-sin［2（x+-）］=sin（2x+-）-------------------------->y-3sin（2r+A

o55

橫坐你的伸縮和左右平移都只變X

如何求A,w,ip

A-表示圖像上下高度的一半

3：0-y，先求7，

9：代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解(最高點(diǎn)或最低點(diǎn))

或根據(jù)平移￡求解

Q

已知函數(shù)網(wǎng)=麴@j+g)(Q0且30：0<^畤

X

77271丁

解析：由圖知凡=1,,下■-丁=,丁

<7代表一個(gè)最小酬對(duì)應(yīng)的演長(zhǎng))

所以丁=47■9)=2*，手以。=1

0J

將點(diǎn)(Y'⑴代入F-3g”)得Sin令+0)=-1

斫以玄+@=邛+2kx,keZ

因?yàn)镋x與

/

71

所以0=W

斫以函數(shù)解析式為危)=sin(x+1).

9另一種解法：

由圖可知此函數(shù)的圖