高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)歷年考點知識與題型專題講解32-正態(tài)分布(解析版)

1/16高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)歷年考點知識與題型專題講解正態(tài)分布考點一正態(tài)分布的特征【例1】（1）（2021·黑龍江鶴崗市·鶴崗一中高二期末（理））若隨機(jī)變量，且，則等于（）A． B． C． D．（2）（2021·黃石市有色第一中學(xué)高二期末）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)等于（）A． B． C． D．【答案】（1）A(2）B【解析】（1）由于隨機(jī)變量，則，因此，.故選：A.（2）∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關(guān)于x=4對稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選:B．【舉一反三】1．（2021·湖北宜昌市）某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績占近似服從正態(tài)分布，且．若該校有700人參加此次檢測，估計該校此次檢測數(shù)學(xué)成績不低于99分的人數(shù)為（）A．100 B．125 C．150 D．175【答案】D【解析】由題意，成績近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，又由，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以該市某校有700人中，估計該校數(shù)學(xué)成績不低于99分的人數(shù)為人，故選：D.2．（2021·山東青島市）某種芯片的良品率服從正態(tài)分布，公司對科技改造團(tuán)隊的獎勵方案如下：若芯片的良品率不超過，不予獎勵；若芯片的良品率超過但不超過，每張芯片獎勵元；若芯片的良品率超過，每張芯片獎勵元.則每張芯片獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望為（）元附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，得出，，所以，；，所以（元）故選：B3．（2021·江西景德鎮(zhèn)市）某市為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，組織全市10萬中小學(xué)生參加網(wǎng)絡(luò)古詩詞知識答題比賽，總分100分，經(jīng)過分析比賽成績，發(fā)現(xiàn)成績服從正態(tài)分布，請估計比賽成績不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為（）〖參考數(shù)據(jù)〗：，，A．2300 B．3170 C．3415 D．460【答案】A【解析】依題意知，所以則，所以比賽成績不小于90分的學(xué)生人數(shù)約為故選：A考點二正態(tài)分布的實際應(yīng)用【例2】（2021·安徽池州市）2020年新冠疫情以來，醫(yī)用口罩成為防疫的必需品.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標(biāo)準(zhǔn)，過濾率是生產(chǎn)醫(yī)用口罩的重要參考標(biāo)準(zhǔn)，對于直徑小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監(jiān)控某條醫(yī)用口罩生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10個醫(yī)用口置，檢測其過濾率，依據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，生產(chǎn)出的每個口罩彼此獨立.記表示一天內(nèi)抽取10個口罩中過濾率小于或等于的數(shù)量.（1）求的概率；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）一天內(nèi)抽檢的口罩中，如果出現(xiàn)了過濾率小于的口罩，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查維修，試問這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理嗎？附：若隨機(jī)變量，則，，，.【答案】（1）；（2）；（3）這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.【解析】（1）抽取口罩中過濾率在內(nèi)的概率，所以，所以，故（2）由題意可知，所以.（3）如果按照正常狀態(tài)生產(chǎn)，由（1）中計算可知，一只口罩過濾率小于或等于的概率，一天內(nèi)抽取的10只口覃中，出現(xiàn)過濾率小于或等于的概率，發(fā)生的概率非常小，屬于小概率事件.所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查維修.可見這種監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理.【舉一反三】1．（2020·全國高二課時練習(xí)）為了解一種植物的生長情況，抽取一批該植物樣本測量高度(單位：)，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求該植物樣本高度的平均數(shù)和樣本方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；（2）假設(shè)該植物的高度服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，利用該正態(tài)分布求.附：.若，則.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由題意可得平均數(shù)，（2）由（1）知，，從而所以.2．（2020·全國高二單元測試）某工廠生產(chǎn)某種零件，檢驗員每天從該零件的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；（2）下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：10.129.9710.019.9510.029.989.2110.0310.049.999.989.9710.019.9710.0310.11經(jīng)計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16.用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ＜x＜μ＋3σ)＝0.9974，0．997416≈0.9592，【答案】（1）0.0408；0.0416；（2）需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；10.01；0.05.【解析】(1)∵抽取的一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)內(nèi)的概率為0.9974，∴零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率為0.0026，故X～B(16,0.0026)．P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408；X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)，s≈0.20，得，.∵樣本數(shù)據(jù)可以看到有一個零件的尺寸在之外，∴需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.21之后，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得μ的估計值為10.01.∵，剔除之外的數(shù)據(jù)9.21之后，剩下數(shù)據(jù)的方差為，∴σ的估計值為.3．（2020·全國高二專題練習(xí)）現(xiàn)有甲、乙兩個規(guī)模一致的大型養(yǎng)豬場，均養(yǎng)有1萬頭豬．根據(jù)豬的體重，將其分為三個成長階段，如下表：階段幼年期成長期成年期體重根據(jù)以往經(jīng)驗，兩個養(yǎng)豬場內(nèi)豬的體重均近似服從正態(tài)分布．由于我國有關(guān)部門加強對大型養(yǎng)豬場即將投放市場的成年期的豬的監(jiān)控力度，高度重視其質(zhì)量保證，為了養(yǎng)出健康的成年期的豬，甲、乙兩個養(yǎng)豬場引入兩種不同的防控及養(yǎng)殖模式．已知甲，乙兩個養(yǎng)豬場內(nèi)一頭成年期的豬能通過質(zhì)檢合格的概率分別為．（1）試估算各養(yǎng)豬場三個階段的豬的數(shù)量；（2）已知甲養(yǎng)豬場出售一頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利400元，若為不合格的豬，則虧損200元；乙養(yǎng)豬場出售--頭成年期的豬，若為健康合格的豬，則可盈利500元，若為不合格的豬，則虧損100元記為甲，乙養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤，求隨機(jī)變量的分布列，假設(shè)兩個養(yǎng)豬場均能把成年期的豬售完，求兩個養(yǎng)豬場的總利潤的期望值．（參考數(shù)據(jù)：若，則）【答案】（1）幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭；（2）135450元.【解析】（1）設(shè)各階段豬的數(shù)量分別為，∵豬的體重近似服從正態(tài)分布，，（頭）；（頭）；，（頭）∴甲、乙兩個養(yǎng)豬場各有幼年期的豬215頭，成長期的豬9540頭，成年期的豬215頭．（2）隨機(jī)變量的所有可能取值為900，300，．，的分布列為900300（元），由于兩個養(yǎng)豬場均有215頭成年期的豬，且兩個養(yǎng)豬場各出售一頭成年期的豬所得的總利潤的期望為630元，則總利潤的期望為（元）．考點三正態(tài)分布與其他知識的綜合運用【例3】（2021·內(nèi)蒙古赤峰市）疫情防控期間，為了讓大家有良好的衛(wèi)生習(xí)慣某校組織了健康防護(hù)的知識測試（百分制）活動，活動結(jié)束后隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績，并計算得知這個學(xué)生的平均成績?yōu)椋渲袀€低分成績分別是、、、、；而產(chǎn)生的個高分成績分別是、、、、、、、、、．（1）為了評估該校的防控是否有效，以樣本估計總體，將頻率視為概率，若該校學(xué)生的測試得分近似滿足正態(tài)分布（和分別為樣本平均數(shù)和方差），則認(rèn)為防控有效，否則視為效果不佳．經(jīng)過計算得知樣本方差為，請判斷該校的疫情防控是否有效，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）規(guī)定：若，，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．（2）學(xué)校為了鼓勵學(xué)生對疫情防控的配合，決定對分及以上的同學(xué)通過抽獎的方式進(jìn)行獎勵，得分低于分的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會，不低于分的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會．每次抽獎獲得元獎金的概率是，獲得元的概率是．現(xiàn)在從這個高分學(xué)生中隨機(jī)選一名，記其獲獎金額為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）該校的疫情防控是有效的，理由見解析；（2）分布列見解析，87.5.【解析】（1）據(jù)該校的疫情防控是有效的，理由如下：，，，，，得分小于分的學(xué)生有個，得分大于分的有個，，學(xué)生的得分都在間，．學(xué)生得分近似滿足正態(tài)分布的概率分布，因此該校的疫情防控是有效的；（2）設(shè)這名同學(xué)獲得的獎金為，則的可能值為、、、，，，，，故的分布列為：．【舉一反三】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三月考（理））某學(xué)校工會積極組織學(xué)校教職工參與“日行萬步”健身活動，規(guī)定每日行走不足8千步的人為“不健康生活方式者”，不少于14千步的人為“超健康生活方式者”，其他為“一般健康生活方式者”.某日，學(xué)校工會隨機(jī)抽取了該校300名教職工的“日行萬步”健身活動數(shù)據(jù)，統(tǒng)計出他們的日行步數(shù)(單位：千步，且均在內(nèi))，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求被抽取的300名教職工日行步數(shù)的平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表，結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（2）由直方圖可以認(rèn)為該校教職工的日行步數(shù)服從正態(tài)分布，其中，為（1）中求得的平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2，求該校被抽取的300名教職工中日行步數(shù)的人數(shù)(結(jié)果四舍五入保留整數(shù)).（3）用樣本估計總體，將頻率視為概率.若工會從該校教職工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：“不健康生活方式者”給予精神鼓勵，獎勵金額每人0元；“一般健康生活方式者”獎勵金額每人100元；“超健康生活方式者”獎勵金額每人200元，求工會慰問獎勵金額X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【解析】（1）依題意得.（2）因為，所以，所以走路步數(shù)的總?cè)藬?shù)為.（3）由頻率分布直方圖知每人獲得獎勵為0元的概率為0.02，獎勵金額為100元的概率為0.88，獎勵金額為200元的概率為0.1.由題意知X的可能取值為0，100，200，300，400.；；；；.所以X的分布列為X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01.2．（2021·長沙市·湖南師大附中高二期末）國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了《城市生活垃圾分類制度實施方案》，規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，并且垃圾回收、利用率要達(dá)標(biāo)．某市在實施垃圾分類的過程中，從本市人口數(shù)量在兩萬人左右的類社區(qū)（全市共320個）中隨機(jī)抽取了50個進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下頻數(shù)分布表，并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為“超標(biāo)”社區(qū)．垃圾量頻數(shù)56912864（1）估計該市類社區(qū)這一天垃圾量的平均值；（2）若該市類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布，其中近似為50個樣本社區(qū)的平均值（精確到0.1噸），估計該市類社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中，這一天共有8個“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定從這8個“超標(biāo)”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來源．設(shè)這一天垃圾量不小于30.5噸的社區(qū)個數(shù)