高中數(shù)學(xué)第二章平面向量221向量加法運(yùn)算及其幾何意義課件省公開課一等獎(jiǎng)新課獲獎(jiǎng)?wù)n件

2.2平面向量線性運(yùn)算2.2.1向量加法運(yùn)算及其幾何意義1/46【知識(shí)提煉】1.向量加法(1)定義：_____________運(yùn)算.(2)法則：___________和_______________.(3)要求：對(duì)于零向量與任意向量a，要求a+0=0+a=a.2.向量加法運(yùn)算律(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).求兩個(gè)向量和三角形法則平行四邊形法則2/46【即時(shí)小測(cè)】1.思索以下問(wèn)題.(1)兩個(gè)向量相加結(jié)果可能是一個(gè)數(shù)量嗎？提醒：不能，實(shí)數(shù)相加結(jié)果是數(shù)，而向量含有方向，所以相加結(jié)果是向量.(2)兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量模相加，這種說(shuō)法對(duì)嗎？提醒：這種說(shuō)法是不正確.向量現(xiàn)有大小又有方向，在進(jìn)行向量相加時(shí)，不但要確定長(zhǎng)度還要確定向量方向.3/462.對(duì)任意四邊形ABCD，以下式子中不等于是()【解析】選C.A中，，B中，，C中，，D中，4/463.如圖，在正六邊形ABCDEF中=______.【解析】依據(jù)正六邊形性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等，我們輕易得到答案：5/46【知識(shí)探究】知識(shí)點(diǎn)1向量加法觀察圖形，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：三角形法則和平行四邊形法則使用條件有何不一樣？問(wèn)題2：共線向量怎樣進(jìn)行求和？問(wèn)題3：當(dāng)包括多個(gè)向量相加時(shí)，利用哪個(gè)法則求解？6/46【總結(jié)提升】1.對(duì)向量加法三角形法則和平行四邊形法則三點(diǎn)說(shuō)明(1)兩個(gè)法則使用條件不一樣.三角形法則適合用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適合用于兩個(gè)不共線向量求和.(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致.(3)在使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時(shí)需要注意兩個(gè)向量起點(diǎn)相同.7/462.向量求和多邊形法則(1)已知n個(gè)向量，依次首尾相接，則由起始向量起點(diǎn)指向末尾向量終點(diǎn)向量即為這n個(gè)向量和，這稱為向量求和多邊形法則.即(2)首尾順次相接若干向量求和，若組成一個(gè)封閉圖形，則它們和為0.8/46知識(shí)點(diǎn)2向量加法運(yùn)算律觀察圖形，回答以下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1：向量加法交換律中向量b能夠是零向量嗎？問(wèn)題2：向量加法平行四邊形法則適合任意兩個(gè)向量相加，這種說(shuō)法對(duì)嗎？問(wèn)題3：向量加法交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量還成立嗎？9/46【總結(jié)提升】1.對(duì)向量加法交換律說(shuō)明在圖1中平行四邊形ABCD中，，則故a+b=b+a.即向量加法滿足交換律.當(dāng)向量a，b最少有一個(gè)為零向量時(shí)，交換律顯然成立，當(dāng)a，b為非零向量且共線時(shí)，10/46(1)當(dāng)a，b同向時(shí)，向量a+b與a同向，且|a+b|=|a|+|b|；向量b+a與b同向，且|b+a|=|b|+|a|，故a+b=b+a.(2)當(dāng)a，b反向時(shí)，不妨設(shè)|a|>|b|，a+b與a同向，且|a+b|=|a|-|b|；b+a與a同向，且|b+a|=|a|-|b|，故a+b=b+a.11/462.對(duì)向量加法結(jié)合律說(shuō)明在圖2中，所以=(a+b)+c，=a+(b+c)，從而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法滿足結(jié)合律.3.向量加法運(yùn)算律推廣向量加法交換律和結(jié)合律對(duì)多個(gè)向量依然成立，恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律能夠?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算目標(biāo).如在進(jìn)行多個(gè)向量加法運(yùn)算時(shí)，能夠按照任意次序和任意組合進(jìn)行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).12/46【題型探究】類型一向量加法及幾何意義【典例】如圖1，圖2，圖3所表示，求作向量和.13/46【解題探究】典例圖1中a與b有何關(guān)系，圖2兩向量相加可采取哪種方法進(jìn)行？圖3三向量相加可采取哪種方法進(jìn)行？提醒：圖1中向量a與向量b共線，圖2中兩向量相加可采取三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行.圖3中三向量相加可采取三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行.14/46【解析】如圖中(1)，(2)所表示，首先作=a，然后作=b，則=a+b.15/46方法一：(三角形法則)：如圖(3)所表示，作=a，=b，則=a+b，再作=c，則=(a+b)+c，即=a+b+c.16/46方法二：(平行四邊形法則)：因?yàn)閍，b，c不共線，如圖(4)所表示．在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=a，=b，以為鄰邊作?OADB，則對(duì)角線=a+b，再作=c，以為鄰邊作?OCED.則=a+b+c.17/46【方法技巧】作向量和法則選取策略(1)三角形法則能夠推廣到n個(gè)向量求和，作圖時(shí)要求“首尾相連”.即n個(gè)向量首尾相連向量和對(duì)應(yīng)向量是第一個(gè)向量起點(diǎn)指向第n個(gè)向量終點(diǎn)向量.(2)平行四邊形法則只適合用于不共線向量求和，作圖時(shí)要求兩個(gè)向量起點(diǎn)重合.(3)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則實(shí)質(zhì)上是一致，三角形法則作出圖形是平行四邊形法則作出圖形二分之一，在多個(gè)向量加法中，利用三角形法則更為簡(jiǎn)便.18/46【變式訓(xùn)練】如圖，已知向量a，b，c，求作向量a+b或a+b+c.19/46【解析】①方法一：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，作=a，=b，則=a+b(如圖1).方法二：在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，且=a，=b，連接OC，則=a+b(如圖2).20/46②在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)O(如圖3)，作=a，=b，=c，則=a+b+c.21/46【誤區(qū)警示】做向量相等時(shí)要注意使向量所在直線平行，模相等，即方向相同、模相等.不論平面內(nèi)點(diǎn)O選在何處，對(duì)于首尾相連兩個(gè)和向量，它方向總是由第一向量起點(diǎn)指向第二向量終點(diǎn).22/46類型二向量加法及運(yùn)算律【典例】1.設(shè)a=0，b是任意非零向量，則在以下結(jié)論中，①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|.其中正確序號(hào)為________.2.化簡(jiǎn)以下各式：(1)(2)23/46【解題探究】1.典例1中解題依據(jù)是什么？進(jìn)行何種處理？提醒：依據(jù)向量平行、向量加法及|a+b|與|a|+|b|關(guān)系進(jìn)行解答.2.典例2中，向量加法混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該用向量加法交換律和結(jié)合律變形出哪些形式？提醒：向量相加首尾相接形式.24/46【解析】1.因?yàn)閍=0，所以0∥b

，①正確；0+b=b，③正確；|0+b|=|0|+|b|，⑤正確.答案：①③⑤2.(1)(2)25/46【方法技巧】向量加法運(yùn)算律意義和應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)(1)意義：向量加法運(yùn)算律為向量加法提供了變形依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算目標(biāo).實(shí)際上，因?yàn)橄蛄考臃M足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量加法運(yùn)算能夠按照任意次序、任意組合來(lái)進(jìn)行.(2)應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)：利用代數(shù)方法經(jīng)過(guò)向量加法交換律，使各向量“首尾相連”，經(jīng)過(guò)向量加法結(jié)合律調(diào)整向量相加次序.26/46【變式訓(xùn)練】如圖，在平行四邊形ABCD中，(1)=_______.(2)=__________.(3)=__________.27/46【解析】(1)(2)(3)答案：28/46類型三向量加法實(shí)際應(yīng)用【典例】1.作用在同一物體上兩個(gè)力F1=60N，F(xiàn)2=80N，當(dāng)它們夾角為90°時(shí)，則這兩個(gè)力協(xié)力為________.2.在靜水中船速度為20m/min，水流速度為10m/min，假如船從岸邊出發(fā)沿垂直于水流航線抵達(dá)對(duì)岸，求船行進(jìn)方向.29/46【解題探究】1.典例1中，求這兩個(gè)力協(xié)力實(shí)質(zhì)是什么？提醒：求這兩個(gè)力協(xié)力就是求向量F1+F2.2.典例2中，水流速度及船實(shí)際航行速度可用向量加法什么法則？提醒：因?yàn)楹叫蟹较蚺c水流方向不共線.所以需要利用向量加法平行四邊形法則對(duì)相關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算.30/46【解析】1.如圖所表示：表示力F1，表示力F2，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則是F1和F2協(xié)力.在△AOC中，||=60，||=||=80且OA⊥AC，則即協(xié)力大小為100N.答案：100N31/462.作出圖形如圖：船速v船與岸方向所成角度為α，由圖示可知v水+v船=v實(shí)際，結(jié)合已知條件，可知四邊形ABCD為平行四邊形.32/46在Rt△ABC中，=v水=10m/min，=v船=20m/min，所以cosα=，所以α=60°，即船行進(jìn)方向與水流方向成120°角.33/46【延伸探究】1.(改變問(wèn)法)若將本例2條件不變，則經(jīng)過(guò)3小時(shí)，該船實(shí)際航程是多少千米？34/46【解析】如圖所表示：表示水流速度，表示船在靜水中速度，則表示船實(shí)際速度.則=0.6km/h，=1.2km/h，∠AOB=120°，則∠CBO=60°，又因?yàn)椤螦OC=∠BCO=90°，所以=0.6km/h，所以船實(shí)際航程為0.6×3km=1.8km.35/462.(改變問(wèn)法)或本例2條件不變，改為若船沿垂直水流方向航行，求船實(shí)際行進(jìn)方向正切值.36/46【解析】如圖所表示：v水=，v船=，則表示實(shí)際速度，在Rt△ABD中，tan∠BAD=所以，船實(shí)際行進(jìn)方向與水流方向所成角正切值為2.37/46【方法技巧】1.應(yīng)用向量處理平面幾何問(wèn)題基本步驟(1)表示：用向量表示相關(guān)量，將所要解答問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法平行四邊形法則和三角形法則，將相關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題.(3)還原：依據(jù)向量運(yùn)算結(jié)果，結(jié)合向量共線，相等等概念回答原問(wèn)題.38/462.與向量相關(guān)實(shí)際問(wèn)題處理策略(1)力合成是一類經(jīng)典向量求和問(wèn)題.(2)解題時(shí)先要依據(jù)題意作出對(duì)應(yīng)圖形，再利用平行四邊形或三角形知識(shí)解題.(3)最終將向量問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題作答.39/46【賠償訓(xùn)練】在重300N物體上系有兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線兩側(cè)，與鉛垂線夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力大小.40/46【解析】在如圖所表示平行四邊形中，∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△AOC中，∠ACO=60°，∠CAO=90°，所以=

·cos30°=N，所以與鉛垂線成60°角繩子拉力是150N，成30°角繩子拉力是N.41/46易錯(cuò)案例向量加法應(yīng)用【典例】小船以10km/h靜水速度按垂直于對(duì)岸