第03講 內(nèi)切球與外接球（八大題型）（解析版）

第03講內(nèi)切球與外接球【題型歸納目錄】題型一：正方體、長方體外接球題型二：正四面體外接球題型三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球題型四：直棱柱外接球題型五：直棱錐外接球題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球題型七：垂面模型外接球題型八：錐體內(nèi)切球【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．2、長方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長的一半．3、補(bǔ)成長方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為.知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題.如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以.知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑.解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②.知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐外接球正棱錐外接球半徑：.由此推廣：側(cè)棱相等的錐體外接球半徑：知識(shí)點(diǎn)七：垂面模型外接球如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2知識(shí)點(diǎn)八：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即【典例例題】題型一：正方體、長方體外接球【例1】（2023·天津·高一統(tǒng)考期中）已知棱長為2的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則該球的表面積為（

）A．π B．2π C．4π D．12π【答案】D【解析】設(shè)該球的半徑為，由題意可知，該球的直徑為棱長為2的正方體的體對(duì)角線，則，所以，則該球的表面積，故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·河南洛陽·高一?？计谥校┤粢粋€(gè)長方體的長?寬?高分別為4，，2，且該長方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，長方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即球心即為體對(duì)角線交點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線的一半，即球的半徑，則球的表面積.故選：D題型二：正四面體外接球【例2】（2023·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┮阎拿骟w的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】正四面體的外接球表面積為，，解得（負(fù)值舍去），設(shè)四面體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，則是底面的重心，連接，則外接球的球心在上，設(shè)為，連接，則，，則，所以，在直角中，，即，即，得，得（舍或.故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知正四面體的外接球體積為，則正四面體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，正四面體的外接球半徑為，由題意可得，解得，所以，正四面體的棱長為，因此，正四面體的表面積為.故選：C.題型三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球【例3】（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知三棱錐，，，，則三棱錐外接球的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將三棱錐補(bǔ)成長方體，計(jì)算出該長方體的體對(duì)角線長，即為三棱錐的外接球直徑，利用球體的體積公式可求得結(jié)果.如下圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，，，則三棱錐的外接球直徑為，由勾股定理可得，上述三個(gè)不等式全加得，解得，因此，三棱錐的外接球的體積為.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·河北邢臺(tái)·高一?？计谀┰谌忮F中，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以可以將三棱錐如圖放置于一個(gè)長方體中，設(shè)長方體的長寬、高分別為a，b，c，則有整理得，則該棱錐外接球的半徑，球．故選：C．題型四：直棱柱外接球【例4】（2023·重慶·高一校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積為，，則此直三棱柱的高是（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】設(shè)外接圓得圓心為，半徑為，直三棱柱得高為，直三棱柱外接球得球心為，半徑為，則，且平面，由正弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即直三棱柱得高?故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·安徽·高一安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積是的球面上，且，則此直三棱柱的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，因?yàn)?，所?于是（是外接圓的半徑），.又球心到平面的距離等于側(cè)棱長的一半，所以球的半徑為.所以球的表面積為，解得.因此.于是直三棱柱的表面積是.故選：D.題型五：直棱錐外接球【例5】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考期中）已知三棱錐，底面ABC，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，，由余弦定理可得：，則，所以.所以，則為直角三角形，三棱錐補(bǔ)形為長方體，如下圖，

所以，此三棱錐的外接球直徑即為長方體的體對(duì)角線為，故三棱錐外接球的體積為．故選：A．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·湖南衡陽·高一湖南省祁東縣第二中學(xué)校考期中）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將三棱錐放在一個(gè)長方體中，如圖所示，則是長方體外接球的直徑，因?yàn)槭侵苯侨切?，且，所以，所以球的直徑，所以半徑為，球的表面積為.

故選：C題型六：正棱錐外接球以及側(cè)棱相等錐體的外接球【例6】（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？计谥校┮阎忮F，各棱長均為，則其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由是正三棱錐，底面是正三角形，邊長為，則高線的投影在底面正三角形的重心上，則外接球的球心在高線上，且到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，如圖，取的中點(diǎn)，連接，過作平面，且垂足為，則，由，則在中，有，所以，則在中，有，設(shè)外接球的半徑為，則，即，解得，故外接球的體積為．故選：C．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·安徽池州·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱長為，底面邊長為4，則球O的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)為正三角形的中心，連接，則平面，球心在上，設(shè)球的半徑為，連接，∵正三角形的邊長為4，∴，又∵，∴在中，，在中，，，，∴，解得，∴球的表面積為．故選：D．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·重慶巴南·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┰谌忮F中，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，所以，又，且，平面，所以平面，故三棱錐的外接球在過底面外接圓圓心且垂直于底面的直線上，由正弦定理，可得外接圓的半徑為，所以三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，即三棱錐外接球的表面積為.故選：B.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2023·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知是正三棱錐，設(shè)是正棱錐的高，由外接球球心在上，如圖，設(shè)外接球半徑為，又，則，由得，解得，所以表面積為．故選：D．題型七：垂面模型外接球【例7】（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考期末）在三棱錐中，平面平面ABC，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．54π B．48π C．42π D．36π【答案】B【解析】，所以的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),，為等邊三角形，連接，，平面平面ABC，平面平面ABC=BC，面ABC，面，則球心一定在直線AN上.為等邊三角形，可知O為的外心，則O為該三棱錐外接球的球心．因?yàn)?，所以，則該三棱錐外接球的半徑為．故該三棱錐外接球的表面積為．故選：B【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2023·河北滄州·高一?？计谥校┰谌忮FP-ABC中，平面PAB⊥平面ABC.，，，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)E，BC的中點(diǎn)D，連接PE，△PAB是等邊三角形，則.因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，平面平面，平面PAB，所以PE⊥平面ABC，又平面ABC，所以.過D作OD⊥平面ABC，則.因?yàn)?，所以三棱錐P-ABC的外接球的球心在DO上，設(shè)球心為O，連接OB，OP，設(shè)外接球半徑為R，由已知，.，，在直角梯形PEDO中，，

，，所以三棱錐P-ABC外接球的表面積.故選:C.題型八：錐體內(nèi)切球【例8】（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）已知正三棱錐中，，，，則正三棱錐內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槿忮F為正三棱錐，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，得，得，所以，設(shè)點(diǎn)為的重心，由，所以,設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，設(shè)為正三棱錐內(nèi)切球的球心，因?yàn)?，所以，所以，解得故選：C

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】（2023·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)面面積分別為，則該三棱錐內(nèi)切球的半徑為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由題意，可得，解得，，由勾股定理可得，，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則，且，所以，即.設(shè)該三棱錐內(nèi)切球的球心為，半徑為，由，即，即，解得.故選：D.【真題演練】1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)?，所以，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）若棱長為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C.5．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.7．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是______.【答案】【解析】球的體積為：,故答案為：8．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________．【答案】【解析】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？计谥校┌岩粋€(gè)鐵制的底面半徑為，側(cè)面積為的實(shí)心圓柱熔化后鑄成一個(gè)球，則這個(gè)鐵球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)實(shí)心圓柱的高為，因?yàn)閷?shí)心圓柱的底面半徑為，側(cè)面積為，解得，則圓柱的體積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，因此，該鐵球的表面積為.故選：A.2．（2023·陜西·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因?yàn)橐欢巍鞍咽纸o我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如果一個(gè)半球的半徑為3，那么這個(gè)半球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)半球的半徑為，則，所以這個(gè)半球的表面積，故選：C.3．（2023·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為的等腰三角形，則正四棱錐的外接球的體積為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示設(shè)外接球的球心為O，半徑為R，底面中心為E，連接SE，BO，BE，因?yàn)樵谡睦忮F中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是腰長為的等腰三角形，所以，在中，，即，解得，所以外接球的體積為，故選：C4．（2023·天津和平·高一耀華中學(xué)?？计谥校┮阎虻膬?nèi)接三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，長度分別為和，則此球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得，球的內(nèi)接三棱錐即三棱錐的外接球即長寬高分別為和的長方體的外接球，又長方體的體對(duì)角線長為外接球的直徑，所以球的半徑，球的體積為.故選：D.5．（2023·河南鄭州·高一?？计谥校┮阎獔A柱的高為2，側(cè)面積為，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圓柱側(cè)面積，解得，因?yàn)閳A柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，所以球心在圓柱高的中點(diǎn)處，設(shè)球半徑為，則由，所以,故選：A6．（2023·山東青島·高一青島二中校考期中）已知球與一正方體的各條棱相切，同時(shí)該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（

）A．2：3 B．3：2 C． D．【答案】A【解析】設(shè)正方體棱長為，因?yàn)榍蚺c正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對(duì)角線長度，即半徑；正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對(duì)角線長度，即半徑；所以球與球的表面積之比為.故選：A.7．（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因?yàn)橐欢巍鞍咽纸o我”的短視頻而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其腳下的半球形工具.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，這個(gè)內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，那么這個(gè)半球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)半球的半徑為，連接交于點(diǎn)，連接，則，則，∵內(nèi)接正四棱錐的高與半球的半徑相等且體積為，∴四棱錐的體積，所以，所以這個(gè)半球的表面積.故選：B.

8．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐中，底面邊長，側(cè)棱，在該四棱錐的內(nèi)部有一個(gè)小球，則小球表面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)小球與正四棱錐各面相切時(shí)半徑最大，此時(shí)小球表面積的最大，設(shè)小球的半徑為，

由底面邊長，側(cè)棱，可得正四棱錐的高，所以，又側(cè)面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、多選題9．（2023·福建廈門·高一廈門一中?？计谥校┮阎獔A臺(tái)的上底半徑為1，下底半徑為3，球O與圓臺(tái)的兩個(gè)底面和側(cè)面都相切，則（

）A．圓臺(tái)的母線長為4 B．圓臺(tái)的高為4C．圓臺(tái)的表面積為 D．球O的表面積為【答案】ACD【解析】設(shè)梯形ABCD為圓臺(tái)的軸截面，則內(nèi)切圓為圓臺(tái)內(nèi)切球的大圓，如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，半徑分別為，則共線，且，連接，則分別平分，故，，故，即，解得，母線長為，故A正確；圓臺(tái)的高為，故B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的表面積為，故C正確；球O的表面積為，故D正確.故選：ACD.10．（2023·湖南株洲·高一校聯(lián)考期中）正四棱錐的底面邊長為，外接球的表面積為，則正四棱錐的高可能是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】依題意外接球的球心可能在錐內(nèi)，也可能在錐外，如果在錐內(nèi)如下圖：其中是正方形ABCD的中心，O是外接球的球心，∵是正四棱錐，平面ABCD，，設(shè)外接球的半徑為R，則，，在中，，；如果在錐外，如下圖：；故選：CD.11．（2023·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中?？计谥校┮阎襟w的棱長為，則（

）A．正方體的外接球體積為 B．正方體的內(nèi)切球表面積為C．與異面的棱共有4條 D．三棱錐與三棱錐體積相等【答案】ACD【解析】∵正方體外接球的半徑,內(nèi)切球的半徑∴正方體的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為A正確，B不正確；與異面的棱有，共有4條，C正確；∵，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；故選：ACD．12．（2023·吉林長春·高一長春市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，棱長為2的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，O為線段的中點(diǎn)，球O的表面正好經(jīng)過點(diǎn)M，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面B．球O的體積為C．球O被平面截得的截面面積為D．球O被正四面體表面截得的截面周長為【答案】ABD【解析】設(shè)分別為的中點(diǎn)，連接，則,故，則四邊形為平行四邊形，故交于一點(diǎn)，且互相平分，即O點(diǎn)也為的中點(diǎn)，又，故,平面，故平面，由于平面，則平面，故，結(jié)合O點(diǎn)也為的中點(diǎn)，同理可證,平面，故平面，A正確；由球O的表面正好經(jīng)過點(diǎn)M，則球O的半徑為,棱長為2的正四面體中，，M為的中點(diǎn)，則，故,則，所以球O的體積為，B正確；由平面，平面，故平面平面，平面平面，由于平面，延長交平面于G點(diǎn)，則平面，垂足G落在上，且G為正的中心，故，所以，故球O被平面截得的截面圓的半徑為，則球O被平面截得的截面圓的面積為，C錯(cuò)誤；由A的分析可知，O也為棱中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則球O與每條棱都交于棱的中點(diǎn)，結(jié)合C的分析可知，球O被正四面體的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為，故球O被正四面體表面截得的截面周長為，D正確，故選：ABD三、填空題13．（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期中）已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，則這個(gè)球的表面積為__________.【答案】【解析】由題意知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，故正四棱柱的底面積為8，則底面正方形邊長為，又因?yàn)檎睦庵捏w對(duì)角線長即為其外接球的直徑，故外接球半徑為，故這個(gè)球的表面積為，故答案為：14．（2023·貴州貴陽·高一貴陽市白云興農(nóng)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某幾何體的形狀類似膠囊，兩頭都是半球，中間是圓柱，其中圓柱的底面半徑與半球的半徑都為1，若該幾何體的表面積為，則其體積為________________.

【答案】【解析】依題意，幾何體可視為半徑為1的球和底面圓半徑為1，高為的圓柱組合而成，于是幾何體的表面積，解得，所以該幾何體的體積.故答案為：15．（2023·安徽合肥·高一校聯(lián)考期中）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為，則其外接球的表面積是______．【答案】【解析】如圖所示，可把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，則三棱錐的外接球與該長方體