【壓軸專練】專題09 圓切線的兩種證明方法（解析版）-2021-2022學(xué)年九上壓軸題攻略

專題09圓切線的兩種證明方法方法一、有切點(diǎn)、連半徑、證垂直例1．如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）連接，，，又，，，又，，即，，即，是的切線，（2）連接，得，∵AB=AC，是的中點(diǎn)，∴BD=CD，在Rt△ABD中，，∴，，∵，，∴∠DEC=∠ADC=90°，∵∠C+∠CDE=∠C+∠DAC=90°，∴∠CDE=∠DAC，，，即，．【變式訓(xùn)練1】如圖，PA是以AC為直徑的☉O的切線，切點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作AB⊥OP，交☉O于點(diǎn)B．（1）求證：PB是☉O的切線；（2）若AB＝6，，求PO的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：連接OB，∵PA是以AC為直徑的☉O的切線，切點(diǎn)為A，∴∠PAO＝，∵OA＝OB，AB⊥OP，∴∠POA＝∠POB，又OP＝OP，∴△PAO△PBO，∴∠PBO＝∠PAO＝，即OB⊥PB，∴PB是☉O的切線；（2）解：設(shè)OP與AB交于點(diǎn)D．，∵AB⊥OP，AB＝6，∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝，∵，∴PA＝5，∴PD＝，在Rt△APD和Rt△APO中，∵，∴，∴．【變式訓(xùn)練2】如圖，是的外接圓，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接、，的平分線交于點(diǎn)M．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）2【解析】（1）證明：連接OD，如圖，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF為⊙O的切線；（2）設(shè)BC、AD交于點(diǎn)N，∵，，，∴，∴DN=，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴∠BAD=∠CAD=∠CBD，又∵∠BDN=∠ADB，∴，∴，即：，∴BD=2，∵的平分線交于點(diǎn)M，∴∠ABM=∠CBM，∴∠ABM+∠BAD=∠CBM+∠CBD，即：∠BMD=∠DBM，∴DM=BD=2．【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，以上一點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，交，分別于，兩點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴為的切線；（2）解：∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)圓的半徑為，則，∵，∴，∴，解得．方法二、無切點(diǎn)、作垂直、證半徑例1.如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝4，BC＝9，求OD的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，如圖，∵AM切⊙O于點(diǎn)A，∴OA⊥AD，∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA為⊙O的半徑，∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過D作DF⊥BC于F，如圖，∵AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四邊形ABFD為矩形，∴BF＝AD＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5，∵DC、AM、BC為圓的切線，∴DA＝DE＝4，CE＝CB＝9，∴DC＝AD+BC＝13，在Rt△DCF中，DF=DC2-CF2=12，∴在Rt△OAD中，OD=OA2【變式訓(xùn)練1】如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D，OB與⊙O相交于點(diǎn)E．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BD=3，BE＝1【解析】（1）證明：連接OD，作OF⊥AC于F，如圖，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AB，而OF⊥AC，∴OF＝OD，∴AC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△BOD中，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝OE＝r，∴r2+（3）2＝（r+1）2，解得r＝1，∴OD＝1，OB＝2，∴∠B＝30°，∠BOD＝60°，∴∠AOD＝30°，在Rt△AOD中，AD=33OD∴陰影部分的面積＝2S△AOD﹣S扇形DOF＝2×12×【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，點(diǎn)P在∠ABC平分線上，以點(diǎn)P為圓心作⊙P．（1）如圖，當(dāng)⊙P經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求證：⊙P與直線AB相切；（2）當(dāng)⊙P同時(shí)與直線BC、AC相切時(shí)，求⊙P的半徑．【答案】（1）見解析；（2）1或3【詳解】證明：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD垂直AB，交AB于D點(diǎn)，∵AB＝5，BC＝3，CA＝4，∴，∴∠ACB＝90°，∴PC⊥BC，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PD⊥AB，∴PC＝PD＝r，∴⊙P與直線AB相切．（2）如圖，當(dāng)⊙P同時(shí)與直線BC、AC相切時(shí)，點(diǎn)P在∠ACB或∠ACM的角平分線上存在兩種情況：①當(dāng)圓心在△ABC內(nèi)部，即⊙P1分別與直線BC、AC相切時(shí)，∴P1G＝P1F＝P1E＝r，P1G⊥BC，P1E⊥AB，P1F⊥AC，∴＝＝，∴，②當(dāng)圓心在△ABC外部，⊙P2分別與直線BC、AC相切時(shí)，∴P2M＝P2N＝P2Q＝R，P2M⊥BC，P2Q⊥AB，P2N⊥AC，∴S△ABC＝，∴，綜上，⊙P的半徑為1或3．【變式訓(xùn)練3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，以O(shè)為圓心，OC為半徑作⊙O．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）已知AO交⊙O于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，tanD＝，求；（3）在（2）的條件下，設(shè)⊙O的半徑為3，求AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF，∴AB是⊙O的切線；（2）如圖，連接CE，∵ED是⊙O的直徑，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO+∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D＝，∴，∴；（3）由（2）可知：，∴設(shè)AE＝x，AC＝2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2＝AE?AD，∴（2x）2＝x（x+6），解得：x＝2或x＝0（不合題意，舍去），∴AE＝2，AC＝4，由（1）可