2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下梯度提能十九平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義新人教A版必修4

PAGE1-課下梯度提能（十九）一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)練一向量數(shù)量積的運(yùn)算1．下列命題：(1)若a≠0，a·b＝a·c，則b＝c；(2)(a·b)·c＝a·(b·c)對(duì)隨意向量a，b，c都成立；(3)對(duì)任一向量a，有a2＝|a|2.其中正確的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(3,2)，則a·b為()A.eq\f(9,2)B．3C．2D.eq\f(1,2)對(duì)點(diǎn)練二向量的模4．若非零向量a與b的夾角為eq\f(2π,3)，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，則向量a的模為()A．2B．4C．6D．125．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________6．已知非零向量a，b，滿意a⊥b，且a＋2b與a－2b的夾角為120°，則eq\f(|a|,|b|)＝________．對(duì)點(diǎn)練三兩向量的夾角與垂直問(wèn)題7．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為(A．－6B．6C．3D．－38．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq\r(5)b，則cos〈a，c〉＝________.9．設(shè)向量a，b滿意|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)．若a與b的夾角為60°，則k＝________．10．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,4)，(a＋b)·(a－b)＝eq\f(1,2).(1)求|b|的值；(2)求向量a－b與a＋b夾角的余弦值．二、綜合過(guò)關(guān)訓(xùn)練1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a與b的夾角θ＝45°，則向量a在向量b上的投影為()A.eq\f(3\r(2),2)B．3C．4D．52．設(shè)向量a，b滿意|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b＝()A．1B．2C．3D．5A．2eq\r(3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\r(3)5．已知平面對(duì)量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．6．已知a，b是兩個(gè)非零向量，同時(shí)滿意|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b的夾角．7．已知a，b是非零向量，t為實(shí)數(shù)，設(shè)u＝a＋tb.(1)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，求實(shí)數(shù)t的值；(2)當(dāng)|u|取最小值時(shí)，向量b與u是否垂直？答案[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]1.解析：選B(1)(2)不正確，(3)正確．2.解析：選A∵|a|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).3.4.解析：選A由已知得，a2＋a·b－2b2＝－32，∴|a|2＋|a|×4×coseq\f(2π,3)－2×42＝－32.解得|a|＝2或|a|＝0(舍)．5.解析：|5a－b|＝eq\r(|5a－b|2)＝eq\r(（5a－b）2)＝eq\r(25a2＋b2－10a·b)＝eq\r(25＋9－10×1×3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝7.答案：76.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4b2)，|a－2b|＝eq\r(a2＋4b2).故cos120°＝eq\f(（a＋2b）·（a－2b）,|a＋2b||a－2b|)＝eq\f(a2－4b2,（\r(a2＋4b2)）2)＝eq\f(a2－4b2,a2＋4b2)＝－eq\f(1,2)，得eq\f(a2,b2)＝eq\f(4,3)，即eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)7.解析：選B由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，即2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos90°－12＝0，即k＝6.故選8.解析：∵c2＝(2a－eq\r(5)b)2＝4a2－4eq\r(5)a·b＋5b∴|c|＝3.又∵a·c＝a·(2a－eq\r(5)b)＝2a2－eq\r(5)a·b＝2，∴cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9.解析：∵|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)∴k2＋1＋k＝3(1＋k2－k)．即k2－2k＋1＝0，∴k＝1.答案：110.解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝eq\f(1,2).∵|a|＝1，∴1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＝1，∴|a＋b|＝eq\r(2)，|a－b|＝1.令a＋b與a－b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(（a＋b）·（a－b）,|a＋b||a－b|)＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),4)，即向量a－b與a＋b夾角的余弦值是eq\f(\r(2),4).二、綜合過(guò)關(guān)訓(xùn)練1.解析：選A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，而向量a在向量b上的投影為|a|cosθ＝3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2).2.解析：選A∵|a＋b|＝eq\r(10)，∴(a＋b)2＝10，即a2＋b2＋2a·b＝10.∵|a－b|＝eq\r(6)，∴(a－b)2＝6，即a2＋b2－2a·b＝6.由①②可得a·b＝1，故選A.3.4.解析：畫出圖形知△ABC為直角三角形，且∠ABC＝90°，＝0＋4×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋5×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－25.答案：－255.解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0，2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝eq\r(10).答案：eq\r(10)6.解：依據(jù)|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，又由|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2∴a·b＝eq\f(1,2)|a|2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2∴|a＋b|＝eq\r(3)|a|.設(shè)a與a＋b的夾角為θ.則cosθ＝eq\f(a·（a＋b）,|a||a＋b|)＝eq\f(|a|2＋\f(1,2)|a|2,|a|·\r(3)|a|)＝eq\f(\r(3),2).∴θ＝30°.7.解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2＝|b|2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2)))eq\s\up12(2)＋|a|2－eq\f