所有初中、高中數(shù)學(xué)公式

初中數(shù)學(xué)全部重點公式

乘法與因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式|a+b|<|a|+|b||a-b|<|a|+|b||a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|-|a|<a<|a|

一元二次方程的解-b+d(b2-4ac)/2a-b-V(b2-4ac)/2a

根與系數(shù)的關(guān)系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韋達(dá)定理

判別式

b2-4ac=0注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0注：方程沒有實根，有共枕復(fù)數(shù)根

三角函數(shù)公式

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=比(1-cosA)/2)sin(A/2)=?((1-cosA)/2)

COS(A/2)=A/((1+COSA)/2)COS(A/2)=-A/((1+COSA)/2)

tan(A/2)=4((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-^((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=V((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-^((1+cosA)/((1-cosA))

和差化積

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些數(shù)列前n項和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+1)2/4

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h

正棱錐側(cè)面積S=1/2c*h'正棱臺側(cè)面積S=1/2(c+c')h'

圓臺側(cè)面積S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2

圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=1/2*c*l=pi*r*l

弧長公式l=a*ra是圓心角的弧度數(shù)r>0扇形面積公式s=1/2*l*r

錐體體積公式V=1/3*S*H圓錐體體積公式V=1/3*pi*r2h

斜棱柱體積V=S'L注：其中S是直截面面積，L是側(cè)棱長

柱體體積公式V=s*h圓柱體V=pi*r2h

1過兩點有且只有一條直線

2兩點之間線段最短

3同角或等角的補(bǔ)角相等

4同角或等角的余角相等

5過一點有且只有一條直線和已知直線垂直

6直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短

7平行公理經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

8如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行

9同位角相等，兩直線平行

10內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

12兩直線平行，同位角相等

13兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

15定理三角形兩邊的和大于第三邊

16推論三角形兩邊的差小于第三邊

17三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

18推論1直角三角形的兩個銳角互余

19推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

24推論(AAS)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

25邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

27定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60。

34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等

(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有?個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30。那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

42定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在對稱

軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直

線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即"2+鏟2=82

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系aA2+b"2=cA2,那么這個三角

形是直角三角形

48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66菱形面積=對角線乘積的一半，即$=(axb)+2

67菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68菱形判定定理2對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

69正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組

對角

71定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某?點，并且被這一

點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75等腰梯形的兩條對角線相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77對角線相等的梯形是等腰梯形

78平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段

相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第

三邊

81三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它

的一半

82梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的

一半L=(a+b)+2S=Lxh

83(1)比例的基本性質(zhì)如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果ad=bc,那么a:b=c:d

84(2)合比性質(zhì)如果a/b=c/d,那么(a土b)/b=(c±d)/d

85(3)等比性質(zhì)如果a/b=c/d=...=m/n(b+d+...+nH0),那么

（a+c+...+m）/（b+d+...+n）=a/b

86平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)

線段成比例

87推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例

88定理如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這

條直線平行于三角形的第三邊

89平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形

三邊對應(yīng)成比例

90定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與

原三角形相似

91相似三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）

92直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似

93判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）

94判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）

95定理如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三

角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似

96性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平

分線的比都等于相似比

97性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比

98性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方

99任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等

于它的余角的正弦值

100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等

于它的余角的正切值

101圓是定點的距離等于定長的點的集合

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104同圓或等圓的半徑相等

105到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半

徑的圓

106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直

平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距

離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的--條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦

相等，所對的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所

對的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它

的內(nèi)對角

121①直線L和。。相交d<r

②直線L和。。相切d=r

③直線L和。。相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

129推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積

相等

131推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的

兩條線段的比例中項

132切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割

線與圓交點的兩條線段長的比例中項

133推論從圓外一點引圓的兩條割線，這--點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相

等

134如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d〈R-r(R>r)

136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

137定理把圓分成n(n23):

⑴依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形

138定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

139正n邊形的每個內(nèi)角都等于(n-2)xi80°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形

141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長

142正三角形面積43a/4a表示邊長

143如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為

360°,因此kx(n-2)18(T/n=360。化為(n-2)(k-2)=4

144弧長計算公式：L=n兀R/180

145扇形面積公式：S扇形=n兀R"2/360=LR/2

146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

1、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

2、兩直線平行，同位角相等

3、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

4、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

5、定理三角形兩邊的和大于第三邊

6、推論三角形兩邊的差小于第三邊

7、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°

8、推論1直角三角形的兩個銳角互余

9、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

10、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

11、全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

12、邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

13、角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

14、推論(AAS)有兩角和其中?角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

15、邊邊邊公理(SSS)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

16、斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和?條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

17、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

18、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

19、角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合

20、等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

21、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

22、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合

23、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°

24、等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相

等(等角對等邊)

25、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

26、推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

27、在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

28、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

29、定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

30、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

31、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

32、定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

33、定理2如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

34、定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點在

對稱軸上

35、逆定理如果兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這

條直線對稱

36、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a~2+b-2=>2

37、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a~2+b-2=c”2,那么這個三

角形是直角三角形

38、定理四邊形的內(nèi)角和等于360°

39、四邊形的外角和等于360°

40、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)X180°

41、推論任意多邊的外角和等于360°

42、平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

43、平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

44、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

45、平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線互相平分

46、平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

47、平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

48、平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

49、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

50、圓是定點的距離等于定長的點的集合

51、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

52、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

53、同圓或等圓的半徑相等

54、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

55、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

56、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

57、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

58、定理不在同一直線上的三點確定一個圓。

59、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

60推論1①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

61、推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

62、3圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

63、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦

心距相等

64、推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組

量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

65、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

66、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相

等

67、推論2半圓（或直徑）所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑

68、推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

69、定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

70、①直線L和。0相交d

②直線L和。0相切d=r

③直線L和。0相離d>r

71、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

72、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

73、推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

74、推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

75、切線長定理從圓外?點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線

平分兩條切線的夾角

76、圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等

77、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

78、推論如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等

79、相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等

80、推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項

81、切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線

段長的比例中項

82、推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積

相等

83、如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

84、定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

85、定理任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

1元素與集合的關(guān)系:xexiCb,A,xeCb,A=xeZ.00A<^>A^0

2集合｛《,%，…，4｝的子集個數(shù)共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；非空

的真子集有2"-2個.

3二次函數(shù)的解析式的三種形式:

(1)一f(x)=ax2+bx+c(a0);

(2)頂點式/(x)="(x-?2+A(aw0);(當(dāng)已知拋物線的頂點坐標(biāo)仇外時，設(shè)為此式)

(3)零點式/(x)=a(x-M)(X-X2)9W0)；(當(dāng)已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為

(再,0),(%,0)時,設(shè)為此式)

(4)切線式：/(x)=4(x-x())2+(Ax+d),(awO)。(當(dāng)已知拋物線與直線y=Ax+d相切且

切點的橫坐標(biāo)為x。時，設(shè)為此式)

4真值表：同真且真，同假或假

5常見結(jié)論的否定形式;

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個一個也沒有

都是不都是至多有一個至少有兩個

大于不大于至少有〃個至多有(/7-1)個

小于不小于至多有〃個至少有(〃+1)個

對所有X,成立存在某X,不成立p或g—ip且—\C[

對任何X,不成存在某X,成立。且4r7或f

立

6四種命題的相互關(guān)系(下圖)：(原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.)

充要條件：(1)、pnq則P是q的充分條件，反之，q是P的必要條件;

(2)、pnq,且qW>p,則P是q的充分不必要條件;

(3)、pW>p,且q=>p,則P是q的必要不充分條件;

4、pW>p,且qW>p,則P是q的既不充分又不必要條件。

7函數(shù)單調(diào)性：

增函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而增大。

(2)、數(shù)學(xué)符號表述是：設(shè)f(x)在x《D上有定義，若對任意的不々e。，且^<馬,

都有

/區(qū))</(4)成立，則就叫f(x)在x《D上是增函數(shù)。D則就是f(x)的遞增

區(qū)間。

減函數(shù)：(1)、文字描述是：y隨x的增大而減小。

(2)、數(shù)學(xué)符號表述是：設(shè)f(x)在xWD上有定義，若對任意的知々e。，且須</,

都有

/區(qū))>/(々)成立，則就叫f(x)在xeD上是減函數(shù)。D則就是f(x)的遞減

區(qū)間。

單調(diào)性性質(zhì)：(1)、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；(2)、減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；

(3)、增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；(4)、減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

注：上述結(jié)果中的函數(shù)的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函數(shù)定義域的交集。

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：

數(shù)單調(diào)性

單調(diào)

內(nèi)層函數(shù)tfI

外層函數(shù)tIf

復(fù)合函數(shù)ttII

等價關(guān)系:

(1)設(shè)為,工2￡[白力],玉w4那么

(Xj-X2)[f\x})-/(x9)1>0<=>)一/3)>0=/*)在上是增函數(shù)；

Xj—x2

(X|72)[/a)_/(%2)]<0=/㈤/。2)<0=/(x)在上是減函數(shù).

x{-x2

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果八x)〉0,則/(x)為增函數(shù)；如果八x)<0,

則/(x)為減函數(shù).

8函數(shù)的奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點對稱)

奇函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=-/(x)或/'(-x)+/(x)=0,

則f(x)就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；

(2)、奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

(3)、定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0.

偶函數(shù)：

定義：在前提條件下，若有/(-x)=/(x),則f(x)就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)、偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(2)、偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)、奇函數(shù)?偶函數(shù)=奇函數(shù)；(2)、奇函數(shù)?奇函數(shù)=偶函數(shù)；

(3)、偶奇函數(shù)?偶函數(shù)=偶函數(shù)；(4)、奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)(也有例外得偶函數(shù)的)

(5)、偶函數(shù)士偶函數(shù)=偶函數(shù)；(6)、奇函數(shù)土偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù)

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)

于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是

偶函數(shù).

9函數(shù)的周期性：

定義：對函數(shù)f(x),若存在TwO,使得f(x+T)=f(x),則就叫f(x)是周期函數(shù)，其中，

T是f(x)的一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

(1)、f(x+T)=-f(x),此時周期為2T；

(2)、f(x+m)=f(x+n),此時周期為2何-〃|；

⑶、/(%+??)=,此時周期為2mo

./U)

11對于函數(shù)、=/(x)(xe7?),/(x+a)=/(b-x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對稱軸是x=

兩個函數(shù)y=/(x+a)與y=/(A-X)的圖象關(guān)于直線x=寧對稱?

12分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式的性質(zhì)：

n,n

(1)a=\a(Q〉0,加,〃￡N*，且〃〉1).

-11

(2)an=——=.—(a>0,m,HeN*,且〃>1).

/海

(3)曲)"=a.

(4)當(dāng)〃為奇數(shù)時，V7=?；當(dāng)〃為偶數(shù)時，V7=iai=f,fl-°.

-a,a<0

13指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：log“N=bo/=Ng〉0,"l,N>0).

指數(shù)性質(zhì)：

⑴1、a-p=—；⑵、a°=l(awO)；⑶、

ap

⑷、“=優(yōu)+'(4>0/,5€0);⑸、京=叱;

指數(shù)函數(shù)：

(1)、y=a'(a>1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、歹=優(yōu)(0<。<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。注：指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(0,

1)

對數(shù)性質(zhì)：

(1)、logaM+logaN=loga(MN)；(2)、log?Af-loga7V=loga^-；

yi

⑶、log/"=相Jog〃6；(4)>logb"=--log/>；(5)>log?1=0

"m0

sh

(6)、logua=1；(7)、a'°"=b

對數(shù)函數(shù)：

(1)、y=log.x(a>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、y=log“x(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點

(1,0)

(3)、log“x〉0=a,xe(0,1)或a,xe(1,+oo)

(4)>1080%<0=4€(0,1)則X€(1,+8)或ae(l,+oo)則xe(0,1)

14對數(shù)的換底公式：log“N=3583>0,且awl,加>0,且加Yl,N〉0).

log,”a

對數(shù)恒等式：a*''=N(a〉0,且awl,N>0).

推論log6"='log“63>0,且"1,TV>0).

am

15對數(shù)的四則運算法則:若a>0,aWLM>0,N>0,則

⑴log“(MV)=log〃A/+log“N;(2)log?=log?M-logN;

Nu

(3)log?M"=nlogM[ne7?);(4)logN"=—logN{n,meR)0

ama

16平均增長率的問題(負(fù)增長時p<0)：

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為p,則對于時間x的總產(chǎn)值y,有

y=N(1+Py.

17等差數(shù)列：

通項公式：(1)an=ai+(n-l)d,其中％為首項，d為公差，n為項數(shù)，a“為末項。

(2)推廣：an=ak+(n-k)d

(3)an=Sn-Sn_^>2)(注：該公式對任意數(shù)列都適用)

前n項和：（1）S,,=呻;、）；其中q為首項，n為項數(shù)，%為末項。

（2）S=na.H----------a

"12

（3）S“=S,i+%（〃22）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

（4）S,,=.+4+???+%（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

常用性質(zhì)：（1）^若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq；

注：若a,“是?！?力,的等差中項，則有2q“=q,+%,on、m、p成等差。

（2）、若｛q｝、｛瓦｝為等差數(shù)列，則｛勺±4｝為等差數(shù)歹人

（3）、｛%｝為等差數(shù)列，S“為其前n項和，則S,“,S2”-鼠,53?,-52,“也成等差數(shù)歹U。

（4）、%=%<=P，則%』=。：

（5）1+2+3+…+n=----------

2

等比數(shù)列：

通項公式：⑴q=a聞〃T="./（〃eN*）,其中q為首項，n為項數(shù)，q為公比。

q

nk

（2）推廣:an=ak-q-

（3）a“=S“-S"〃22）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

前n項和：（1）S“=S“T+4（〃N2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

（2）Sn=ay+a2-\---an（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

（q=D

（3）S“=<4（l-q"）

（qwi）

.i—q

常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q,則有am-an=ap-aq；

注：若a,“是a”,4的等比中項，則有a,J=a“?％,=!!、m、p成等比。

（2）、若｛凡｝、他,｝為等比數(shù)列，則｛為也｝為等比數(shù)列。

18分期付款（按揭貸款）：每次還款.猊罟元（貸款”元，〃次還清,每期利率為外

19三角不等式:

(1)若xe(0,—),貝！Jsinx<x<tanx.

2

⑵若x€(0,—),貝(J1<sinx+cosx4

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

20同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2^+cos2^=l,tan^=—,

COS。

21正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

22和角與差角公式

sin(a±')=sinacos1土cosasin0;cos(a±0)=cosacos,干sinasin(3;

/,小tan(7±tan/?

tan(a±/3)=-------------.

1+tancrtanp

asina+bcosa=yja2-\-b2sin(cr+°)

（輔助角0所在象限由點g,6）的象限決定，tane=2）.

a

23二倍角公式及降幕公式

.八.2tan。

sin2a=sinacosa=------------

1+taira

1-tan2a

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a

1+tan2a

2tanasin2a1-cos2a

tan2atana=-------------=-----------

1-tan2a1+cos2asin2a

1-cos2a21+cos2a

sin2a------------,cos-a

22

24三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（ox+°）,xWR及函數(shù)y=cos（Gx+°）,x￡R（A,3,°為常數(shù)，且AWO）的周

T=—-函數(shù)卜=tan（ox+°）,xw左左+工次cZ（A,3,°為常數(shù)，且AWO）的周期

\co\2

…7C

T=—?

\a）\

三角函數(shù)的圖像：

25

?(7=27?sin=27?sin5,c=27?sinC=Q:6:c=sin/:sinB:sinC

26余弦定理：

a2=/?2+(?-2bccosA;Z?2=c2+(72-2C6FCOSB\c2=a2+b2-2ahcosC.

27面積定理：

(1)S=-ah=-bh=-ch(%、瓦、4分別表示a、b、c邊上的高).

2a2h2c

(2)S--absinC--bcsinA--easinB.

222

22

(3)SWAB=|yl(\OA\-\OB\)-(OAOB).

2sA__a+6一,斜邊

內(nèi)切圓-q+.+.，角A內(nèi)切圓一2

28三角形內(nèi)角和定理：

在△ABC中，有Z+8+C=〃=C=7一(/+8)

C7tA+B-c-?，八、

o-=------------o2c—27—2（A+B）.

222

29實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)入、口為實數(shù)，那么:

（1）結(jié)合律：入（u））=（入口）a;

⑵第一分配律：（入+口）5=Xa+V.a

（3）第二分配律：入（方+石）=入5+入石.

305與5的數(shù)量積（或內(nèi)積）：a?b=\a\\bIcos^o

31平面向量的坐標(biāo)運算：

⑴設(shè)石=(再,乂),b=(x2,y2),則-+3=(X1+工2，/+力)?

⑵設(shè),=(卬乂),b=(x2,y2),則d-B=(X|-/,必一丁2).

(3)設(shè)A(X]/]),B(x2,y2),貝(J/8=05—0/=02—七,必一,).

(4)設(shè))=(x,y)"eR,a=(Ax,Ay).

(5)設(shè)5=a，乂)，石=。2，/)，則萬?b=(xix2+yly2).

32兩向量的夾角公式：

cos°=I：A=-f==^==7(a=(x,,^),b=(x,y)).

lal/blQx；+y；.g+齊22

33平面兩點間的距離公式：

22

dAB=\AB1=不ABAB=7(x2-x,)+(y2-j^,)(A(七,凹)，B(x2,y2)).

34向量的平行與垂直：設(shè)刁=a，乂），B=（X2，%），且BHO,貝！J：

a\\bba0x以一々乂=0.（交叉相乘差為零）

alb（方w0）o方?B=0OX/2+NM=0?（對應(yīng)相乘和為零）

35線段的定比分公式：設(shè)[（%,乂），鳥（乙，%），P（xj）是線段片鳥的分點，4是實數(shù)，且

_X]+相

9=幾而，則“-1+，o加口+伙

-」=.+儀]+丸

———1

?OP=tOP+(\-t)OP(t=——).

l21+A

36三角形的重心坐標(biāo)公式：^ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(XI,y)、B(x2)y2).C(x3)y3),

則AABC的重心的坐標(biāo)是G（哈旦,—A）.

37三角形五“心”向量形式的充要條件：

設(shè)。為A48C所在平面上一點，角4凡。所對邊長分別為",Ac,則

.—.2-■—12

(1)。為A/L5C的夕卜心=。8-=。。一.

(2)。為M8C的重心=宓+礪+夠=0.

(3)。為ZU8C的垂心oa?礪=礪?玩=定京.

(4)。為ZU8C的內(nèi)心o4而+6礪+03=0.

(5)。為A46。的NN的旁心oa刀=8礪+c0d.

38常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號).

(2)“,6€/?+=>土吆29(當(dāng)且僅當(dāng)2=1)時取“=”號).

2

(3)/+b'+c3>3abc(a〉0,6〉0,c>0).

(4)|a|-\b\<|a+Z>|<\a\+|Z>|.

(5)—<V^<—(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號)。

a+b2\2

39極值定理：已知xj都是正數(shù)，則有

(1)若積犯是定值〃，則當(dāng)x=y時和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時積個有最大值Ll.

(3)已知。也X/ER'若"+”=1則有

—+—=(ax+勿)(』+—)=(7+Z?+—+—>t74-/)4-2\[ah=(\Ja+VK)2。

xyxyxy

(4)已知o,Z?,x,ysR',若@+2=i則有

xy

x+y=(x+y)(—+—)=<7+Z)+—+—>67+6+2y[ab=(>/a+\fb)2

xyxy

2

40一元二次不等式of+bx+c>()(或<0)(Q。〃-4ac>0),如果Q與ax+6x+c同號,

則其解集在兩根之外；如果。與辦2+版+。異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號

兩根之外，異號兩根之間.即：

X,<X<X2<=>(X-X1)(X-X2)<0(x,<x2)；

X<Xj,或X>x2<=>(X-Xj)(x-x2)>O(X]<x2).

41含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時，有

|x|<6r<z>x2<a2<=>-a<x<a,

\x\>a<^>x2>a2ox>ax<-a.

42斜率公式：

k="2K(片(芯,弘)、鳥(%2，%)).

x2-X]

43直線的五種方程：

(1)點斜式y(tǒng)-y=%(x-須)(直線/過點乂)，且斜率為左).

(2)斜截式y(tǒng)=云+b(b為直線/在y軸上的截距).

（3）兩點式一力=X-々,（乂一丁2）（片（國，乂）、已（工2，72）（再。工2，凹”2））?

/一乂々_玉

兩點式的推廣：。2-玉）（二乂）-（丁2-M）（x-Xi）=O（無任何限制條件?。?/p>

(4)截距式2+上=1(以6分別為直線的橫、縱截距，。工0、6中0)

ab

(5)一般式Zx+與+C=O(其中A、B不同時為0).

直線4x+8y+C=0的法向量：/=(48),方向向量：l=(B,-A)

44夾角公式：

k-k

⑴tana=l2'I.(乙：y=左盧+々，l\y=kx+b,kk,0一1)

14-k2kl222

(2)tana=1筆廠第1.(/,：4+電+。=0/:A.x+B.y+Q=0,44+0)?

442+gB2

直線時，直線6與，2的夾角是1.

454到，2的角公式：

k-k

(l)tana?=-2'-.(/,+,l:ykx+b,kkN-l)

1IK,KI222t2

(2)tana=4^~~A^x+B^y+C]=0,/2:^x+5,^+C2=+?5*()).

22

AXA2+BtB2''

直線4，/,時，直線A到，2的角是毛.

2

點到直線的距離：d="x+段。+。(點p(x。,比),直線/：Ax+By+C=O).

y/A2+B2

47圓的四種方程:

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-<7)2+(y-6)2=r~.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+￡2-4F>0).

x=<7+rcos^

(3)圓的參數(shù)方程

y=h-^-rsin3

(4)圓的直徑式方程。-刈（》-受）+8-冊）。-%）=0（圓的直徑的端點是4西,加）、氏毛送））.

48點與圓的位置關(guān)系：點PG。/。）與圓（x-a）2+O-6）2=/的位置關(guān)系有三種：

22

若d=yl（a-xQ）+（b-yQ）,貝（Jd>r0點尸在圓外；

d=r=點P在圓上；d<r=點尸在圓內(nèi).

49直線與圓的位置關(guān)系：直線小+a+C=0與圓（x-a）2+3-6）2=廠2的位置關(guān)系有三種

（公叫+劭+%：

J/2+B,

d>r=相離=A<0;d=r=相切<=>A=0；t/<r<=>相交=△>（）.

50兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為6,O2,半徑分別為n,r2,\OtO2\=d,貝！J：

d>4+々0外離o4條公切線；

d=八+々=外切o3條公切線；

,一々|<"<八+々o相交o2條公切線；內(nèi)含型相交型相離

9-------------?------------9-------------A

0-*——d—?年-"**~d-?”+「2'**-dd

d=Mi-&|=內(nèi)切=1條公切線；

0cd<K1一々|=內(nèi)含o無公切線.

51橢圓￡+==1(?！?gt;0)的參數(shù)方程是F=：°s,.離心率還,

a"b"[y=psin^a\a"

準(zhǔn)線到中心的距離為二，焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距)p=t°

CC

過焦點且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2歐.

a

52橢圓7V=l(a>6>0)焦半徑公式及兩焦半徑與焦距構(gòu)成三角形的面積:

\PFX|=e(x+—)=a+ex,\PF21=e(--x)=a-exiS.產(chǎn)、=cI%1=62tan公'昔-。

53橢圓的的內(nèi)外部：

2

(1)點。(.%,%)在橢圓[+/=1(“〉6>0)的內(nèi)部。/+%

F<

2

222%

(2)點Pa。,為)在橢圓，?+方=13〉6〉0)的外部