2019-2021北京初三(上)期中數(shù)學匯編：弧、弦、圓心角

1/12019-2021北京初三（上）期中數(shù)學匯編弧、弦、圓心角一、單選題1．（2021·北京市月壇中學九年級期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，那么∠AOE等于（

）A．40° B．50° C．60° D．120°2．（2021·北京鐵路二中九年級期中）如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A、B、C三點，那么弧AC所對的圓心角的大小是（

）A．45° B．60° C．80° D．90°3．（2019·北京市昌平區(qū)第四中學九年級期中）如圖所示，C是⊙O上一點，若，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．20° B．40° C．80° D．140°4．（2019·北京十五中九年級期中）在學習了《圓》這一章節(jié)之后,甲、乙兩位同學分別整理了一個命題:甲:相等的弦所對的圓心角相等;乙:平分弦的直徑垂直于這條弦.下面對這兩個命題的判斷,正確的是A．甲對乙錯 B．甲錯乙對 C．甲乙都對 D．甲乙都錯5．（2019·北京市第四十四中學九年級期中）如圖，A，B，C三點在已知的圓上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是的中點，連接DB，DC，則∠DBC的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．70°二、填空題6．（2021·北京市第五十六中學九年級期中）如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的點，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．則上面結論中正確的有_______________．7．（2021·北京八十中九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦，分別過M、N作AB的垂線，垂足為C、D，以下結論①AC＝BD；②AM＝BN；③若四邊形MCDN是正方形，則MN＝AB；④若M為弧AN的中點，則D為OB中點．所有正確結論的序號是___．8．（2021·北京四中九年級期中）京西某游樂園的摩天輪采用了國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁結構，風格更加簡約．如圖，摩天輪直徑88米，最高點A距離地面100米，勻速運行一圈的時間是18分鐘．由于受到周邊建筑物的影響，乘客與地面的距離超過34米時，可視為最佳觀賞位置，在運行的一圈里最佳觀賞時長為___________分鐘．9．（2021·北京·人大附中九年級期中）如圖，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，連接AC，CD，則AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（2021·北京·人大附中九年級期中）如圖，在⊙O中，若AB=BC=CD，則AC與2CD的大小關系是：AC__2CD．（填“＞”，“＜”或11．（2019·北京八中九年級期中）如圖，點A，B，C，D都在⊙O上，C是弧BD的中點，AB＝CD．若∠ODC＝50°，則∠ABC的度數(shù)為__°．12．（2019·北京市陳經(jīng)綸中學分校九年級期中）如圖，在條件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③點E分別是AO、CD的中點；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四邊形OCAD是菱形的條件有_____個．三、解答題13．（2021·北京市第四十三中學九年級期中）如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；（2）若∠M=∠D，求∠D的度數(shù)．14．（2021·北京市三帆中學九年級期中）在∠MON的兩邊OM，ON上分別取點H，I，作弧HI（可以是優(yōu)弧，也可以是劣?。艋I上所有點都在∠MON內(nèi)部或邊上，稱點H、I是∠MON的內(nèi)嵌點，弧HI所在圓的半徑為∠MON的“角半徑”，記為．例如，下圖1、圖2、圖3中的H、I都是∠MON的內(nèi)嵌點．已知∠MON=60°，H、I是∠MON的內(nèi)嵌點時，（1）當OH=OI=2時，的最小值是_________________；（2）當OH=2，弧HI是半圓時，求線段OI長度的取值范圍；（3）當OH≤OI，=3，時，求線段OI長度的范圍．15．（2021·北京市月壇中學九年級期中）已知，如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，∠AOB＝∠COD，求證：AC＝BD16．（2021·北京十五中九年級期中）下面是小明設計的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程．已知：⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正三角形．作法：如圖，①作直徑AB；②以B為圓心，OB為半徑作弧，與⊙O交于C，D兩點；③連接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：在⊙O中，連接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC為等邊三角形．∴∠BOC＝°．∴∠AOC＝°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（）（填推理的依據(jù)）．∴△ACD是等邊三角形．17．（2021·北京·人大附中九年級期中）如圖，A、B是⊙O上的兩點，C是弧AB中點．求證：∠A＝∠B．18．（2021·北京育才學校九年級期中）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB＝CD．求證：CE＝BE．19．（2019·北京·首都師范大學大興附屬中學九年級期中）如圖，點C是半圓O上的一點，AB是⊙O的直徑，D是的中點，作DE⊥AB于點E，連接AC交DE于點F，求證：AF=DF.下面是小明的做法，請幫他補充完整（包括補全圖形）解：補全半圓O為完整的⊙O，連接AD，延長DE交⊙O于點H（補全圖形）∵D是的中點，∴.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴（）（填推理依據(jù)）∴∴∠ADF=∠FAD（）（填推理依據(jù)）∴AF=DF（）（填推理依據(jù)）20．（2020·北京市第六十六中學九年級期中）下面是小明設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程.已知：直線及直線外一點P.求作：直線，使.作法：如圖，①在直線上取一點O，以點O為圓心，長為半徑畫半圓，交直線于兩點；②連接，以B為圓心，長為半徑畫弧，交半圓于點Q；③作直線.所以直線就是所求作的直線.根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程：（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明證明：連接，∵，∴__________.∴（______________）（填推理的依據(jù)）.∴（_____________）（填推理的依據(jù)）.21．（2019·北京十五中九年級期中）如圖,AB是⊙0的直徑,點C在⊙0上,D是中點,若∠BAC=70°,求∠C．下面是小雯的解法,請幫他補充完整:解:在⊙0中,∵D是的中點∴BD=CD．∴∠1=∠2()(填推理的依據(jù)).∵∠BAC=70°,∴∠2=35°.∵AB是⊙0的直徑,∴∠ADB=90°()(填推理的依據(jù)).∴∠B=90°-∠2=55°.∵A、B、C、D四個點都在⊙0上,∴∠C+∠B=180°()(填推理的依據(jù)).∴∠C=180°-∠B=(填計算結果).22．（2021·北京市第一五九中學九年級期中）下面是小董設計的“作已知圓的內(nèi)接正三角形”的尺規(guī)作圖過程.已知：⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正三角形．作法：如圖，①作直徑AB；②以B為圓心，OB為半徑作弧，與⊙O交于C，D兩點；③連接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根據(jù)小董設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：在⊙O中，連接OC，OD，BC，BD，∵OC=OB=BC，∴△OBC為等邊三角形（_______________）（填推理的依據(jù)）．∴∠BOC=60°．∴∠AOC=180°-∠BOC=120°．同理∠AOD=120°，∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°．∴AC=CD=AD（_______________）（填推理的依據(jù)）．∴△ACD是等邊三角形．23．（2019·北京市第十三中學九年級期中）如圖所示，以平行四邊形ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC，AD于E，F(xiàn)兩點，交BA的延長于G，判斷弧EF和弧FG是否相等，并說明理由．24．（2021·北京市第五十四中學九年級期中）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足為E．（1）求證：BC=BD；（2）若BC=15，AD=20，求AB和CD的長．

參考答案1．C【分析】根據(jù)弦、弧以及圓心角的關系可得，，即可求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴，又∵BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查了弦、弧以及圓心角的關系，在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，弧相等，解題的關鍵是掌握弦、弧以及圓心角的關系．2．D【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到圓心，進而解答即可．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．連接AQ，CQ，在△APQ與△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN∵∠AQP＋∠PAQ＝90°，∴∠AQP＋∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即弧AC所對的圓心角是90°，故選：D．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也是常用來確定圓心的方法．3．C【分析】直接根據(jù)同圓中同弧所對的圓周角是圓心角的一半，故可直接得到選項．【詳解】如圖，，；故選C．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握圓的基本性質(zhì)是解題的關鍵．4．D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中,如果兩個圓心角以及它們對應的兩條弧、兩條弦中有一組量相等,則另外兩組量也相等，可判斷甲命題；由垂徑定理可得判斷乙命題.【詳解】(1)在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧對應相等,故甲命題錯誤;(2)平分弦的直徑垂直于不是直徑的弦;故乙命題項錯誤;故選D.【點睛】本題主要考查同圓或等圓中，弧、弦、圓心角的關系及垂徑定理.5．C【詳解】試題分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠A=80°，根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠A=80°，∵D是的中點，∴，∴BD=CD，根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和．∴∠DBC=∠DCB==50°，故選C．【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系．6．①②③④【分析】根據(jù)弦、弧、圓心角之間的關系解答即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴，故①正確；∵∠1=∠2，∴，即，∴，，故②③正確；由上證得，故④正確．故答案為：①②③④【點睛】本題考查了弧、弦、圓心角之間的關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等．7．①②④【分析】先證明四邊形CMND是矩形，再證明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），可得結論①②正確，證明AB=MN，可得③錯誤；證明△OBN是等邊三角形，可得④正確，從而可得答案．【詳解】解：連接OM、ON，AM如圖，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM=∠ODN=90°，∵，∴∠CMN+∠MCD=180°，∴∠CMN=90°，∴四邊形CMND是矩形，∴CM=DN，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OC=OD，∠COM=∠DON，∴，故②正確，∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，故①正確，當四邊形MCDN是正方形時，CM=2OC，∴OM=OC，∴AB=2OM=OC=MN，故③錯誤，若M是的中點，連接BN，而∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，∵ON=OB，∴△ONB是等邊三角形，∵ND⊥OB，∴OD=DB，故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關系；掌握“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等”是解題的關鍵．8．12【分析】先計算出圓的底端距離地面的距離為12，從而得到圓的底部到弦的距離為22，從而計算出弦所對的圓心角，用弧長公式計算劣弧的長，周長減去劣弧的長得到最佳觀賞路徑長，除以運動速度即可．【詳解】如圖所示，根據(jù)題意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE=，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圓轉動的速度為，∴最佳觀賞時長為（分鐘），故答案為：12．【點睛】本題考查了垂徑定理，弧長公式，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握弧長公式，靈活運用特殊角的三角函數(shù)是解題的關鍵．9．【分析】連接AB、BC，根據(jù)題意得AB=BC=CD，再根據(jù)三角形的三邊關系，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AB、BC，∵弧AB＝弧BC＝弧CD，∴AB=BC=CD，∵，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了圓的弧、弦，的關系，三角形的三邊關系，熟練掌握同圓內(nèi)，等弧所對的弦相等是解題的關鍵．10．【分析】如圖，連接AB、BC，根據(jù)題意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三邊關系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【詳解】解：如圖，連接AB、BC，∵∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系，解題的關鍵是利用三角形三邊關系得到AB+BC＞AC．11．100【分析】根據(jù)AB=CD，C是弧BD的中點，得到弧CD=弧BC=弧AB，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠ACB=∠COD=40°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【詳解】解：∵C是弧BD的中點，AB＝CD．∴弧CD=弧BC=弧AB，∵∠ODC＝50°，∴∠COD=180°﹣2∠ODC＝80°，∴∠A＝∠ACB∠COD80°＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案為：100．【點睛】本題考查了圓的有關性質(zhì)．解題的關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．12．4．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案.【詳解】解：①中，可以發(fā)現(xiàn)兩個等邊三角形，然后證明出其四邊都相等；②中，同①的證明方法；③中，根據(jù)垂徑定理的推論證明垂直，再根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可證明；④中，發(fā)現(xiàn)一個等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形的三線合一，證明對角線互相垂直平分．故有4個．【點睛】本題考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．13．（1）20；（2）30°【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，∠OED=90°，設圓的半徑為r，則OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，在△ODE中利用勾股定理求解即可；（2）由AB⊥CD，AB過圓心O，得到，由∠M＝∠D，得到，即可推出，則、、的度數(shù)是，則．【詳解】解：（1）∵弦CD⊥AB，∴，∠OED=90°，設圓的半徑為r，則OD=OB=r，OE=OB-OE=r-4，∴即，解得，∴圓的直徑；（2）連接OC，∵AB⊥CD，AB過圓心O，∴，∵∠M＝∠D，∴，∴，∵MD過O，∴、、的度數(shù)是，∴∠MOC=60°，∴．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，弧、弦與圓周角的關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握垂徑定理．14．（1）1；（2）；（3）3≤OI≤6【分析】（1）先計算HI＝2，當HI為半徑時，的最小值是1；（2）求得當HI⊥ON時和HI⊥OM時，OI的值，從而確定范圍；（3）先求出所對的圓心角，再求出圓心角所對的弦長，當OI＝OH時，求得OI最小值，當HI⊥OM時，求得最大值，從而求得范圍．【詳解】解：（1）∵OH＝OI，∠MON＝60°，∴△HOI是等邊三角形，∴HI＝OH＝2，當HI是圓的直徑時，＝1，故答案是1；解：（2）如圖1，作HI⊥ON于I，∴OI＝OH?cos∠MON＝2?cos60°＝1，如圖2，作HI′⊥OM交ON于I′，OI′＝，∴1≤OI≤4；（3）如圖3，圓心記作A，作AB⊥HI于B，由得，，∴n＝120°，∴∠HAB＝∠HAI＝60°，∴HI＝2HB＝2?AH?sin60°＝3，當OH＝OI時，∵∠MON＝60°，∴△HOI是等邊三角形，∴OI＝HI＝3，當HI⊥OM時，OI最大，OI＝，∴3≤OI≤6．【點睛】本題考查了圓的有關性質(zhì)，圓的有關計算等知識，解決問題的關鍵是正確理解題意，轉化為有關圓的計算．15．見解析【分析】根據(jù)角之間的關系，得到，再根據(jù)弦與圓心角的關系，即可求解．【詳解】證：∵∴∴【點睛】此題考查了弦、弧以及圓心角的關系，在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧、弦相等，解題的關鍵是掌握它們之間的關系．16．（1）見解析；（2）60；120；同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等【分析】（1）利用畫圓的方法作出C、D兩點，從而得到△ACD；（2）在⊙O中，連接OC，OD，BC，BD，利用等邊三角形的判定方法得到△OBC為等邊三角形，則∠BOC＝60°，接著分別計算出∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關系得到AC＝CD＝AD，從而判斷△ACD是等邊三角形．【詳解】（1）解：如圖，△ACD為所作；（2）證明：在⊙O中，連接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC為等邊三角形．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°?∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等），∴△ACD是等邊三角形．故答案為：60；120；同圓中，相等的圓心角所對的弦也相等．【點睛】本題考查了作圖?復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．17．見解析【分析】連接，通過證明即可得結論．【詳解】證明：如圖，連接，是的中點，，，在和中，，，．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是利用全等三角形的判定和性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．18．見解析【分析】根據(jù)AB＝CD得到，推出，得到，由此得到結論．【詳解】證明：∵AB＝CD，∴，∴,即，∴，∴CE＝BE．【點睛】此題考查同圓中弦、弧的關系，圓周角的性質(zhì)，等角對等邊的判定，正確推導出是解題的關鍵．19．垂徑定理，等弧所對的圓周角相等，等角對等邊．【分析】利用圓周角定理以及垂徑定理證明∠ADF=∠FAD即可解決問題．【詳解】補全半圓O為完整的⊙O，連結AD，延長DE交⊙O于點H（補全圖形）．∵D是的中點，∴.∵DE⊥AB，AB是⊙O的直徑，∴（垂徑定理）∴∴∠ADF=∠FAD（等弧所對的圓周角相等）∴AF=DF（等角對等邊）故答案為垂徑定理，等弧所對的圓周角相等，等角對等邊．【點睛】此題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦之間的關系，垂徑定理，等角對等邊，解題關鍵是學會添加常用輔助線．20．（1）補全的圖形如圖所示見解析；（2），等弧所對的圓周角相等內(nèi)錯角相等，兩直線平行.【分析】根據(jù)要求作圖即可；根據(jù)圓的有關性質(zhì)和平行線的判定求解可得