抽樣調(diào)查比率、回歸與差值估計(jì)培訓(xùn)課件

§4.1引言

一、概念在實(shí)際工作中，如果除了調(diào)查的目標(biāo)量以外，還有其他指標(biāo)的信息，稱這些指標(biāo)為輔助變量，（auxiliaryariable)。人們總希望利用輔助變量與目標(biāo)量之間的關(guān)系來提高估計(jì)的精度。這就是本章所要介紹的方法(不是抽樣方法,而是估計(jì)方法)。通常使用的方法是：利用調(diào)查指標(biāo)與輔助變量之間的關(guān)系構(gòu)造比率估計(jì)量和回歸估計(jì)量。例如，要調(diào)查家庭教育支出，則家庭的總支出就是輔助變量，家庭用于教育的支出占總支出的比重就構(gòu)成了比率估計(jì)量。二、應(yīng)用條件

(1)比率估計(jì)、回歸估計(jì)需要用到輔助變量的總體均值或總體總量；（2）如果輔助變量的總體均值或總體總量未知又要利用比率估計(jì)或回歸估計(jì)，則可采用二重抽樣的方法；（3）比率估計(jì)是有偏估計(jì)，因此需要有足夠的樣本量才能保證估計(jì)的有效。三、符號(hào)說明設(shè)調(diào)查指標(biāo)為，輔助變量為總體總量：總體均值：總體方差：樣本均值：樣本方差：總體協(xié)方差：樣本協(xié)方差：總體相關(guān)系數(shù)：樣本相關(guān)系數(shù)：§4.2比率估計(jì)一、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì)1.定義比率估計(jì)量（ratioestimator)又稱比估計(jì)對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，總體均值和總體總量Y的比率估計(jì)為：總體比率：總體比率估計(jì)量：2.比估計(jì)的性質(zhì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比率估計(jì)是有偏的,其偏倚的階為,當(dāng)樣本量n較大時(shí),估計(jì)量的偏倚趨于零.因此,比率估計(jì)是漸近無偏的.性質(zhì)1

對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比率估計(jì),當(dāng)樣本量n較大時(shí),是漸近無偏的.即的方差為:或式中分別為Y,X的總體方差和總體協(xié)方差;分別為Y,X的樣本方差和樣本協(xié)方差.可通過估計(jì).【例4.1】對(duì)以下假設(shè)的總體（N=6），用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取n=2的樣本，比較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比率估計(jì)及簡(jiǎn)單估計(jì)的性質(zhì)。i123456均值XiYi011331151882910464.518解：對(duì)這個(gè)總體，我們列出所有可能的個(gè)樣本，以比較簡(jiǎn)單估計(jì)與比率估計(jì)的性質(zhì)。i樣本簡(jiǎn)單估計(jì)()比率估計(jì)()1234567891011121314151,21,31,41,51,62,32,42,52,63,43,53,64,54,65,62.06.09.515.023.57.010.516.024.514.520.028.523.532.037.5181817.116.87521.1515.7515.751620.045516.312516.363619.730816.269219.218.75由此，可以算出：

由計(jì)算結(jié)果可以看出：

簡(jiǎn)單估計(jì)是無偏的，而比率估計(jì)是有偏的。簡(jiǎn)單估計(jì)量的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于比例估計(jì)量的方差，比率估計(jì)的偏倚不大，其均方誤差也比簡(jiǎn)單估計(jì)的方差小得多。因此,對(duì)這個(gè)總體,比率估計(jì)比簡(jiǎn)單估計(jì)的效率高。【例4.2】某縣在對(duì)船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量進(jìn)行調(diào)查時(shí)，對(duì)運(yùn)管部門登記的船舶臺(tái)帳進(jìn)行整理后獲得注冊(cè)船舶2860艘，載重噸位154626噸。從2860艘船舶中抽取一個(gè)n=10的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，調(diào)查得到樣本船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量及其載重噸位如表（單位：噸），要推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量。ii1234578015001005376600100505010206789102170182314501581370120150802050解:已知:N=2860,n=10,X=154626由表可得因此,對(duì)該縣船舶在調(diào)查月完成貨運(yùn)量的比率估計(jì)為:方差的估計(jì)為:=2.10617×標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)為:如果用簡(jiǎn)單估計(jì)對(duì)貨運(yùn)量進(jìn)行估計(jì),則由此,得到比率估計(jì)量設(shè)計(jì)效應(yīng)為:對(duì)于本問題,比率估計(jì)量比簡(jiǎn)單估計(jì)量的效率高!3.消除比率估計(jì)偏倚的方法

由于比率估計(jì)是有偏估計(jì),在小樣本時(shí),其偏倚不能忽略.則需要通過改善估計(jì)量或改變抽樣方法使比率估計(jì)成為無偏估計(jì).1.無偏的比率估計(jì)量第一種:Hartley--Ross估計(jì)量式中第二種:Mickey估計(jì)量其中,分別是在n個(gè)樣本數(shù)據(jù)中去掉第i個(gè)樣本數(shù)據(jù)后剩下的n-1個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均值.二、分層隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì)1.分別比率估計(jì)總體均值總體總量的分層比率估計(jì)(separateRatioestimator)為:總體均值:總體總量:層權(quán)L:層數(shù)為的比率估計(jì),為比率估計(jì)比率估計(jì)量的方差:式中,分別為第i層指標(biāo)Y,X的方差及相關(guān)系數(shù).

分別比率估計(jì)量要求每一層的樣本量都比較大,否則,偏倚可能比較大.2.聯(lián)合比率估計(jì)(combinedratioestimator)總體均值：總體總量：式中:表示的無偏估計(jì);表示的無偏估計(jì).均方誤差為：3.分別比率估計(jì)量與聯(lián)合比率估計(jì)量的比較一般而言，分別比率估計(jì)量的方差小于聯(lián)合比率估計(jì)量的方差。但當(dāng)每層的樣本量不太大時(shí)，還是采用聯(lián)合比率估計(jì)量更可靠些，因?yàn)檫@時(shí)分別比率估計(jì)量的偏倚很大，從而使總的均方誤差增大。實(shí)際使用時(shí)，如果各層的樣本量都較大，且有理由認(rèn)為各層的比率Rh差異較大，則分別比率估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合比率估計(jì)。當(dāng)各層的樣本量不大，或各層比率Rh差異很小，則聯(lián)合比率估計(jì)更好些。【例4.4】

某市1996年對(duì)950家港口生產(chǎn)單位完成的吞吐量進(jìn)行了調(diào)查，1997年欲對(duì)全市港口生產(chǎn)單位完成的吞吐量進(jìn)行調(diào)查。對(duì)港口生產(chǎn)單位按非國(guó)有(h=1)和國(guó)有（h=2)分為兩層，單位數(shù)分別為800家和150家，分別在兩層中調(diào)查了10家和15家港口生產(chǎn)單位，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表，試計(jì)算1997年全市港口生產(chǎn)單位完成的吞吐量。1997年國(guó)有和非國(guó)有企業(yè)調(diào)查數(shù)據(jù)如下頁(yè)ixiyiixiyi19580149553022202102210320335938433604964120117423040051771805600651625325861000880730234977005608332286811001230927221597208231013797103103901147846512817650139191160141160107015735698(將上述數(shù)據(jù)計(jì)算的中間結(jié)果列于P77的表中)1.按分別比率估計(jì)量估計(jì)2.按聯(lián)合比率估計(jì)量估計(jì)

按聯(lián)合比率估計(jì)量估計(jì)比按分別比率估計(jì)量估計(jì)要好一些!三、比率估計(jì)的效率1.與簡(jiǎn)單估計(jì)的比較簡(jiǎn)單估計(jì)量是無偏的,而比率估計(jì)量是漸近無偏的.因此,這里只比較當(dāng)n比較大的情形.由以前的討論可知:由此看出,比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量的條件是:有當(dāng)2.比率估計(jì)成為最優(yōu)線性估計(jì)的條件⑴與的關(guān)系是過原點(diǎn)的直線；⑵對(duì)這條直線的方差與成比例。比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量。特別當(dāng)時(shí)，，這里，§4.3回歸估計(jì)一、回歸估計(jì)的定義對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，總體均值和總體總量的回歸估計(jì)量（regressionestimatior)的定義為：式中，是樣本均值；為事先設(shè)定的一個(gè)常數(shù)如果β=0，則回歸估計(jì)量就是簡(jiǎn)單估計(jì)量；如果則回歸估計(jì)量就是比率估計(jì)量。二、為常數(shù)的情形當(dāng)回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時(shí)，或以前為相同目的進(jìn)行的調(diào)查所得到的對(duì)的樣本回歸系數(shù)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值上，取最近一次調(diào)查所得的作為設(shè)定值。性質(zhì)2對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣回歸估計(jì)量，作為及Y的回歸估計(jì)，都是無偏的。即的方差分別為：式中，分別是Y，X的總體方差和總體協(xié)方差；分別是Y，X的樣本方差和樣本協(xié)方差。的樣本估計(jì)量為：當(dāng)取總體回歸系數(shù)達(dá)到最小，即時(shí)，式中，為總體相關(guān)系數(shù)。三、β為樣本回歸系數(shù)的情形如果β需要通過樣本來確定，很自然地，我們會(huì)想到用總體回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)，也就是樣本回歸系數(shù)：這時(shí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣回歸估計(jì)量是有偏的。但當(dāng)樣本量n充分大時(shí)，估計(jì)量的偏倚趨于零。因此，類似比率估計(jì)量，回歸估計(jì)量也是漸近無偏的。且有的一個(gè)近似估計(jì)為：【例4.5】(續(xù)P72的例4.2)利用回歸估計(jì)量推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量.解:根據(jù)例4.2中的計(jì)算結(jié)果可得樣本回歸系數(shù):從而因此，該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量的回歸估計(jì)為：為了估計(jì)，先計(jì)算回歸殘差方差：所以●與例4.2的結(jié)果比較，對(duì)于本問題回歸估計(jì)優(yōu)于比率估計(jì)，而比率估計(jì)又優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)；

●回歸估計(jì)優(yōu)于比率估計(jì)的原因是回歸直線沒有通過原點(diǎn)。

●比較上述估計(jì)量的優(yōu)劣，一般是通過比較它們的均方誤差或方差大小來進(jìn)行。簡(jiǎn)單估計(jì)量、比率估計(jì)量、回歸估計(jì)量的比較簡(jiǎn)單估計(jì)量：比率估計(jì)量回歸估計(jì)量由此可以看出：2.比率估計(jì)量?jī)?yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量的條件是:3.回歸估計(jì)量?jī)?yōu)于比率估計(jì)量的條件是:即回歸估計(jì)量總是優(yōu)于比率估計(jì)量.1.回歸估計(jì)量總是優(yōu)于簡(jiǎn)單估計(jì)量，除非即一般而言有四、分層隨機(jī)抽樣下的回歸估計(jì)1.分別回歸估計(jì)(separateregressionestimator)總體均值的估計(jì):總體總量的估計(jì):

當(dāng)各層的回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時(shí),分別回歸估計(jì)量是無偏的。其方差為:其中是第h層的回歸系數(shù)并且當(dāng)時(shí),達(dá)到最小,即通常未知,可用回歸系數(shù)作為的估計(jì):注意（1）分別回歸估計(jì)量是有偏的,但當(dāng)每一層的樣本量都很大時(shí),估計(jì)的偏倚可以忽略,其方差近似為:（2）這里是子總體的回歸系數(shù)，是子總體樣本的回歸系數(shù)，前者是未知的，后者是可知的。方差的樣本估計(jì)值為:式中,

分別回歸估計(jì)量要求每一層的樣本量都較大,如果這個(gè)條件得不到滿足,則分別回歸估計(jì)量的偏倚可能很大,這時(shí),采用聯(lián)合回歸估計(jì)量更好些。2.聯(lián)合回歸估計(jì)(combinedregressionestimator)總體均值的估計(jì):總體總量的估計(jì):式中，分別為的分層估計(jì)。是無偏的，其方差為：并且，只要β取時(shí)，達(dá)到最小。當(dāng)回歸系數(shù)未知時(shí)，取β為的樣本估計(jì)：這時(shí),聯(lián)合回歸估計(jì)量是有偏的,但當(dāng)樣本量n較大時(shí)，估計(jì)的偏倚可以忽略,其方差近似為:方差的樣本估計(jì)為：3.分別回歸估計(jì)與聯(lián)合回歸估計(jì)的比較當(dāng)回歸系數(shù)設(shè)定時(shí),分別回歸估計(jì)優(yōu)于聯(lián)合回歸估計(jì)當(dāng)回歸系數(shù)由樣本估計(jì)時(shí),如果各層的樣本量不太小,采用分別回歸估計(jì)為宜.否則,采用聯(lián)合回歸估計(jì)為好.【例4.6】（續(xù)例4.4）利用回歸估計(jì)量估計(jì)該市港口生產(chǎn)單位1997年完成的吞吐量。解：樣本回歸系數(shù)：h=1,非國(guó)有h=2,國(guó)有1.070170.856402則按分別回歸估計(jì)量估計(jì)：（見P85）按聯(lián)合回歸估計(jì)量估計(jì):(見教材P86）

從本題看,聯(lián)合回歸估計(jì)量比分別回歸估計(jì)量要優(yōu)一些!§4.4差值估計(jì)如果調(diào)查時(shí)所用的輔助變量為目標(biāo)量最近的普查結(jié)果，或者回歸估計(jì)的回歸系數(shù)接近于己于1這時(shí)可以采用差值估計(jì)(differenceestimayor)。總體均值的差值估計(jì)為：式中性質(zhì)3作為β=1的回歸估計(jì)量，的無偏估計(jì)，其方差為：將的樣本估計(jì)值代入上式，就可得到的樣本估計(jì).【例4.7】(續(xù)例4.4)利用差值估計(jì)量估計(jì)該市港口生產(chǎn)單位1997年完成的吞吐量,并與前面的估計(jì)量及精度進(jìn)行比較.解:由于輔助變量是上年的普查資料,且樣本回歸系數(shù)接近于1,因此可以采用差值估計(jì).

下面比較本例所用的五個(gè)估計(jì)量,看看它們的優(yōu)劣,其具體數(shù)據(jù)如下表:估計(jì)方法總量估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)變異系數(shù)分別比率估計(jì)272536.69588.480.035182聯(lián)合比率估計(jì)271956.19289.440.034158分別回歸估計(jì)270556.39480.110.035039聯(lián)合回歸估計(jì)271753.49238.960.033998差值估計(jì)271910.09269.110.034089結(jié)果分析1.本題中,五種估計(jì)量的精度非常接近,聯(lián)合回歸估計(jì)量稍好些;2.對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單估計(jì)、差值估計(jì)是無偏的，比率估計(jì)、回歸估計(jì)是漸進(jìn)無偏的；3.當(dāng)樣本量較小時(shí)，比率估計(jì)、回歸估計(jì)的偏倚是不能忽視的；4.當(dāng)輔助變量為調(diào)查指標(biāo)的最近普查值時(shí)，可以考慮使用差值估計(jì)。本章小結(jié)(1)在實(shí)際工作中,人們使用比率估計(jì)量和回歸估計(jì)量主要是利用輔助變量提高估計(jì)效率.(2)比率估計(jì)量和回歸估計(jì)量都是有偏的,但當(dāng)樣本量足夠大時(shí),其偏倚可以忽略.(3)如果輔助變量的總體總量或總體均值未知,則要采用二階段抽樣,以解決輔助變量信息不足的問題.本章作業(yè)（1）熟悉本章附錄的證明；（2）思考書后習(xí)題1，習(xí)題2，；（3）在作業(yè)本上完成書后習(xí)題3，習(xí)題4，習(xí)題5；（第四章結(jié)束）9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節(jié)，愿你生活像春天一樣陽(yáng)光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2月-252月-25Monday,February24,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。19:22:2119:22:2119:222/24/20257:22:21PM11、夫?qū)W須志也，才須學(xué)也，非學(xué)無以廣才，非志無以成學(xué)。2月-2519:22:2119:22Feb-2524-Feb-2512、越是無能的