湖北省十堰市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

十堰市2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)本試題卷共4頁，共19道題，滿分150分，考試時間120分鐘.★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將考號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.答在試題卷、草稿紙上無效.3.非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆將答案直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).答在試題卷、草稿紙上無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列，，，，…，則該數(shù)列的第項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列中的項(xiàng)，歸納得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，即可求解.【詳解】該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以，故選：C.2.已知空間四點(diǎn)，，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.與夾角的余弦值為C. D.【答案】D【解析】【分析】分別求出、、、，利用空間向量的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故A錯誤，D正確.因?yàn)?，，所以，故B和C錯誤，故選：D.3.直線的圖象如圖所示，則圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系即可.【詳解】由圖可知，圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故選：C4.曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處的彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小.已知橢圓上點(diǎn)處的曲率半徑.若橢圓上所有點(diǎn)的曲率半徑的最大值為，最小值為2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)曲率半徑的意義先判斷出橢圓在點(diǎn)處的曲率半徑最小，在點(diǎn)處的曲率半徑最大，并會用點(diǎn)處的曲率半徑公式求出的關(guān)系，進(jìn)而求出即可.【詳解】因?yàn)榍拾霃皆酱?，曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，所以橢圓在點(diǎn)處的曲率半徑最小，則，，橢圓在點(diǎn)處的曲率半徑最大，則，，所以，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B5.2024年奧運(yùn)會在巴黎舉行，中國運(yùn)動員的拼搏精神給人們留下了深刻印象.為了增加學(xué)生對奧運(yùn)知識的了解，弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某校組織高二年級學(xué)生進(jìn)行了奧運(yùn)知識能力測試.根據(jù)測試成績（單位：分），將所得數(shù)據(jù)按照，，，，，分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示，用頻率近似概率，從測試成績中隨機(jī)抽取2個，抽取的2個中至少有1個低于60分的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】會用頻率直方圖求概率，并會求兩個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率.【詳解】由頻率近似概率知，抽取1個成績低于60分的概率為，所以抽取的2個成績中至少有1個低于60分的概率.故選：A6.在棱長為6的正四面體中，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將向量用正四面體的棱長表示，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以因?yàn)?，且所以，所?因?yàn)檎拿骟w的棱長為6，所以.故選：C.7.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就.如圖，這是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則（）A.12210 B.6105 C.6205 D.12220【答案】B【解析】【分析】歸納可得，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】因?yàn)闅w納可得，又，所以，所以，故.故選：B.8.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出兩直線所過定點(diǎn)，確定點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除點(diǎn)外），求出其方程，數(shù)形結(jié)合，利用直線和圓相切，求出相切時切線斜率，即可求得答案.【詳解】由題意直線，即，直線，且滿足，故直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，且直線與直線垂直，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（除點(diǎn)外），且圓心為，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程是除去點(diǎn).易知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離，解得±1.當(dāng)時，切點(diǎn)為，所以直線的傾斜角的取值范圍為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若為等差數(shù)列，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞減 C.有最大值 D.【答案】ACD【解析】【分析】先求出公差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而判斷A；利用等差數(shù)列的求和公式求出，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，所以?shù)列先增后減，故不正確；當(dāng)時二次函數(shù)取最大值，因?yàn)?，所以?時，有最大值，，故，正確.故選：ACD.10.一個盒子中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5的五張?zhí)柡?，從中有放回地隨機(jī)選取兩張?zhí)柡?，每次取一?事件“第一次取到標(biāo)號為1或2的號簽”，事件“第二次取到標(biāo)號為5的號簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號之和為5”，則（）A.與獨(dú)立 B.與對立 C. D.【答案】ACD【解析】【分析】先用窮舉法列出樣本空間和事件，再由獨(dú)立事件的乘法公式可得A正確；由互斥事件的性質(zhì)可得B錯誤；由古典概率可得C正確；由并事件的概率公式可得D正確；【詳解】選取的號簽用表示，則共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，25個基本事件，而事件包含了，，，，，，，，，，10個基本事件，事件包含了，，，，，5個基本事件，事件包含了，，，，4個基本事件，所以，，.對于A，因?yàn)槭录?，?個基本事件，所以.因?yàn)?，所以與獨(dú)立，故A正確；對于B，因?yàn)榕c互斥但不對立，所以B錯誤；對于C，因?yàn)槭录?，?個基本事件，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以D正確.故選：ACD.11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若A，B在左支上，且為正三角形，則的離心率為B.若A，B分別在左、右兩支上，且為正三角形，則的漸近線方程為C.若A，B在左支上，，，成等差數(shù)列，且，則的離心率為D.若A，B分別在左、右兩支上，過點(diǎn)作直線的垂線交雙曲線于點(diǎn)，，且B，O，D三點(diǎn)共線，則雙曲線的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)得到關(guān)于的齊次方程可判斷A；利用余弦定理求出離心率可得，從而可判斷B；利用等差數(shù)列以及余弦定理得到關(guān)于的齊次方程可判斷C；由雙曲線的對稱性知四邊形為矩形，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可得，進(jìn)而得，即可判斷D.【詳解】對于A，由雙曲線的對稱性可知，直線垂直于軸，，，所以，，解得，故A正確.對于B，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，所以的漸近線方程為，故B錯誤.對于，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，即.因?yàn)?，所?設(shè)，則，，，所以.在中，，解得，所以，，，.因?yàn)?，所以，解得，故C正確.對于D，由雙曲線的對稱性知四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，.由，得，解得.由，得，所以，所以，所以的漸近線方程為，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線離心率的常用方法：（1）定義法：根據(jù)已知條件列出方程組求解出的值，結(jié)合離心率計算公式求得結(jié)果；（2）齊次式法：根據(jù)已知條件得到關(guān)于的齊次方程，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率的方程，計算出結(jié)果即可；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值求得離心率.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若直線與直線平行，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程求解，注意檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因，所以，所以或.當(dāng)時，，，，重合；當(dāng)時，，，符合題意故答案為：13.定義：是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，PN（M，N為切點(diǎn)）相互垂直，若圓經(jīng)過點(diǎn)P，M，N，C，則稱為圓的“伴隨點(diǎn)”，圓為“伴隨圓”.已知圓：，為圓的“伴隨點(diǎn)”，則“伴隨圓”圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.【答案】【解析】【分析】由題意確定圓是以為直徑的圓，求出圓心和半徑，即得答案.【詳解】因?yàn)椤鞍殡S圓”圓過點(diǎn)P，M，N，C，由于，所以圓是以為直徑的圓，而，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為故答案為：14.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件得，因此故數(shù)列和數(shù)列均為等差數(shù)列，分為奇數(shù)，和為偶數(shù)兩種情況結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)分別分組求和即可求解.【詳解】由題意得，當(dāng)時，，解得.由，，兩式相減得，且不滿足上式.根據(jù)上式有：，又因?yàn)椋獾?，由，，兩式相減得，故數(shù)列和數(shù)列均為公差為的等差數(shù)列.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，則當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，則.綜上，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用遞推公式得到：，確定數(shù)列的特點(diǎn)從而求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某公司的入職面試中有5道難度相當(dāng)?shù)念}目，面試者需要從中隨機(jī)抽取3道題回答，至少答對2道題才算通過，否則面試失敗.面試者甲能答對其中3道題，面試者乙答對每道題的概率都是，假設(shè)抽到的不同題目能否答對是相互獨(dú)立的.（1）求面試者甲?乙各自通過面試的概率；（2）求甲?乙至少有一人通過面試的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率公式可得甲通過面試的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式可得乙通過面試的概率.（2）計算甲，乙都沒有通過面試的概率，根據(jù)對立事件概率公式可得結(jié)果.【小問1詳解】記甲能答對的題號為，不能答對的題號為4，5，則甲從中隨機(jī)抽取3道題共有，10種情況，甲能通過面試包含了7種.設(shè)“甲能通過面試”為事件，則.記“乙每次答題正確”為事件，“乙能通過面試”為事件，則.【小問2詳解】由（1）知甲，乙都沒通過面試的概率為.故甲，乙至少有一人通過面試的概率.16.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，，，，.（1）證明：.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由正方形可證明，由面面垂直可證平面，進(jìn)而可證，由線面垂直的判定定理可證平面，進(jìn)而可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的運(yùn)算求余弦值即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，在直角梯形中，因?yàn)椋?，，，所以為正方形，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?【小問2詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以令，得，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋粤?，得，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)到軸的距離為，與焦點(diǎn)的距離為4，直線與交于A，B兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）若直線的斜率為1，與軸的交點(diǎn)為，且，求；（3）若直線過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，證明：平行于軸.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線上點(diǎn)到x軸的距離以及焦半徑公式求出p，即可求得答案.（2）利用聯(lián)立方程結(jié)合向量等式，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，求出B點(diǎn)縱坐標(biāo)，繼而求出D點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】解：依題意，設(shè)點(diǎn)，則，代入，解得，因?yàn)?，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，即，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，.由，得由消去整理得，需滿足所以，且，解得，此時滿足題意；代入，解得，，故【小問3詳解】證明：由（1）得拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線的方程為，，，由消去整理得，，則，即，直線的方程為，當(dāng)時，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，故平行于軸.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是第三問中，證明平行于軸，需計算求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，比較二者，相等即可.18.在數(shù)列中，已知，.（1）證明是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式.（2）若數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.①求，并證明；②證明：.【答案】（1）證明見解析，（2）①，證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）利用題干進(jìn)行特值法，求出公差.（2）利用題干條件進(jìn)行代換，得到答案.【小問1詳解】令，，則對任意，都有，即，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故，即.【小問2詳解】①由（1）可得，即，得.因?yàn)?，，所以兩式相減得，即.②證明：由得，要證，即證，由①得，，則，故，原不等式成立.19.已知橢圓，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，M，N是橢圓上異于A，B的兩個點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時，四邊形的周長為，面積為4.（1）求橢圓的方程.（2）若，的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn).（3）在（2）的條件下，若直線，交于點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的對稱性列式求出即可.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算推理得證.（3）由（2）的信息，利用直線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并建立函數(shù)關(guān)系求出最小值.【小問1