浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

學(xué)年浙江省杭州市高一上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集為，，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)補(bǔ)集的定義求出，，再由集合交集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)槿?，所以，，所以故選：2.已知，為第二象限角，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算可得，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系建立方程組，解之即可求解.【詳解】由，得，是第二象限角，，解得故選：D3.已知，則（）第1頁(yè)/共20頁(yè)A.B.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】將兩邊平方，可得，計(jì)算進(jìn)而可求解.【詳解】將兩邊平方，得，即，所以，所以故選：.4.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，帶點(diǎn)計(jì)算可得，得到，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解即可.【詳解】設(shè)，代入點(diǎn)得，則，令，函數(shù)的值域是.故選：C.第2頁(yè)/共20頁(yè)5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，排除A，再根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再通過特殊值排除D得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，排除A項(xiàng)；∵，∴奇函數(shù)，排除C項(xiàng)；再取特殊值當(dāng)時(shí)，，排除D項(xiàng).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)解析式選函數(shù)圖象問題，考查函數(shù)的定義域，奇偶性，函數(shù)值等性質(zhì)，是中檔題.6.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則等于（）A.B.C.5D.6第3頁(yè)/共20頁(yè)【答案】A【解析】【分析】由題意知，確定函數(shù)在上的單調(diào)性和值域，列式求解即可得的值.【詳解】，，∴則函數(shù)為常數(shù)，且在單調(diào)遞增，又∵函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?，?故選：A7.某學(xué)校生物興趣小組同學(xué)自制生態(tài)瓶，根據(jù)水中的生物種類數(shù)S與生物個(gè)體總數(shù)N研究生態(tài)瓶水質(zhì)，設(shè)立生物豐富度指數(shù)作為生態(tài)瓶水質(zhì)評(píng)價(jià)指標(biāo).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.若經(jīng)過老師指導(dǎo)調(diào)整以后生態(tài)瓶生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)公式列出調(diào)整前后的生物豐富度指數(shù)表達(dá)式，對(duì)①②式進(jìn)行變形，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得出答案.【詳解】由題意得①，②，則，第4頁(yè)/共20頁(yè)即，即，所以，故選：D8.在下列區(qū)間中，函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)，再利用數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】函數(shù)零點(diǎn)為與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象.如下圖示：由圖可知與的圖象在區(qū)間上無交點(diǎn).所以選項(xiàng)中，函數(shù)不存在零點(diǎn)的區(qū)間.故選:二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下結(jié)果正確的是（）A.B.若，則C.第5頁(yè)/共20頁(yè)D.【答案】ACD【解析】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可判斷A；根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則結(jié)合完全平方公式計(jì)算即可判斷B；通過角度制與弧度制的互化可判斷C；通過逆用兩角差的正弦公式計(jì)算可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，兩邊平方，得，解得，兩邊平方，得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確.故選：ACD.10.下列命題正確的是（）A.不存在函數(shù)、滿足定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但值域不同B.命題“，”的否定是“，C.已知，是第一象限角，則“”是“”的充要條件D.三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足【答案】AD【解析】ABC取反例即可排除；對(duì)于D，利用三角形內(nèi)角和關(guān)系與誘導(dǎo)公式推理即得.第6頁(yè)/共20頁(yè)【詳解】對(duì)于A，由函數(shù)的定義可知，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同，故A正確；對(duì)于B，命題"，"否定是"，"，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若取，，滿足，是第一象限角，且，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，所以，故D正確.故選：AD.已知函數(shù)，且，，則（）A.若，則對(duì)稱軸方程為，B.若，則函數(shù)向左移動(dòng)得到C.函數(shù)周期為，D.若在區(qū)間上單調(diào)，則最大值為9【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，由已知求得，求出對(duì)稱軸方程，即可判斷；對(duì)于B，由已知求得，由平移變換得到，即可判斷；對(duì)于C，由已知可得，求出周期，即可判斷；對(duì)于D，由已知可得，又，，驗(yàn)證可得的最大值，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，由，，得，第7頁(yè)/共20頁(yè)解得，，令，得，即，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由，，得，解得，，將向左平移，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，，得，解得，，故C正確；對(duì)于D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則，解得，所以，即，又，，則，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又由，即，第8頁(yè)/共20頁(yè)解得，，所以，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又由，即，解得，，所以，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，滿足題意，綜上所述，的最大值為9，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，得到后，由，，得，，再驗(yàn)證可得的最大值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.______________.【答案】##【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可【詳解】，故答案為：13.已知，M，N是直線與曲線最近的兩個(gè)交點(diǎn)，且第9頁(yè)/共20頁(yè)，則的值為_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)得，即可解出的值.【詳解】相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為，，，則，∵，∴或，令，得，，則，故故答案為：14.已知函數(shù)滿足：①；②，；③，，請(qǐng)寫出一個(gè)你認(rèn)為符合上述要求的函數(shù)_____.【答案】答案不唯一【解析】【分析】由題意，可知函數(shù)為偶函數(shù)，舉例驗(yàn)證即可.【詳解】由,知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，可取函數(shù)，則，故滿足①；當(dāng)時(shí)，，故滿足②；第10頁(yè)/共20頁(yè)，，，，故，故滿足③故答案為：答案不唯一四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，，集合（1）求；（2）若，求p，q的值；（3）若，求【答案】（1）（2）（3）解析見詳解【解析】1）解分式不等式即可；（2）根據(jù)集合相等，利用函數(shù)的零點(diǎn)和方程根的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理求解；（3）先由得到p，q的關(guān)系，代入后求解含參的一元二次不等式即可.【小問1詳解】由得，，解得，即.【小問2詳解】由，知，，即，；第11頁(yè)/共20頁(yè)【小問3詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)當(dāng)，即時(shí)，，解集為，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)16.已知定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且（1）求的解析式；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義證明；（3）解不等式【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】1）由關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，，再結(jié)合代入計(jì)算即可得；（2）借助單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性，列不等式求解即可.【小問1詳解】定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為上的奇函數(shù)，，解得；，又，故，，其滿足，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第12頁(yè)/共20頁(yè)即；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增；證明如下：令，，由，則，，，，即在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由題意可得為奇函數(shù)，故由，得，，又在上單調(diào)遞增，則有，解得，故不等式的解集為17.在平面直角坐標(biāo)系中，O的終邊與單位圓的交點(diǎn)為繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交單位圓于點(diǎn)，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于的函數(shù)為，終邊對(duì)應(yīng)角第13頁(yè)/共20頁(yè)（1）若，，求；（2）對(duì)（1）中，若，，求；（3）若，縱坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，求.【答案】（1）（2）1（3）【解析】1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式得，利用同角的平方關(guān)系求出，結(jié)合和兩角差的正切公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角函數(shù)的定義、同角的平方關(guān)系和二倍角的正余弦公式計(jì)算可得、，，結(jié)合和兩角差的余弦公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，且，點(diǎn)A在第三象限，所以；【小問2詳解】第14頁(yè)/共20頁(yè)由于，得，即，又，得，所以，得，所以，得；【小問3詳解】易知，，由可知，，，，從而，，由，可知，所以，從而，易知，故18.為鼓勵(lì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，國(guó)家對(duì)應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)貸款設(shè)立優(yōu)惠政策.現(xiàn)有應(yīng)屆畢業(yè)大學(xué)生甲貸款開設(shè)某型號(hào)節(jié)能板銷售公司，銀行提供48萬元無息貸款作為啟動(dòng)資金，同時(shí)提供貸款120利率為）.已知該企業(yè)每月運(yùn)行成本為44000元，該節(jié)能板的進(jìn)價(jià)為每件140元，該店月銷售量（百第15頁(yè)/共20頁(yè)件）與銷售價(jià)格（元）的關(guān)系如下圖（每段圖象為直線段，，，）.（1）請(qǐng)寫出月利潤(rùn)L關(guān)于P的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)節(jié)能板的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤(rùn)的余額最大?并求最大余額；（3.貸款至少需要幾年參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】（1）（2）當(dāng)元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大為20000元（3）最早可望在年后還清【解析】1）求出與的關(guān)系式，由題意可得，繼而即可求解；（2）由（1）解析式，分和時(shí)討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解；（3）設(shè)可在第n年還清，結(jié)合題意可得，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算繼而可求解.【小問1詳解】設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)，則由題設(shè)得，由圖可得線段的方程為：，，即；線段的方程為：，，第16頁(yè)/共20頁(yè)即；所以，所以.即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)元時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)元時(shí)，故當(dāng)元時(shí)，月利潤(rùn)余額最大為20000元；【小問3詳解】設(shè)可在第年還清，依題意有，即，的圖象與的圖象至多有兩個(gè)點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以最早可望在年后還清.第17頁(yè)/共20頁(yè)19.AB分別為函數(shù)可解得唯一也是一個(gè)函數(shù)即對(duì)任意一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作在中，y是自變量，x是y的函數(shù).習(xí)慣上改寫成的形式.比如：函數(shù)的反函數(shù)求法為：第一步：反解：，；第二步：互換字母：；第三步：求定義域：易知原函數(shù)值域?yàn)?，故反函?shù)定義域?yàn)?，反函?shù)為記函數(shù)的反函數(shù)為，且有函數(shù)滿足其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）求函數(shù)，；（2）若關(guān)于x的不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于x的方程有兩根，，求的最小值.【答案】（1），（2）或（3）【解析】1）根據(jù)求反函數(shù)的步驟仔細(xì)計(jì)算即可求函數(shù)，的解析式；（2在三種情況討論，分別利用函數(shù)單調(diào)性求最值，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合三種情況可得答案；（3）先通過換元結(jié)合韋達(dá)定理，可得滿足，，則可化為，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.第18頁(yè)/共20頁(yè)【小問1詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以函?shù)的反函數(shù)是，可知，.【小問