2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上冊第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.22.是被長為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.3.已知向量，，則在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.4.在棱長為2正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.5.已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為棱上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（） B. C. D.6.在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足．若共面，則（）A. B. C. D.7.已知向量，則的最小值為（）A. B. C. D.8.“長太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，、、分別為所在棱中點(diǎn)，、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉餡與整個粽子體積的比為（）.A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）A.B.向量與所成角的余弦值為C.平面的一個法向量是D.點(diǎn)到平面的距離為10.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D.當(dāng)時，平面11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A. B.直線與平面所成角的正弦值為C.點(diǎn)到直線的距離是 D.異面直線與所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，是的中點(diǎn)．在直線上求一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為______時，使．13.四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為______.14.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪那，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為_______.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動.（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當(dāng)為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.16.如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．（1）求BN長；（2）求值．（3）求證：BN⊥平面．17.如圖，在四棱維中，平面平面，，，，，，．（1）求直線與平面所成角的正切值；（2）在上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．18.如圖1，在邊長為4的菱形中，，點(diǎn)M，N分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面與平面所成角余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．19.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，平面，分別是線段和上的動點(diǎn)，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的最大值；（3）若直線與線段交于M點(diǎn)，于點(diǎn)H，求線段長的最小值.2024-2025學(xué)年廣東省東莞市高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】利用兩個向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值．詳解】向量若，則，．故選：C．2.是被長為1的正方體的底面上一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，同時設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，用坐標(biāo)運(yùn)算計算出，配方后可得其最大值和最小值，即得其取值范圍．【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，設(shè)，，，，，，，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)或1，或1時，取得最大值0，所以的取值范圍是.故選：B.3.已知向量，，則在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)投影向量公式計算可得答案.【詳解】向量在向量上的投影向量為.

故選：A.4.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：D．5.已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為棱上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形計算即可.【詳解】由條件易知.故選：D6.在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足．若共面，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的共面向量定理的推論列式計算即得.【詳解】在四面體中，不共面，而，則由，得，所以.故選：D7.已知向量，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】計算出，得到答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：C.8.“長太息掩涕兮，哀民生之多艱”，端陽初夏，粽葉飄香，端午是一大中華傳統(tǒng)節(jié)日.小瑋同學(xué)在當(dāng)天包了一個具有藝術(shù)感的肉粽作紀(jì)念，將粽子整體視為一個三棱錐，肉餡可近似看作它的內(nèi)切球（與其四個面均相切的球，圖中作為球）.如圖：已知粽子三棱錐中，，、、分別為所在棱中點(diǎn)，、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，小瑋同學(xué)切開后發(fā)現(xiàn)，沿平面或平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡.則肉餡與整個粽子體積的比為（）.A. B. C. D.【正確答案】B【分析】設(shè)，易知，且，設(shè)肉餡球半徑為，，根據(jù)中點(diǎn)可知到的距離，，根據(jù)三角形面積公式及內(nèi)切圓半徑公式可得，結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而可得，，可得內(nèi)切球半徑且可知三棱錐為正三棱錐，再根據(jù)球的體積公式及三棱錐公式分別求體積及比值.【詳解】如圖所示，取中點(diǎn)為，，為方便計算，不妨設(shè)，由，可知，又、分別為所在棱靠近端的三等分點(diǎn)，則，且，、，，平面，即平面，又平面，則平面平面，設(shè)肉餡球半徑為，，由于、、分別為所在棱中點(diǎn)，且沿平面切開后，截面中均恰好看不見肉餡，則到的距離，，，又，解得：，故，又，解得，，所以：，解得，，由以上計算可知：為正三棱錐，故，所以比值為.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是（）A.B.向量與所成角的余弦值為C.平面的一個法向量是D.點(diǎn)到平面的距離為【正確答案】BCD【分析】先寫出需要的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量分別計算每個選項即可.【詳解】由題可知，A2,0,0,,,,,，所以，故選項A錯誤；,，所以，故選項B正確；,，記，則，故，因為,平面，所以垂直于平面，故選項C正確；DA=2,0,0，所以點(diǎn)到平面的距離，故選項D正確；故選：BCD10.在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，點(diǎn)在棱上B.當(dāng)時，點(diǎn)到平面的距離為定值C.當(dāng)時，點(diǎn)在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段上D.當(dāng)時，平面【正確答案】BCD【分析】對于A，由即可判斷；對于B，由和平面即可判斷；對于C，分別取和的中點(diǎn)和，由即即可判斷；對于D，先求證平面，接著即可求證平面，進(jìn)而即可求證平面.【詳解】對于A，當(dāng)時，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在上，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，又，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故點(diǎn)在棱上，由三棱柱性質(zhì)可得平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故B正確；對于C，當(dāng)時，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，所以且，，即，所以即，又，所以三點(diǎn)共線，故在線段上，故C正確；對于D，當(dāng)時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，由題為正三角形，所以，又由正三棱柱性質(zhì)可知，因為，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，設(shè)與相交于點(diǎn)O，則，即，又，平面，所以平面，因為平面，所以，由正方形性質(zhì)可知，又，平面，所以平面，故D正確.故選：BCD.思路點(diǎn)睛：對于求證平面，可先由和得平面，從而得，接著求證得平面，進(jìn)而，再結(jié)合即可得證平面.11.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A. B.直線與平面所成角的正弦值為C.點(diǎn)到直線的距離是 D.異面直線與所成角的余弦值為【正確答案】BC【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到；B選項，求出平面的法向量，利用線面角的夾角公式求出答案；C選項，利用空間向量點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解；D選項，利用異面直線夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】A選項，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，則，A錯誤；B選項，平面的法向量為，，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則，B正確；C選項，，點(diǎn)到直線的距離為，C正確；D選項，，設(shè)異面直線與所成角大小為，則，D錯誤.

故選：BC三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.正三棱柱的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，是的中點(diǎn)．在直線上求一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拈L為______時，使．【正確答案】##【分析】根據(jù)正三柱性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由正三棱柱性質(zhì)可得，因此以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：易知，設(shè)的長為，且，可得；易知若,則,解得，所以當(dāng)?shù)拈L為時，使.故13.四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為______.【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面一個法向量及，由與平面所成角，根據(jù)即可求解.【詳解】因為底面，底面是正方形，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則重心，因而，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令則，則，故答案為.14.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪那，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為_______.【正確答案】117m【分析】先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解．【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，，由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以．因為平面，平面，所以，因為，，平面，，所以平面，因為平面，所以，同理，，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為．故117m四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上移動.（1）當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）當(dāng)為何值時，直線與平面所成角的正弦值最小，并求出最小值.【正確答案】（1）（2）當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值最小，最小值為【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面一個法向量，平面的一個法向量，利用向量法可求平面與平面所成的夾角的余弦值；（2）設(shè)，可求得平面的一個法向量，直線的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值.【小問1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)在棱的中點(diǎn)時，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成的夾角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，令，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為.16.如圖所示，直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．（1）求BN的長；（2）求的值．（3）求證：BN⊥平面．【正確答案】（1）（2）（3）證明見解析【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式，即得答案；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式，即可求得答案；（3）求出，，的坐標(biāo)，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證明方法，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】如圖，建立以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系．依題意得，∴；【小問2詳解】依題意得，，∴，，，，，所以；【小問3詳解】證明：，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴BN⊥平面．17.如圖，在四棱維中，平面平面，，，，，，．（1）求直線與平面所成角的正切值；（2）在上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由．【正確答案】（1）（2）存在點(diǎn)，使得平面，.【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系求解直線與平面所成角的正切值即可；（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)，使得，由線面平行，轉(zhuǎn)化為平面的法向量與直線的方向向量垂直，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】取的中點(diǎn)為，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，，，所以，，所以，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，P0,0,1，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量為m=x,y,z則，，令則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，所以，所以，所以直線與平面所成角的正切值.【小問2詳解】在上存在點(diǎn)，使得，所以，所以，所以，所以，因為平面，所以，即，解得，所以存在點(diǎn)，使得平面，此時.18.如圖1，在邊長為4的菱形中，，點(diǎn)M，N分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）若平面平面，線段上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）總