2019-2021北京高一(上)期中數(shù)學(xué)匯編：單調(diào)性

1/12019-2021北京高一（上）期中數(shù)學(xué)匯編單調(diào)性1一、單選題1．（2019·北京·人大附中高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，則實(shí)（

）A．B．C．D．2．（2019·北京·臨川學(xué)校高一期中）若奇函數(shù)在上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．3．（2019·北京師大附中高一期中）函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2019·北京·清華附中上莊學(xué)校高一期中）在區(qū)間上是減函數(shù)的是A． B． C． D．5．（2019·北京市第一五九中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，2)上為增函數(shù)的是

A． B．C． D．6．（2020·北京·中關(guān)村中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為A． B． C． D．7．（2020·北京育才學(xué)校高一期中）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，則（

）．A． B．C． D．8．（2020·北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．9．（2021·北京市第一五九中學(xué)高一期中）下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B． C． D．10．（2021·北京市第九中學(xué)高一期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為A． B． C． D．11．（2021·北京·景山學(xué)校高一期中）若是定義在(－∞，＋∞)上的偶函數(shù)，∈[0，＋∞)且（），則()A． B．C． D．12．（2021·北京·東直門中學(xué)高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．13．（2021·北京市海淀區(qū)尚麗外國語學(xué)校高一期中）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（

）A． B．C． D．14．（2021·北京市第十三中學(xué)高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題15．（2019·北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期中）定義在區(qū)間上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減,若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．16．（2020·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．17．（2020·北京市第四十四中學(xué)高一期中）已知函數(shù)是定義上的減函數(shù)，如果在上恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.18．（2021·北京十五中高一期中）已知函數(shù)滿足：①對任意的，都有；②對任意的都有.則_____．19．（2021·北京市第一五九中學(xué)高一期中）已知函數(shù)y＝f（x）是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．20．（2021·北京十五中高一期中）若是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.三、解答題21．（2019·北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)高一期中）已知函數(shù)圖象過點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值，并證明函數(shù)是奇函數(shù)；（2）利用單調(diào)性定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)．22．（2019·北京·北師大二附中高一期中）函數(shù)f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=1．（1）求a，b的值；（2）判斷并用定義證明f（x）在（+∞）的單調(diào)性．23．（2019·北京·臨川學(xué)校高一期中）已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)．(1)求b的值；(2)證明：函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)；(3)解關(guān)于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.24．（2020·北京·臨川學(xué)校高一期中）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)f(y)．(1)求f(0)的值；(2)證明：f(x)在R上是減函數(shù)．25．（2021·北京市第一五九中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，并且滿足，且，當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）如果，求的取值范圍.26．（2021·北京·東直門中學(xué)高一期中）已知函數(shù)，且．（）判斷并證明函數(shù)在其定義域上的奇偶性．（）證明函數(shù)為上是增函數(shù)．（）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．27．（2021·北京十五中高一期中）定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性并予以證明；（3）若，解不等式28．（2021·北京·東直門中學(xué)高一期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對任意，，；②當(dāng)時(shí)，，且．（1）試判斷函數(shù)的奇偶性．（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性．（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．（4）求不等式的解集．

參考答案1．D【解析】根據(jù)是偶函數(shù)得到在上的單調(diào)性，考慮時(shí)對應(yīng)的關(guān)于的不等式，最后求出的范圍.【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，所以或，所以的取值范圍?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求解參數(shù)范圍，難度一般.（1）利用奇偶性可分析函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性；（2）利用單調(diào)性可將函數(shù)值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系，從而達(dá)到求解參數(shù)范圍的目的.2．A【解析】由奇函數(shù)在上是增函數(shù)，得到函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【詳解】由題意，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，可得在上是增函數(shù)，即函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，又由，所以．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．3．B【解析】先證明函數(shù)的單調(diào)遞增，再證明，即得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)都是增函數(shù)，又所以，所以函數(shù)在區(qū)間(1，3)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)定理，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.4．C【解析】根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤在上單調(diào)遞減，正確；在上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查常見函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】由于在上是增函數(shù)，所以在(0，2)上為增函數(shù).6．D【解析】試題分析：A中函數(shù)不是奇函數(shù)；B中函數(shù)不是奇函數(shù)；C中函數(shù)是奇函數(shù)，在定義域上不具有單調(diào)性；D中函數(shù)是奇函數(shù)并且是增函數(shù)考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性單調(diào)性7．A【解析】由對任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨(dú)遞減，所以，選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行8．D【解析】分別利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義去判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A,在上為增函數(shù)，在上單調(diào)遞減；選項(xiàng)B，在和上單調(diào)遞減，不能說在定義域上單調(diào)遞減；選項(xiàng)C，在上為減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，只有選項(xiàng)D在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù).故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，注意要優(yōu)先考慮定義域，及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的寫法，考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】逐項(xiàng)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】選項(xiàng)A，函數(shù)在是減函數(shù)，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，函數(shù)對稱軸為，在上沒有單調(diào)性，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，函數(shù)在是減函數(shù)，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，函數(shù)，在在是增函數(shù)函數(shù)，所以正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查在指定區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，要熟練掌握簡單函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除，只有D正確，因此選D.點(diǎn)評：該題主要考察函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，理解和掌握基本函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.11．B【解析】，有當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)即故選12．B【解析】求出的定義域，進(jìn)而結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由題意，可得，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，二次函?shù)的對稱軸為，且在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，必須先求出函數(shù)的定義域.13．D【解析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，且，所以，即，故選：D.14．A【解析】根據(jù)圖形可得，再根據(jù)偶函數(shù)可判斷.【詳解】由圖可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，是定義在上的偶函數(shù)，，.故選：A.15．【解析】不等式等價(jià)于：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等式組可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題．16．【解析】因?yàn)槭欠侄魏瘮?shù)且為增函數(shù)，故，故可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】因?yàn)闉樯系脑龊瘮?shù)，故，所以，填．【點(diǎn)睛】如果一個(gè)分段函數(shù)在為增函數(shù)（或減函數(shù)），那么該函數(shù)除了在每個(gè)分段上都是增函數(shù)（或減函數(shù)），分段處的端點(diǎn)處的函數(shù)值也應(yīng)有相應(yīng)的大小關(guān)系，后者在解題中容易忽視．17．【解析】在上恒成立，函數(shù)是定義域在上的減函數(shù)，在上恒成立，又因?yàn)?，故答案?【方法點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性以及不等式恒成立問題，屬于難題.對于求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù),這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù),另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要注意分離參數(shù)法不是萬能的,如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,性質(zhì)很難研究,就不要使用分離參數(shù)法.18．66【解析】令m=n+1,,得，說明f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)，則，顯然，否則f(f(1))=f(1)=1，與f(f(1))=3矛盾．從而,而由f(f(1))=3,即f(a)=3,又，即，所以，同時(shí)，，，，，54-27=81-54=27，又單調(diào)遞增，，所以當(dāng),,,=2+9+55=6619．【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量大小關(guān)系，即可求解【詳解】由題意可知，解得x>.∴x的取值范圍為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，不要忽略了定義域，屬于基礎(chǔ)題.20．【解析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.【詳解】解：是上的減函數(shù)，則，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題.21．（1），證明略

（2）見證明【解析】（1）代入點(diǎn)，求得m，再由奇函數(shù)的定義，即可得證（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)值，作差，變形，定符號和下結(jié)論即可得證【詳解】（Ⅰ）的圖象過點(diǎn)，∴，∴.∴，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，又，∴，是奇函數(shù)．（Ⅱ）證明：設(shè)任意，則又，，，∴∴，∴，即在區(qū)間上是增函數(shù)【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)解析式的求解以及單調(diào)性的判斷和證明，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，掌握相關(guān)基本方法是解決該類題目的關(guān)鍵．22．（1）a=5，b=0；（2）見解析.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，可利用f（1）=1和f（-1）=-1，解方程組可得a、b值，然后進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義利用作差法進(jìn)行證明．【詳解】（1）根據(jù)題意，f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=1，則f（-1）=-f（1）=-1，則有，解可得a=5，b=0；經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.（2）由（1）的結(jié)論，f（x）=，設(shè)＜x1＜x2，f（x1）-f（x2）=-=，又由＜x1＜x2，則（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，則f（x1）-f（x2）＞0，則函數(shù)f（x）在（，+∞）上單調(diào)遞減．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．23．(1)b＝0；(2)見解析；(3)【解析】(1)根據(jù)，求得的值；(2)由(1)可得，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；(3)由題意可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可得，由此求得的范圍．【詳解】(1)∵函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證b＝0符合題意；(2)由(1)可得，下面證明函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．證明:設(shè)，則有，，可得，，，,即函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)．(3)由不等式可得，再根據(jù)函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上是減函數(shù)，可得1＋x2＜x2－2x＋4，解得：，故不等式的解集為.24．（1）（2）證明見解析【解析】（1）特殊值代入法.令代入，可得.（2）先將代入，證明，再用定義法證明單調(diào)遞減.【詳解】(1)∵，當(dāng)時(shí)，，令，則．∵，∴.(2)證明：若，∴，∴，故.任取，則．∵，∴，∴．故在上是減函數(shù)．25．（1）（2）奇函數(shù)（3）.【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求f（0）的值；（2）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求解．試題解析：（1）令，則，∴；（2）∵∴由（1）知，∴∴函數(shù)是奇函數(shù)（3）設(shè)，且，則，，∵當(dāng)時(shí)，∴，即∴，∴函數(shù)是定義在上的增函數(shù)∵∴∴∵∴∴∵函數(shù)是定義在上的增函數(shù)∴∴∴不等式的解集為.26．（）在定義域上為奇函數(shù)；（）見解析；（）在上最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（1）先將f（1）=2代入，求出a的值代入后再判斷函數(shù)的奇偶性，并用定義證明；（2）利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性；（3）結(jié)合第（2）問單調(diào)性的結(jié)果，判斷該函數(shù)在[2，5]上的單調(diào)性，再求最值．試題解析：（）∵，，∴，∴，，∴在定義域上為奇函數(shù)．（）證明：設(shè)，∵，，，，∴，，∴在為增函數(shù)．（）∵在單調(diào)遞增在上，，．點(diǎn)睛：明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個(gè)式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負(fù)（要注意說理的充分性），必要時(shí)要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性.27．（1）；（2）減函數(shù)，證明見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）由條件令，則；（2）由單調(diào)性定義，設(shè)，則，由時(shí)，，即有，即可求得單調(diào)性（3）關(guān)鍵函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，得到關(guān)于的不等式，解出即可.試題解析：（1）令，代入得，故；（2）任取，且，則，由于當(dāng)時(shí)