《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》課件-第2章

第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)函數(shù)的微分

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

1.引例

(1)變速直線運動的瞬時速度問題.

設(shè)動點M作變速直線運動,其經(jīng)過的路程s是時間t的函數(shù),即s=s(t),求它在時刻t0的瞬時速度.

圖2.1直線運動圖

由于時間間隔Δt較短,它可以大致說明動點M在t0時刻的速度,且時間間隔Δt取得越小,這段時間內(nèi)的平均速度越接近t0時刻瞬時速度.若令Δt趨于零,則極限值

精確地反映了動點在t0時刻的瞬時速度

(2)切線的斜率問題.

如圖2.2所示,如果割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.圖2.2函數(shù)y=f(x)的切線圖

2.導(dǎo)數(shù)的定義

上面討論的兩個實例,雖然是不同的問題,但是它們在計算時都?xì)w結(jié)為如下的極限:

其中是函數(shù)的增量與自變量的增量之比,表示函數(shù)的平均變化率.

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

如圖2.3所示,f'(x0)表示曲線y=f(x)在點M(x0,f(x0))處的切線的斜率,即f'(x0)=tanα(α為傾角).圖2.3函數(shù)y=f(x)的切線圖

4.由導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)

5.連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的運算

2.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定理2如果u=g(x)在點x可導(dǎo),函數(shù)y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點x可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為

例8求由方程ey+xy-e=0所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).

解把方程兩邊的每一項對x求導(dǎo)數(shù)得

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則:在方程F(x,y)=0中,將y看作是x的函數(shù),y的表達(dá)式看作是x的復(fù)合函數(shù).然后方程兩端對x求導(dǎo),解出y'x,即為所求的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

隱函數(shù)求導(dǎo)方法小結(jié):

(1)方程兩端同時對x求導(dǎo)數(shù),注意把y當(dāng)作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來看待.

(2)從求導(dǎo)后的方程中解出y'來.

(3)隱函數(shù)求導(dǎo)允許其結(jié)果中含有y.但求某一點的導(dǎo)數(shù)時不但要把x值代進(jìn)去,還要把對應(yīng)的y值代進(jìn)去.

對數(shù)求導(dǎo)法:先在y=f(x)的兩邊取對數(shù),然后再求出y的導(dǎo)數(shù).

設(shè)y=f(x),兩邊取對數(shù),得

兩邊對x求導(dǎo),得

對數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=[u(x)]v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù).

第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

函數(shù)求導(dǎo)之后得到導(dǎo)函數(shù),有時仍要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析,若導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo),則對導(dǎo)函數(shù)再求導(dǎo),稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).

第四節(jié)函數(shù)的微分

函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)是我們非常關(guān)心的.一般來說函數(shù)的增量的計算是比較復(fù)雜的,我們希望尋求計算函數(shù)增量的近似計算方法.先分析一個具體問題,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0變到x0+Δx(見圖2.4),問此薄片的面積改變了多少?圖2.4金屬薄片受溫度變化圖

1.微分的定義

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Δx在該區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示為Δy=AΔx+o(Δx),其中A是不依賴于Δx的常數(shù),那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0是可微的,而AΔx叫作函數(shù)y=f(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy=AΔx.

2.可微的條件

函數(shù)可微的條件函數(shù)f(x)在點x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo),且當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0可微時,其微分一定是

3.微分的幾何意義

幾何意義:(見圖2.5)當(dāng)Δy是曲線y=f(x)上點的縱坐標(biāo)的增量時,dy就是曲線的切線上點縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.當(dāng)|Δx|很小時,|Δy-dy|比|Δx|小得多.因此在點M的鄰近,切線段MP可近似代替曲線段MN.

4.微分的計算

由微分的定義知,微分的計算和導(dǎo)數(shù)一樣,只是要在導(dǎo)數(shù)結(jié)果后乘以dx,為便于比較,我們還補充了導(dǎo)數(shù)公式.

(2)函數(shù)和、差、積、商的微分法則.