考場仿真卷02-2021年高考數(shù)學模擬考場仿真演練卷（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學模擬考場仿真演練卷(新高考)

第二模擬

本試卷共22題。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知全集。=11，集合N={y\y=2\xeR},則集合()

A.僅,+8)B.(—1,2)

C.(-e,-12,+8)D.(-oo,-1]

【答案】D

【分析】

化簡集合M,N,根據(jù)并集和補集的概念可求出結果.

【詳解】

由⑶<1得-1VXV1,所以M=(T,1),

由y=2、>0,得N=(0,”)，

所以MUN=(-l,+oo),

所以毛=

故選：D

2.復數(shù)z滿足z=W罕+亞,則同=()

A.5B.25/3C.75D.2

【答案】D

【分析】

利用復數(shù)的除法以及復數(shù)的乘方化簡復數(shù)Z,利用狂數(shù)的模長公式可求得|z卜

【詳解】

6+i=(6+41+后)二百+4i+序

1-6一(1一詞(1+詞—4

y/3i=1+\/3i?因此，|z|二J『+(G)=2.

3.已知8=2|密2,c=，則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】

由換底公式以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷大小關系.

【詳解】

根據(jù)摸底公式log32=『J,10852=I-[a^log25>log23>l,

Iog23log25

所以0vlog52vk)g32vl,故i<21°gs2V2咋32<2.

又c=（g'=2,J>2,=2?

所以力<a<c

故選：B.

4.如圖，一條電路從力處到8處接通時，可構成線路的條數(shù)為（）

C.5D.3

【答案】B

【分析】

用分步計數(shù)原理即可.

【詳解】

解析：從4處到8處的電路接通可分兩步，第1步：前一個并聯(lián)電路接通有2條線路，第2步：后一個并

聯(lián)電路接通有3條線路；由分步乘法計數(shù)原理知電路從4處到8處接通時，可構成線路的條數(shù)為3x2=6.

故選：B.

【點睛】

計數(shù)問題解題要先區(qū)分：1、先分步還是先分類.2、是排列還是組合.

5.方程(Iog3x)2=2-log9(3x)的解集是()

【答案】B

【分析】

通過對數(shù)運算性質(zhì)轉化為一元二次方程即可求解.

【詳解】

2

(陶^)=2-log9(3x),(log.力?=2-；log3(3x)=2-1(l+log3x)

2

(log?^)+1log3^-|=0.

13

設log3x=m,則+2加一a=o,解之得：g=1,肛=一二.

一2

3x=3或％=走.

□log3%=l或1083%二-5,解之得：

9

經(jīng)檢驗，x=3和工=立均符合題意，該方程的解集是13,4

9

故選：B

6.今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過82以天后是()

A.星期二B.星期三C.星期四D.星期五

【答案】C

【分析】

運用二項式展開式82M=（1+7產(chǎn)|=c垢十。垢7十。嬴72十…十。就可得被7除得余數(shù)為1,即可

得結果.

【詳解】

8“=（1+7嚴=七+.7+/72+?..+嗡7如

所以公以被7除得余數(shù)為1,故經(jīng)過8他1天后是星期四

故選：C

7.“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振

動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律“，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一

個音的頻率是最初那個音的2倍.設第8個音的頻率為/,則頻率為日f的音是（）

A.笫3個音B.第4個音

C.第5個音D.第6個音

【答案】C

【分析】

由題知這13個音的頻率構成等比數(shù)列，進而根據(jù)題意得與二版，故。=2號人進而解方程

5nJ

212/=券/=24/即可得答案.

【詳解】

由題意知，這13個音的頻率構成等比數(shù)列，

設這13個音的頻率分別是q,%....小，公比為我4>0），

則&="2=2,得好也，

q

——8

所以啦）一/二2五/，

叱圾-1

令/=上/=24/,解得〃=5.

故選:C.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的應用，考查數(shù)學建模思想，運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵根據(jù)題意建立等

〃一8

比數(shù)列模型，進而得q=2正尸

8.設脫角口48。的內(nèi)角4艮C所對的邊分別為。，上c,若A==則從+/+兒的取值范圍為

()

A.(1,9]B.(3,9]

C.(5,9]D.(7,9]

【答案】D

【分析】

由正弦定理求出力=2sin8,c=2sin---Bj,再由余弦定理可得從+/+bc=8sinBsin---3)+3,

化為5+4sin(2B-?),結合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結論.

【詳解】

因為A="，

a,6--、-,-b-1-----=c------------

由正弦定理可得sinAJisinB.(2九).

2I3)

則有b=2sinB,c=2sin----B,

I3)

由口48c的內(nèi)角4aC為銳角，

可得〈c2，

A2%c不

0<----8<一,

32

7171?715萬1.(cn乃—A?I/-?萬)

:.—<B<—=>—<2B——<一=>—<sin2B——<1=>2<4sin2B——<4,

62666216yl16yl

由余弦定理可得。*=b2+(r-2bccosA=>3=Z?2+c2-be,

因此有人2+H+A。=2/?C+3

=8sinBsin------B+3

I3)

=46sinBcosB+4sin2B+3

=2Gsin2B-2cos2B+5

=5+4sin2B-^L{7,9]

故選：D.

【點睛】

方法點睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另

一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明

化局過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知甲、乙兩名同學在高三的6次數(shù)學測試的成績統(tǒng)計如圖，則下列說法正確的是（）

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為京，京，則京＞工

B.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為＜，{，則

C.甲成績的極差小于乙成績的極差

D.甲成績比乙成績穩(wěn)定

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)折線圖中的數(shù)據(jù)，結合平均數(shù)的求法、方差的求法及其意義、極差的概念，應用數(shù)形結合的方法即可

判斷各項的正誤.

【詳解】

由圖知，甲同學除笫二次考試成績略低于乙同學，其他次考試都高于乙同學，知U>^2,A正確；甲同學

的成績比乙同學穩(wěn)定，故5；>官,所以B錯誤，D正確；極差為數(shù)據(jù)樣本的最大值與最小值的差，甲成績

的極差小于乙成績的極差，所以C正確.

故選：ACD.

10.已知函數(shù)/（x）=sin2x+2j5sinxcosx-cos2x,xeR,則（）

A.-2</（x）<2

B./（x）在區(qū)間（0,萬）上只有1個零點

C.“X）的最小正周期為乃

2

D.乃為"X）圖象的一條對稱軸

【答窠】AC

【分析】

將“X）的解析式化為?。?2sin（2x-J然后逐一判斷即可.

【詳解】

/（x）=sin2x+2>/3sinxcosx-cos2x=\/3sin2x-cos2x=2sin2x——

k6）

所以一2W/（x）W2,故A正確

令-：=27C,Z￡Z可得X==-+不，滿足xw（Q乃）的有二,一^■,故B錯誤

6212v71212

/（九）的最小正周期為），故C正確

當x=§萬時，/（%）=-1,所以x=§方不是/（x）圖象的一條對稱軸，故D錯誤

故選：AC

11.（多選題）如圖，在棱長為1的正方體ABC。-44GA中，P為棱CG上的動點（點P不與點C,。重

合），過點產(chǎn)作平面。分別與棱8C,8交于M,N兩點，若CP=CM=CN,則下列說法正確的是（）

B.存在點尸，使得力Gn平面a

C.存在點P,使得點小到平面a的距離為:

D.用過點RM,D）的平面去截正方體，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【分析】

連接3G，BD,DG，AA，AP,首先證明〃平面a,然后由AC二平面可判斷A,由AC|C

平面G3O=G可判斷B,由點〃到平面a的距離的取值范圍為（竿，目）可判斷C,過點P,的

平面去截正方體得到的截面是四邊形ARPM,可判斷D.

【詳解】

連接BG，BD,DCi，AD】,DiP

CMCN

因為CM=CN,CB=CD,所以3=*二，所以MN〃BD

CBCD

又MN?平面C\BD,BDu平面C】BD,所以MN〃平面C/O

同理可證MP//BC},MP//平面C、BD

又MPcMN=M,MN、MPu平面所以平面〃平面a

易證A。I平面CfD,所以4?！跗矫鍭正確

又Age平面C|BD=G，所以AG與平面。相交，不存在點尸，使得AG□平面a,B不正確.

因為|AC|=J1+1+1=A/L點C到平面。1班＞的距離為告

所以點出到平面a的距離的取值范圍為（亞,石）

又所以存在點尸，使得點4到平面a的距離為q，C正確.

333

因為4DJ/BG，所以AR//MP,所以用過點P,M,A的平面去截止方體得到的截面是四邊形

又ADJ/MP,且所以截面為梯形，D正確

故選：ACD

12.已知函數(shù)=其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，下列說法中，正確的是（）

A./（x）在（0,是增函數(shù)

B./[+?）是奇函數(shù)

C./（%）在（0,%）上有兩個極值點

D.設g（x）=￡?,則滿足ggijAg（竽，的正整數(shù)〃的最小值是2

【答案】ABD

【分析】

利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系可判斷A選項的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項的正誤；利用函

數(shù)的極值與導數(shù)的關系可判斷C選項的正誤；驗證〃=1、2時，g（：萬）〉g（誓））是否成立，由此可

判斷D選項的正誤.

【詳解】

對于A選項，當時，sinx>0,cosx>0,

r(x)=cosx^sinx+sinx>0,所以，函數(shù)，(x)在(0,^是增函數(shù)，A選項正確;

令g(x)=/1+；=/仁)

對于B選項,,該函數(shù)的定義域為R,

.(n).

vsin---x=sin

(4)~2

(jr\sin(-xJ)cosj-x」)cosfx+-1sinfx+^1

則4一人)=/「八+3)=?I4J-^'41V-I4=_gG)'

所以，函數(shù)/[+?)為奇函數(shù)，B選項正確；

對于c選項，當xw(o身時，r(x)>o,且(圖=i〉o,

所以，函數(shù)/(X)在(0，U內(nèi)無極值點;

/"(%)=eiinx(cos2x-sinx)+6cos工(cosx-sin2x),

當xe々網(wǎng)]時，sinxwfV2A

JCOSXG(則謁xe0.—,

(24)T/42AI2

JWcosx-sin2x<0?cos2x-sinx<0?此時，/*(x)<0,

所以，函數(shù)/'(x)在上單調(diào)遞減,

所以，函數(shù)f(x)在停引上只有一個極值點;

時，./。,也,cos/l,當

當X

22

所以，|sinMv|cosR,sinx>cosx,則爐加>/os*>0,

所以，|cos乂>卜in乂產(chǎn),則/(x)=cosx-卻+sinX?產(chǎn)=-|cos[+|sin,尸<o,

所以,、冗上沒有極值點.

綜上所述，函數(shù)/（%）在（0,"）上只有一個極值點，C選項錯誤;

g(力空Lecosr

對于D選項,

X

cos—cos—

e22⑶仁)

當〃=1時，=0,gg不成立;

717171

~2

4

.3不

sin—cos—(72

3乃）-4-e44

2

當〃時，e-e2

=2g3乃一34

7t34

當xw時，sinxeCOSXG

5'彳

42a64(4

，?一<—,jL1.57'eT°L71，則萬0,2<-(e-1),

347171

所以,g

%>g誓乃）的正整數(shù)〃的最小值是2,D選項正確.

所以,滿足g

故選:ABD.

【點睛】

思路點睛：利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，步驟如下:

(1)一是看定義域是否關于原點對稱，如果定義域不關于原點對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù);

若函數(shù)的定義域關于原點對稱，接下來就是判斷了（一力與/（X）之間的關系;

（3）下結論.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在口23。中，AN=-NCtP是線段BN上的一點，若麗="麗+!恁，則實數(shù)機=

25

2

【答案】-

【分析】

設桁=2而，根據(jù)向量的運算關系可求得而+一/，再結合已知建立關系即可求出.

【詳解】

設桁二；I而，

則"=鋼+橋=麗+義麗=福+/1（通-西

=九麗+（1一/1）麗=/1而+一^,

AP=mAB+—AC，

5

2=/n

2

?1-Z1，解得加=%==.

------=—5

35

故答案為：y.

【點睛】

關鍵點睛：本題考代平面向量基本定理的應用，解題的關鍵是設出府=義福，利用向量關系將衣表示

出來.

14.已知雙曲線C「―《=13>0力>。)的左、右焦點分別為尸I,左、右頂點分別為4,A2,點、P

arb-

是雙曲線C上不同于小，山的任意一點，若△。瓦工與△?1,人的面積之比為J5：l，則雙曲線C的離心

率為

【答案】五

【分析】

根據(jù)鳥與△必4的面積之比為&：1，可得由周=0植42|,列關于的等式，即可求解出離

心率.

【詳解】

設雙由線的半焦距為c,因為鳥與△%人的面積之比為J5：i，

可得歸周二血八閨，即2c=2缶，所以6=(=及.

故答案為：.

15.已知對于xwR,，(一x)|=|/Cr)|,但f(x)是非奇非偶函數(shù)，請寫出一個滿足條件的/。)=

【答案】f1(答案不唯一)

[x,x<-1

【分析】

利用奇偶函數(shù)的定義，寫出滿足條件的函數(shù)即可

【詳解】

解；山|一(一%)|=|/(%)|，得f(-x)-f(x)或f(-x)--f(x),

因為/(X)是非奇非偶函數(shù)，

所以只要找一個定義域為R的函數(shù)，且該函數(shù)在部分區(qū)間上滿足/(-x)=/(x),在另一部分區(qū)間上滿足

f(t)=-f(x),

|x|,x>-1

所以這樣的函數(shù)可以是/(幻={1(答案不唯?)

x,x<-\

故答案為：f1(答案不唯一)

x,x<-\

16.已知四棱錐P—ABC。的頂點均在球。的球面上，底面ABCD是矩形，八8=2百，AO=2,

ZAPB=60°,二面角尸?AB-。大小為120。，當△P4B面積最大時，球。的表面積為.

【答案】28萬

【分析】

設矩形A8CD的中心為/XPAB的外接圓圓心為。2，43中點為E,根據(jù)題意得當△PAB面積最大

時，APAB為等邊三角形,并根據(jù)幾何關系得：PE=3,PO2=2,O2E=],此外，再證明NPEQ是二面

角P-AB-C的平面角，故問題轉化為在四邊形OQEQ中求解OQ的長度，最后根據(jù)

R?=A「求解即可.

【詳解】

解：如圖1,設矩形ABCO的中心為Q,△PA8的外接圓圓心為。2,連接。?，OO2,取A8中點E,

連接PE,?E,

所以由球的截面性質(zhì)可知，O?_L平面4BCD,。。2,平面如B

在圓。2中，因為ZAPB=60°,AB=2后，

所以當P優(yōu)弧A8上運動，且在4B中垂線與圓。2的交點處時面積最大，如圖2,

此時PA=PB,故PE必過圓。2的圓心。2，

所以NAPE=30°，AE=?所以A尸=AB=P8=26

即當aPAB面積最大時，△P48為等邊三角形，

所以PE±AB,PE—3,PO2-29O2E-},

在矩形45CO中，E為A8中點，Q為6。中點，AD=2

所以OXE=\,

所以NPE?是二面角尸-AB-C的平面角，BPZ.PEO,=120°,

由001_L平面ABCD,OO21平面PAB,

所以。OO2±O2E,

所以在四邊形oqEQ中,

NOO^E=90。,ZOO2E=90\/2^=120°,0]E=l,O2E=\f如圖3,

所以NQO?=60°.l\OO聆XOOE,

所以NEOQi=3(r

所以在直角三角形△O?E中，ZEOO,=30°,O{E=\t

所以Oq=J5,因為?A=gAC=2,

所以R2:|OA|2=|OQj+|O.A|2=7,

所以球。的表面積為S=4〃R2=284.

故答窠為：284

D

圖2

圖1

【點睛】

本題考查空間幾何體的外接球的問題，考查運算求解能力，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題.解題

的關鍵在于根據(jù)已知條件得當△PA5面積最大時，為等邊三角形，進而尋求二面角AB-C的

平面角，將問題放到四邊形。&七。2中求解OR的長度.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

〃+1

17.（10分）已知數(shù)列｛〃〃｝的前幾項和為S“，且q=5，q

w+，2n

(1)證明是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式:

n

求S“;

n+2

【答窠】證明見解析，

（1）（2）Sn=2-2〃

【分析】

（1）由等比數(shù)列的定義證明，結合等比數(shù)列的通項公式可得（：

（2）用錯位相減法法和.

【詳解】

(1)設C“=—(7?€N"),則由已知得J工0.

n

?+1n+\

所以S+L===《為常數(shù),

c?5+1)/(〃+1)42

n

所以數(shù)列｛5｝是以q=:為首項以;為公比的等比數(shù)列,

則c.=（夕，所以4弋.

123tr

(2)由⑴知*=5+齊+尹+…

1c.l23n

5s〃丁?『…+尸

土"_(二)〃]

N-U35,口lc1111n22n[〃+2

兩式相臧得，—S=—+—+—+L+-----=------；------=1

2n222232〃2""J2"+i-----2"+1

2

所以S〃=2-4.

【點睛】

本題考查求等差數(shù)列的通項公式，裂項相消法求和.數(shù)列求和的常用方法:

設數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，他』是等比數(shù)列，

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應用公式求和；

（2）錯位相減法：數(shù)列｛〃/〃｝的前〃項和應用錯位相減法：

（3）裂項相消法；數(shù)列｛」一｝（女為常數(shù)，?！啊?）的前〃項和用裂項和消法；

（4）分組（并項）求和法：數(shù)列｛/%〃+9勿｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項出現(xiàn)正負相間等特征時可能

用并項求和法；

（5）倒序相加法：滿足4”+（T”=A（A為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

18.（12分）在口A8C,它的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，b,c,cos（A+2B）+2sin（A+B）sinB=-,

2

且口48。外接圓的半徑為I.

在□力+c=3ElsinC=2sin8」角8的平分線交4c于點。，且CD:AO=J5:2,請在這三個條件中任

選一個，補充在上面問題的橫線中，求角A和□ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】A后,SABCT；

【分析】

先根據(jù)cos(A+28)+2sin(A+8)sin8=；求得A=g,利用正弦定理得〃=G，接著選擇一個條件解

三角形即可.

【詳解】

因為cos(A+28)+2sin(A+8)sinB=—,

2

所以cos(A+B)cosB-sin(A+B)sinB+2sin(A+B)sinB=—,

2

又因為cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,

上式整理得：一cosCeosB+sinCsinB=-即一cos(3+C)=-.

22

即cosA=L又4￡(0,4)，所以4=工.

23

由正弦定理得：sinA是，所以〃=6.

T

b+c=3,平方得：Z?2+c2+2Z?c=9.(1)

1^2,2_n

由余弦定理得：cosA=-=~-即從+,2一3=bc：.(2)

22bc

(1)-⑵得:2bc+3=9-bc,解得兒=2,

所以5=-^csinA=—x2x—=—.

/AtoRvC222，

sinC=2sin&由正弦定理得：c=2b,

由余弦定理得：cosA=」二Z±U二之即從+廿_3=4>

22bc

c=2bc=2

聯(lián)立《"3"‘解得

b=\

所以S=-/?csinA=-xlx2x

ABC222一2.

因為角B的平分線交AC于點。，且CD:A0=G：2,

aCD

在△BCD中，由正弦定理得:

sinNBDC-sin/CBD

cAD

在口BAO中，由正弦定理得:

sinZBDA~sinZABD

因為sinZBDC=sinZBDA,

又因為BD是角B的角平分線，所以sinZCBD=sinZABD.

所以巴="=叵,

cAD2

又。=石，所以c=2，

所以sinC=￡=l,所以sinC=￡=l,

2R2R

在三角形48c中：ZC=—,ZB=—

26

百x2xL立.

所以S=—acsinB=-x

2222

【點睛】

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的

最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用

正弦定理，轉化為關于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.

19.（12分）已知四邊形A8CO是直角梯形，AB//CD,ZC=45°,CD=2AB=4,BC=2&E,

產(chǎn)分別為CO,3C的中點（如圖1）,以AE為折痕把匚ADE折起，使點。到達點S的位置且平面必E_L

平面A8CE（如I圖2）.

(1)求證：451平面5七尸；

(2)求二面角C—SE—尸的余弦值.

【答案】(1)證明見解析：(2)亞.

3

【分析】

(1)連接B。交AE于0,證明EF_LAS利SE_LAS,AS_L平面SE廠即得證；

(2)以。為坐標原點，0A、0B、0S所在直線為X軸、)'軸、z軸，如圖所示建立空間直角坐標系，利用

向量法求解.

【詳解】

(1)證明：連接8。交AE于0，

E、F分別為CD、BC的中點.口EF//BD,

又匚匹邊形ABCD是直角梯形，

AB/ICD,ZC=45°,CD=4,BC=2應,

□BD=2&AB=AD=2,

nDELAE□EF1AE.

□平面SAE_L平面4BCE,

平面SA￡;n平面4BCE=AE,EFu平面ABCE,

□平面SAE,[ASu平面SAE,EF1AS.

又匚SELAS且EFCSE=E,Er,SEu平面SEF,

AS_L平面SEF.

(2)以0為坐標原點，0A、08、0S所在直線為大軸、y軸、z軸,

如圖所示建立空間直角坐標系，則A(JIo,O),網(wǎng)0,&,0),

C(-25/2,V2,0),E(->/2,0,0),S(0.0,&),

日二(2后，-五,0)，CE=(x/2,-x/2,0)^

設平面SCE的法向量為X=(乂乂z)，

(X質(zhì)=0\2y/2x-j2y+y[2z=0

則卜?在=0'即.-應y=0,

令X=1，則>=l,z=-1,

平面SCE的一個法向量為%=(1,1,—1),

□45_1.平面5￡/，

I取平面SEP—個法向量為[=啟=卜應,0,夜)，

顯然二面角C—SE—F為銳角，

2夜x/6

I二面角C-SE-尸的余弦值cos6=cos(%,%

【點睛】

方法點睛：二面角的求法：方法一：（幾何法）我—作（定義法、三垂級法、垂面法）T證（定義）T指

T—>

mZn

—求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個平面的法向量j：再代入公式cosa=±（其

中分別是兩個平面的法向量，。是二面角的平面角.）求解.（注意先通過觀察二面角的大小選擇“土”

號）

20.（12分）新型冠狀病毒的傳染主要是人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數(shù)是50歲以上人群.該

病毒進入人體后有潛伏期.潛伏期是指病原體侵入人體至最早出現(xiàn)臨床癥狀的這段時間.潛伏期越長，感染到

他人的可能性越高.現(xiàn)對400個病例的潛伏期（單位：天）進行調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)潛伏期平均數(shù)為7.2,方差為

2.25?.如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統(tǒng)計樣本，得到下血的列聯(lián)表：

年齡/人數(shù)長期潛伏非長期潛伏

50歲以上60220

50歲及50歲以下4080

（1）是否有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關；

（2）假設潛伏期X服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)亍，/近似為樣本方差§2

（i）現(xiàn)在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性；

（ii）以題目中的樣本頻率估計概率，設1000個病例中恰有％（攵eN）個屬于“長期潛伏”的概率是p化）,

當攵為何值時，〃（左）取得最大值.

n[ad-bc)~

(〃+b)(c+d)(4+c)(b+d)

P(K?Nko)0.10.050.010

2.7063.8416.635

若則=0.6862,<//4-2(T)=0.9544,

尸(〃-3b<€<4+&T)=0.9974.

【答案】(1)有；(2)(i)答案見解析；5)250.

【分析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，利用K?=7——仆弋忖_^求得長2,與臨界表值對比下結論；

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)(⑴根據(jù)X~N(7.2,2.252),利用小概率事件判斷；(口)易得一個患者屬于“長潛伏期”的概率是:,

/<\*/□\IOOO-*

進而得到p(z)=。鼠?L,然后判斷其單調(diào)性求解.

【詳解】

(1)依題意有犬二4-(60><8。-220X4()J635,

280x120x100x300

由于6.35>3.841.故有95%的把握認為“長期潛伏”與年齡有關:

(2)(口)若潛伏期X~N(7.2,2.252),

1-09974

由P(XN13.95)=—y—=0.0013,

得知潛伏期超過14天的概率很低，因此隔離14天是合理的；

(1)由于400個病例中有100個屬于長潛伏期，

若以樣本頻率估計概率，一個患者屬于“長潛伏期”的概率是I,

4

于是p(A)=G鼠七卜號，

人.△丫⑶M

p[k}C^t4j

布一中廣

二c鼠二1("l)!(100i)!j(10011

3G就3抬(1000-A)!k)

當。dW懸E

當媽〈女《1000時，咨〈1：

4p[k-l)

p（l）＜p（2）＜...＜p（250）,p（250）＞p（251）＞..-＞p（1000）.

故當A=250時，〃(％)取得最大值.

【點睛】

方法點睛：利用獨立重復試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足公式

=的三個條件：(1)在一次試驗中某事件”發(fā)生的概率是一個常數(shù)P；(2)〃次試驗不僅

是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；(3)該公式表示〃次試驗中事

件力恰好發(fā)生了〃次的概率.

21.(12分)已知函數(shù)/*(1)=工2"-1,g(x)=e'-or,?eR.

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),當a.l時，求尸(%)在區(qū)間［0,+8)上的最小值.

【答案】⑴y+l=o；(2)當“WO時，g(x)在R上單調(diào)遞增；當〃>0時，g(x)在(-8,In4)內(nèi)單調(diào)

遞減，在［Ina,+CQ)內(nèi)單調(diào)遞增；(3)-2.

【分析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；(2)求導判斷導函數(shù)的正負進而得到原函數(shù)的單調(diào)性；(3)

利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，最后求出最小值.

【詳解】

解：(1)因為〃力=丘'-1,所以八工)=(2'+/把二

所以/(。)=-1，Z(O)=O.

所以由線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程為y+l=0.

(2)因為g(x)=e'-如，定義域為R，

所以g［x)="-a.

□當aWO時，g'(x)>0.

所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

□當。>0時，令g'(x)=0,得x=lna

所以當a