乘法公式第4課時完全平方公式的應(yīng)用教學(xué)課件 2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊（北師大版2024）

北師大版（2024）七年級數(shù)學(xué)下冊第一章整式的乘除1.3乘法公式第4課時完全平方公式的應(yīng)用目錄學(xué)習(xí)目標01情景導(dǎo)入02新知探究03課本例題0405課本練習(xí)06分層練習(xí)0807課本習(xí)題課堂小結(jié)學(xué)習(xí)目標1.進一步熟悉平方差公式和完全平方公式.2.能準確運用平方差公式、完全平方公式及多項式乘以多項式的法則進行多項式的乘法運算和數(shù)的簡便計算.3.理解并掌握完全平方公式的幾種變化形式.情景導(dǎo)入(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2前面我們學(xué)習(xí)了完全平方公式：口訣:首平方，尾平方，首尾乘積的2倍放中間。新知探究怎樣計算下列兩式更簡單呢？(1)1022(2)1992(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)1992=(200–1)2=40000-400+1=39601=1002+2×100×2+22=2002-2×200×1+12

完全平方公式用于簡便運算時，關(guān)鍵是找到與原數(shù)接近的類似整十、整百的數(shù)，再將原數(shù)變形成(a+b)2或者(a?b)2的形式，使之符合公式的特點，再用完全平方公式進行求解．歸納總結(jié)例題講解例

計算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.解：(1)方法一(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9.逆用平方差公式用完全平方公式方法二(x+3)2-x2=[(x+3)+x][(x+3)-x]=(2x+3)×3=6x+9．對于兩個三項式相乘的式子，可將相同的項或互為相反數(shù)的項添括號視為一個整體，轉(zhuǎn)化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式進行計算.例

計算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.例

計算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.解：(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9.(4)[(a+b)(a-b)]2

=(a2-b2)2

=a4-2a2b2+b4.解：(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)

=(x2+10x+25)-(x2-2x-3x+6)=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19.例

計算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.觀察思考

觀察下圖，你認為(m+n)×(m+n)點陣中的點數(shù)與m×m點陣、n×n點陣的點數(shù)之和一樣多嗎?請用所學(xué)的公式解釋自己的結(jié)論?！?×12×23×3解:m×m

點陣中的點數(shù):m2；

n×n

點陣中的點數(shù):n2；m×m

點陣、n×n

點陣中的點數(shù)之和:m2+n2；(m+n)×(m+n)點陣中的點數(shù):(m+n)2。(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。所以(m+n)×(m+n)點陣中的點數(shù)與m×m

點陣、n×n

點陣中的點數(shù)之和不一樣多。…1×12×23×3概念歸納1.當(dāng)兩個三項式相乘時，先利用添括號使原式變成符合乘法公式的形式，再運用乘法公式計算.2.整式的混合運算，先算乘方，再算乘除，最后算加減.特別解讀1.添括號只是一個變形，不改變式子的值.2.添括號是否正確，可利用去括號檢驗.隨堂練習(xí)利用整式乘法公式計算：(1)962(2)(a-b-3)(a-b+3)解：962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216解：(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9分層練習(xí)基礎(chǔ)題

C

2.[2024大同期末]

下列計算正確的是(

)A

B

1

5.用完全平方公式進行計算：

綜合應(yīng)用題

C

A

7910.如圖①是由四個相同的白色長方形和1個灰色的正方形拼接而成的正方形瓷磚，圖②是由5個白色的長方形8（每個長方形大小和圖①相同）和1個灰色的不規(guī)則圖形構(gòu)成的長方形瓷磚.已知圖①和圖②中灰色圖形的面積分別為35和102，則每個白色長方形的面積為___.

根據(jù)上面的解題思路與方法，解答下列問題：

創(chuàng)新拓展題

【問題解決】

習(xí)題1.計算：（1）(x+7y)(x-7y)；（3）(mn-3n)(mn+3n)

；

（2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)；（4）(-2x+3y)(-2x-3y)；（6）(5m-n)(-5m-n)

。解：（1）原式=x2-49y2；（2）原式=

0.04x2-0.09；（3）原式=

m2n2-9n2；（4）原式=

4x2-9y2；

（6）原式=

n2-25m2。2.計算：（1）(2m+3)(2m-3)；（2）x(x+1)+(2-x)(2+x)

；（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y)；

解：（1）

原式=4m2-9；（2）

原式=x2+x+4-x2=x+4；（3）

原式=9x2-y2+xy+y2=9x2+xy；2.計算：（1）(2m+3)(2m-3)；（2）x(x+1)+(2-x)(2+x)

；（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y)；

3.計算：（1）(2x+5y)2；

（5）(7ab+2)2；（3）(-2t-1)2；

解：（1）原式=4x2+20xy+25y2；

（3）原式=

4t2+4t+1；3.計算：（1）(2x+5y)2；

（5）(7ab+2)2；（3）(-2t-1)2；

（5）原式=

49a2b2+28ab+4

；

4.一個圓的半徑為r(r>2)cm，半徑減少2cm后，這個圓的面積減少多少?解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4)=πr2-πr2+4πr-4π

=(4πr-4π)cm2。所以這個圓的面積減少了(4πr-4π)cm2。5.計算：（1）(2x+y+1)(2x+y-1)；（3）

(ab+1)2-(ab-1)2；（2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1；（2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1；5.計算：（1）(2x+y+1)(2x+y-1)；（3）

(ab+1)2-(ab-1)2；（2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。（4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2)=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=9y2-8xy。（3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)]=2ab·2=4ab；6.利用平方差公式計算：（1）1007×993；（2）108×112。解：（1）1007×993=(1000+7)(1000-7)=10002-72=1000000-49=999951；（2）108×112=(110-2)(110+2)=1102-22

=12100-4=12096。7.一個底面是正方形的長方體，高為6cm，底面正方形邊長為5cm。如果它的高不變，底面正方形邊長增加acm，那么它的體積增加多少?解：

(5+a)2×6-52×6=(25+10a+a2)×6-25×6=150+60a+6a2-150=(60a+6a2)cm3所以它的體積增加了(60a+6a2)cm3。8.利用完全平方公式計算：（1）632；（2）9982。解：（1）632=(60+3)2=602+2×60×3+32=3969；（2）9982=(1000-2)2=10002-2×1000×2+22=996004。9.借助幾何圖形可以直觀解釋平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用幾何圖形直觀解釋呢?請舉例說明你的思考。解：略。10.計算：（1）(an+b)(an-b)；（2）

(a+1)(a-1)(a2+1)。解：（1）(an+

b)(an-b)=(an)2-

b2=a2n

-

b2；（2）(a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1)(a2+1)=a4-1。11.觀察下列各式：152=225，252=625，352=1225，······個位數(shù)字是5的兩位數(shù)平方后，結(jié)果末尾的兩個數(shù)字有什么規(guī)律?為什么?你還能找到哪些類似的規(guī)律?試舉一例。解：末尾的兩個數(shù)都是25。理由:設(shè)個位數(shù)字是5的兩位數(shù)為10a+5，則(10a