滬教版初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第九章整式

第一節(jié)整式的概念

9.1.2.3、字母表示數(shù)

代數(shù)式：用括號(hào)和運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫代數(shù)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是代數(shù)式。

代數(shù)式的書寫：1、代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)通常寫作或省略不寫，但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原那么。

2、數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)要寫在無(wú)理數(shù)的前面。

3、帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)形式。

4、相同字母相乘通常不把每個(gè)因式寫出來(lái)，而寫成轅的形式。

5、代數(shù)式不能含有“二、/、＜、＞、2、符號(hào)。

代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。

注意：1、代數(shù)式中省略了乘號(hào)，帶入數(shù)值后應(yīng)添加X。

2、假設(shè)帶入的值是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號(hào)。

3、注意解題格式標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)寫”當(dāng)…時(shí)，原式=.....

4、在實(shí)際問(wèn)題中代數(shù)式所取的值應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義。

9.4整式

1、由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母

也是單項(xiàng)式。

2、系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

3、單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)

式的次數(shù)。

4、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)

項(xiàng)。

5、多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)

6、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

9.5合并同類項(xiàng)

1、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做

同類項(xiàng)。

2、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。

一個(gè)多項(xiàng)式合并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。

3、合并同類項(xiàng)的法那么是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后

的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

第二節(jié)9.6整式的加減：

去括號(hào)法那么：

(1)括號(hào)前面是"+〃號(hào)，去掉〃+”號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的不變號(hào)；

[2)括號(hào)前面是"一〃號(hào)，去掉“一〃號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變號(hào)。

添括號(hào)法那么

(1)所添括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)：

(2)所添括號(hào)前面是“一”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

第三節(jié)整式的乘法9.7同底數(shù)哥的乘法、9?8幕的乘方、9.9積的乘方：

①同底數(shù)暴的乘法

aB?an=anfn(m,n都是正整數(shù))。

同底數(shù)顯相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

②箱的乘方與積的乘方

(aB)WGn、n都是正整數(shù))

箱的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

(ab)(n都是正整數(shù))

積的乘方等于各因式乘方的積。

③同底數(shù)幕的除法

an4-an=ann(a^0,mn都是正整數(shù)，且m>n)

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

a°=l(a^O)任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)轅都等于1。

ap=5.#0,p是正整數(shù))任何一個(gè)不等零的數(shù)

的-p(p是正整數(shù))指數(shù)幕，等這個(gè)數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù)。

9.10整式的乘法：

⑴單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，那么

連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

⑵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。

⑶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn。

第四節(jié)、乘法公式

9.11平方差公式

①內(nèi)容：

(a4-b),(a-b)=a2—b2

②意義：

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘枳，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

③特征：

I.左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互

為相反數(shù)；

H.右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差；

III.公式中的a和b可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

④幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等

的表達(dá)式。

⑤拓展：

33

I.立方和公式：(a+n)(az-ab+b?)=a-b;

2233

II.立方差公式：(a—b)(a+ab+b)=a-bo

(a—b)(a+ab+ab2H-----ka2b+ab+b)=a-b<>

9.12完全平方公式：

①內(nèi)容：

(a+b)2=a2+b24-2ab；

(a—b)2=a2+b2—2ab。

②意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的2倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的2倍。

③特征：

I.左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的

平方，另一項(xiàng)為哪一項(xiàng)左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的2倍在

中央?！?/p>

II.公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

④推廣：

I.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

II.(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；

33322

III.(a-b)=a-b-3ab+3abo

第五節(jié)因式分解

⑴因式分解的意義：

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)

式分解因式，即多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的枳。

注意：①因式分解的要求：

I.結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

II.每個(gè)因式必須是整式；

III.各因式要分解到不能分解為止。

②因式分解與整式乘法的關(guān)系：

是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),這個(gè)變形就是提公因式法分解因式。

這里的m可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，m稱為公因式。

確定公因式方法：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。

字母(或多項(xiàng)式因式)：取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)的最低次暴。

9.14公式法

②利用公式法分解因式：

I.平方差公式：a2-b2=(a+b)?(a-b)o

II.完全平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；

a2+b2—2ab=(a—b)2?

川.立方和與立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab-b2)；

3322

a—b=(a—b)(a+ab+b)o

注意：(1)公式中的字母a、b可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。

(2)選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，假設(shè)多項(xiàng)式是二項(xiàng)式

應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式：假設(shè)多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，可

考慮用完全平方公式。

9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解

因式的方法叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分組分解法：

I.將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公式分解。

H.適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。

④其他方法：

.求根公式法：假設(shè)ax2+bx+c=0(aWO)的兩根是xl、x2,

2

ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)o

⑶因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題：

①對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。

②多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差

公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式的

因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解法。

分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

第六節(jié)整式除法：

9.17同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)哥相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

任何不等于零的數(shù)的零次制為I，既：

9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法那么：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)塞分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，那

么連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

注意；①兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)昂分別相除即可。

②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法那么：

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，

即(ma+mb+mc+dm)4-rr^arn-rrrH-brn-z-rrH-crn4-rrH-drn4-rrL

注意：這個(gè)法那么的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。

⑶整式的混合運(yùn)算：

關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括

號(hào)，先做括號(hào)里的。

派內(nèi)容整理

做分式的分子，B叫做分式的分母。

如果一個(gè)分式的分母為零，那么這個(gè)分式無(wú)意義。

10.2(2)、分式的根本性質(zhì)整式r

整式和分式統(tǒng)稱為有理式:：即有理式\

分式I

分式的分子和分母同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不為0的整式，

分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A^C/B-C

l：A,BC為整式，且B、C#O)

①約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式

的約分.

②分式的約分步驟：

(1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個(gè)乘枳的形式，將它們的

公因式約去

(2)分式的分子和分母都是將分子和分母分別，再將公因式約去.

注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的，字母取分子和分

母共有的字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

③一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式.約分

時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式。

④通分：把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式，

叫做分式的通分。

⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡(jiǎn)公分母，再將所有分式的分母變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母.同時(shí)各分

式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù)，相應(yīng)擴(kuò)大各自的分子.

注:最簡(jiǎn)公分母確實(shí)定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的及單獨(dú)字母的箱的乘積。

注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的根本性質(zhì)。

(2)分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過(guò)程。

10.3、分式的運(yùn)算：

①分式的乘法法那么:兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.用字

母表示為：a/b*c/d=ac/bd

②分式的除法法那么：

I.兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘

：a/b-^c/d=ad/bc

II.除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b：c/d=a/b*d/c異分母分式通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母，

通常取各分母所有因式的最高次第的枳作為公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。

10.4分式的加減

③同分母分式加減法那么:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減.用字母表示為：a/cib/c=a±b/c

④異分母分式加減法那么:異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減

法法那么進(jìn)行計(jì)算.用字母表示為：

a/b±c/d=ad±cb/bd

10.5分式方程：

①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法：

I.去分母(方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方

程)；

II.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

川.驗(yàn)根(求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根，因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^(guò)程中,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值

范圍，可能產(chǎn)生增根).

10.6整數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算

約分

派內(nèi)容整理

/1分式的性質(zhì)

第十一章圖形的運(yùn)動(dòng)通分

、平移定義和規(guī)律

1分

(1)平移的定義：在平面內(nèi),二4分式運(yùn)算乘除法,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移

(Translation)平移后各對(duì)1之I可的■呵叫做■圖形4

o式加減法

關(guān)鍵：平移不改變圖形的開溷形j改變圖形的位置)。

a.分式方程

b.圖形平移三要素：原位置、平移為TTV

(2)平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等。

注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。

(3)簡(jiǎn)單的平移作圖：

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)按一定方向和

一定的距離平行移動(dòng)。

2、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律

(1)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形

的旋轉(zhuǎn)(Circumrotate)。這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

關(guān)鍵：a.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小(但會(huì)改變圖形的方向，也改變圖形的位置)。

b.圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角，

(2)旋轉(zhuǎn)的規(guī)律(性質(zhì))：

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)

中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段相等、

對(duì)應(yīng)角相等。)

注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。

(3)簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)作圖：

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)繞

旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。

3、圖案的分析與設(shè)計(jì)

①首先找到根本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何種運(yùn)動(dòng)變換而形成。

②圖案設(shè)計(jì)的根本手段主要有：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。

4、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角(旋轉(zhuǎn)角a滿足Ova<360)

5、中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中

心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。

6、把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也

口i|做這兩個(gè)圖形成中興對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)。

7、軸對(duì)稱知識(shí)回憶

(1)軸對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的局部能夠互相重合，那么這個(gè)

圖形叫做軸對(duì)稱圖形(AxiallySymmetricFigure)1,折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。

(2)兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形沿某一條直線翻，能與另一個(gè)圖形重合，那么

叫做這兩個(gè)圖形關(guān)「這條直線成軸對(duì)稱，這條宜線就是對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的時(shí)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線

的對(duì)稱點(diǎn)。

(3)注意:

①軸對(duì)稱是說(shuō)兩個(gè)圖形的位置關(guān)系：而軸對(duì)稱圖形是說(shuō)一個(gè)具有特殊形狀的圖形。

②成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，必定是全等圖形。

(4)軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；對(duì)應(yīng)線段相等：對(duì)應(yīng)角相等。

(3)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱作圖：

求作一個(gè)幾何圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形，可以轉(zhuǎn)化為求作3個(gè)圖形上的特征點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱的

點(diǎn)。后依次連結(jié)各4存征點(diǎn)即可。

’圖形的平移

旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形「

圖形的運(yùn)動(dòng)II形的旋轉(zhuǎn)

＜中心對(duì)稱

軸又才稱圖形

圖形的翻折、

輜對(duì)稱

粕對(duì)稱和軸對(duì)稱圖揚(yáng)之間的區(qū)別與聯(lián)系:

軸、對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對(duì)一個(gè)圖形而言；

別②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置②指一個(gè)圖形的特殊形狀。

關(guān)系。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

系②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，

把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩局部，這兩局部關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

粕對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸：

名稱是否是軸對(duì)稱圖對(duì)稱軸有幾對(duì)稱軸的位置

形條

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的直線

長(zhǎng)方形是2條對(duì)邊中線所在的直線

正方形是4條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線所在

的直線

圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊不是0條

形

第十二章實(shí)數(shù)

第一節(jié)實(shí)數(shù)的概念

12.1實(shí)數(shù)的概念

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為‘實(shí)數(shù)。

實(shí)數(shù)按如下方式分類:

止有理數(shù)

有理數(shù)零有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)

實(shí)數(shù)

正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)

點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)。

正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小。

無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

第二節(jié)數(shù)的開方

12.2平方根和開平方

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做二次方根。

求一個(gè)數(shù)a的平方跟的運(yùn)算叫做開平方，a叫做被開方數(shù)。

一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)。的兩個(gè)平方根可以用“土表示，其中右表示。的正的平方根（乂叫算術(shù)平方根），讀作“根

號(hào)a"；--表示。的負(fù)平方根，讀作“負(fù)根號(hào)

零的平方根記作S,#）:0.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，（&）2=a,（―&）2=a.

（2）當(dāng)位0時(shí)，C=a;

當(dāng)a&O時(shí)，而=一。

12.3立方根和開立方

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用表示，讀作“三次根號(hào)板

中的。叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)。

求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫你開立方。

正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方等于零，所以正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù),

負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方根是零。

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根。

12.4n次方根

如果一個(gè)數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做。的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這

個(gè)數(shù)為。的奇次方根；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為。的偶次方根

求一個(gè)數(shù)。的n次方跟的運(yùn)算叫做開n次方，。叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。

實(shí)數(shù)。的奇次方根有且只有一個(gè)，用表示，其中被開方數(shù)。是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)n是大于1

的奇數(shù)。

正數(shù)。的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用“近”表示，負(fù)n次方根用“一江”

表示，其中被開方數(shù)。>0,根指數(shù)n是正偶數(shù)（當(dāng)n=2時(shí)，在土江中省略n）

負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。

零的n次方根等于零，表示為瘋1=0

“后”讀作"n次根號(hào)a”

第三節(jié)實(shí)數(shù)的運(yùn)算

12.5用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

有理數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值、相反數(shù)意義：

一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值記作|a|.

絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)；

零的相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)。的相反數(shù)是一Q。

實(shí)數(shù)大小的比擬：

負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)。

兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。

從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大。

兩點(diǎn)間的距離：

在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,那么

A、B兩點(diǎn)的距離AB=Ia—bI.

12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)A0,b>0,可知(癡?6)=(H)2.)2=Qko

根據(jù)平方根的意義，得47a-

a-.."a

同理:

近取數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度。對(duì)近似程度的要求，叫做精確度。

對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的

有效數(shù)字。

第四節(jié)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

分?jǐn)?shù)指數(shù)基

(a>0)

(a>0)其中m、n為正整數(shù)，n>l.

有理數(shù)指數(shù)基有以下性質(zhì)：

設(shè)a>b,b>0,P、q為有理數(shù)，那么

(1)y_a^

⑵D*二小

⑶3)1”.(鏟

本童小結(jié)

有理數(shù)

實(shí)數(shù)的分類

(------?

無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

運(yùn)算法那么及運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算

近似數(shù)及近似曄

數(shù)的開方分?jǐn)?shù)指效毒、有理數(shù)指數(shù)帚運(yùn)停性質(zhì)

第十三章相交線、平行線

第1節(jié)相交線

13.1鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角

相交線的定義：

在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線叫做相交線。

對(duì)頂角的定義：

一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。

鄰補(bǔ)角的定義：

有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。

鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。

垂線的定義：

垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，

它們的交點(diǎn)叫做垂足。

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與直線垂直。

性質(zhì)2：垂線段最短。

點(diǎn)到直線的距離：

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

同位角：

兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角。

內(nèi)錯(cuò)角：

兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的?對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

同旁內(nèi)角：

兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。

平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直

線也平行。

13.2垂線

1.垂線與斜線

通過(guò)操作實(shí)踐，所得到的結(jié)果說(shuō)明垂線有這樣的根本性質(zhì)：

在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)直線上或直線外地一點(diǎn)作直線的垂線可以作一條，并且只能作一條。

2.點(diǎn)到直線的距離

聯(lián)結(jié)直線外?點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單地說(shuō)：垂線段最短。

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離。

13.3同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角（三線八角）

第2節(jié)平行線

13.4平行線的判定

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（同位角相等，兩直線平行）

平行線具有以下根本性質(zhì)：

經(jīng)過(guò)直線外地一點(diǎn)，有且只有一條直線與直線平行。

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（同旁內(nèi)角互斗，兩直線

平行）

13.5平行線的性質(zhì)

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同

位角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

如果兩條直線都與第三條在線平行，那么這兩條直線也互相平

行。（對(duì)于直線〃、b、c.如果?！ㄥ闙/c,那么?！╦被稱為平行

的傳遞性）

兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條宜線的距離都

是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離。

第十四章三角形

第1節(jié)三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)

14.1三角形的有關(guān)概念

1.三角形的有關(guān)線段

三角形的高，中線，角平分線

2.三角形的分類

銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰三角形，等邊三角形

14.2三角形的內(nèi)角和

三角形的內(nèi)角和等于180、

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。

三角形的外角和等于360。

第2節(jié)全等三角形

14.3全等三角形的概念與性質(zhì)

能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

兩個(gè)三角形是全等形，就說(shuō)它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角形，經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)后一定重合，相互重

令的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

14.4全等三角形的判定

判定方法1在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)

記為S.A.S）。

判定方法2在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)

記為A.S.A）o

判定方法3在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)題的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全

等（簡(jiǎn)記為A.A.S）。

判定方法4在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等1簡(jiǎn)記為SSS）。

斜邊和一^直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”和“HL”。

SSA、AAA不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一

角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。在角形全等的證明思路

找夾色一一SAS

I.兩邊找直角一＜一HL

找另一邊一一SSS

找邊的對(duì)角AAS

II.一邊一角邊為角的令甲i找夾角的另一邊一一sAS

J找夾邊的另一角——ASA

邊為加勺對(duì)邊——找任意一角——AAS

in.兩角找夾邊［一A'SA

找旺意一邊——AAS

第3節(jié)等腰三角形

14.5等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱為“等腰三角形的三線合

一”）。

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線.

14.6等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等，這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱

為“等角對(duì)等邊”）。

14.7等邊三角形

等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。

等邊三角形的性質(zhì)；

等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60'。

判定等邊三角形的方法：

（1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

（2）有一個(gè)角等于60,的等腰三角形是等邊三角形。

SSA、AAA不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一

角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角。

1、|線段的垂直平分弱:

定理：

⑴線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。

與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

2、|等腰三角形|：

豳

①等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”。

②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊

推論：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角框等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。

礴:

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等，簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”。

帽畫：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

礴:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

3、|角的平分線|：

詢：

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

②在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

第十五章平面直角坐標(biāo)系

第1節(jié)平面直角坐標(biāo)系

15.1平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)取一點(diǎn)°,過(guò)點(diǎn)°畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們以點(diǎn)0為公共原點(diǎn)。這樣，就在

平面內(nèi)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。通常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，這

條數(shù)軸叫做橫軸（記作了軸）；另一條是鉛直放置的，它的正方向向上，這條軸叫做縱軸（記作?軸）。

如下圖，記作平面直角坐標(biāo)系1°匕點(diǎn)0叫做坐標(biāo)原點(diǎn)（簡(jiǎn)稱原點(diǎn)），上軸和尸軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)（ab）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)，記作P（a,b）,其中

a叫做橫坐標(biāo)，b叫做縱坐標(biāo)。

象限的劃分：

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a.b）且垂直于x軸的直線可以表示為直線x=a,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a,b）且垂直于y軸的直線可以表示為

直線y=b.

第2節(jié)直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

15.2直角坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

點(diǎn)的坐標(biāo)有了平面直角坐標(biāo)系，平面內(nèi)的點(diǎn)就可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)來(lái)表示，a點(diǎn)對(duì)應(yīng)x軸的數(shù)值為橫坐

標(biāo)，b點(diǎn)對(duì)應(yīng)y軸的數(shù)值為縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)就叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作（a,b）o

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，

平行于x軸的直線上的兩點(diǎn)A（藥,y）、B（X?,y）的距離

AB=|凝一巧|；

平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)C（x,片）、D（x,「2）的距離

CD=|景1一力|.

點(diǎn)的平移

在平面直角坐標(biāo)系中，（m>0）

將點(diǎn)（x,y）向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+m,y)；

將點(diǎn)（x,y）向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x-m,y)；

將點(diǎn)（x,y）向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y+m)；

將點(diǎn)（x,y）向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y-m)v

坐標(biāo)平面圖坐標(biāo)平面圖是由兩條坐標(biāo)軸和四個(gè)象限構(gòu)成的，也可以說(shuō)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以分為

六個(gè)區(qū)域：x軸上，y軸上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。在這六個(gè)區(qū)域中，除x軸與y

軸的一個(gè)公共點(diǎn)（原點(diǎn)）之外，其他區(qū)域之間都沒(méi)有公共點(diǎn)。

建立了直角坐標(biāo)系的平面叫做直角坐標(biāo)平面［簡(jiǎn)稱坐標(biāo)平面）,這樣，原來(lái)平面內(nèi)的點(diǎn)都可以用有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)來(lái)表示。

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸所對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做點(diǎn)尸的坐標(biāo)，記作式里協(xié)，其

中"叫做橫坐標(biāo)，.叫做縱坐標(biāo)。

原點(diǎn)0的坐標(biāo)是(Q8。4的坐標(biāo)是4的坐標(biāo)是(TF。

在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)：

①關(guān)于X成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

I橫同縱反)

②關(guān)于y成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。

(橫反縱同)

③關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

(橫縱皆反)

一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y);與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于y

軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,y).

一般地，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)M(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為5x,-y)。

第十六章二次根式

第一節(jié)二次根式的概念和性質(zhì)

16.1二次根式

I.二次根式的概念：式子右(。20)叫做二次根式.注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或O.

2.二次根式的性質(zhì)

a(a>0)

*

一a(a<0)

②(八)2=a(a>0)

③=五?戰(zhàn)(。>。力>0)；

④代親"20")

16.2最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式

1.被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次

根式.

2.化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式

16.3二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的加減:先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把同類三次根式分別合并.

2.二次根式的乘法：等于各個(gè)因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，

即y[ci-4h=yfab(a>0,b>0).

3.二次根式的和相乘，可參照多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行.

兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式把乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)三次根式互為有理化因

式.

4.二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號(hào)化

去(或分子、分母約分).把分母的根號(hào)化去，叫做分母有理化.

二次根式的運(yùn)算法那么：

a>/c+b>/c=(a+c)Vc(c>0)

^=、口(a>0,b>0)

yfb\b

=\[a"(a>0)

第十七章一元二次方程

17.1一元二次方程的概念

1.只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程

2.一般形式y(tǒng)=ax?+bx+c(aWO),稱為一元二次方程的一般式，ax叫做二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫

做一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)

17.2一元二次方程的解法

1.特殊的一元二次方程的解法：開平方法，分解因式法

2.一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法

4口八-b±《護(hù)一44c-b+yjb2-4ac-b-y]b2-4ac

3.求根公式工=-------------：x=--------------,A=-------------；

2a]2a2a

△=Z?2-4ac20

17.3一元二次方程的判別式

1.一元二次方程ox，+〃x+c=O(aw0)：

△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

△V0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

2.反過(guò)來(lái)說(shuō)也是成立的

17.4一元二次方程的應(yīng)用

1.一般來(lái)說(shuō)，如果二次三項(xiàng)式奴？+法+C(〃工0)通過(guò)因式分解得公；2+灰+。=4。一￡)(不一々)：

內(nèi)、x2是一元二次方程辦2+bx+c=0(a00)的根

2.把二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)；

如果力2—4ac20,那么先用公式法求出方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再寫出分解式

如果〃2—4ac<0,那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那此二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式

3.實(shí)際問(wèn)題：設(shè)，歹U,解，答

第十八章正比例函數(shù)和反比例函數(shù)

18.1.函數(shù)的概念

1.在問(wèn)題研究過(guò)程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量：保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做常量

2.在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，設(shè)為x和y,如果在變量x的允許取之范圍內(nèi)，變量y隨變量x的變

化而變化，他們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫做自變量

3.表達(dá)兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)是自稱為函數(shù)解析式y(tǒng)=/(x)

4.函數(shù)的自變量允許取之的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域；如果變量y是自變量x的函數(shù)，那么對(duì)于x

在定義域內(nèi)去頂?shù)囊粋€(gè)值a,變量y的對(duì)應(yīng)值叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值

18.2正比例函數(shù)

1如果兩個(gè)變量每一組對(duì)應(yīng)值的比是一個(gè)不等于零的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成正比例

2.正比例函數(shù):解析式形如y=kx（k是不等于零的常數(shù)）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，氣質(zhì)常數(shù)k叫做比例

系數(shù)；正比例函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)

3.對(duì)于一個(gè)函數(shù)y=/（x）,如果一個(gè)圖形上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足關(guān)系式y(tǒng)=/（x）,同時(shí)以這個(gè)函數(shù)

儺析式所確定的x與y的任意一組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圖形上，那么這個(gè)圖形叫做函數(shù)）=/（幻的

圖像

4.一般地，正比例函數(shù)），=履（%是常數(shù)且&工0）的圖像時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O（0,0）和點(diǎn)（1,k）的一條直

線，我們把正比例函數(shù)y=Ax的圖像叫做直線），=kx

5.正比例函數(shù)y=kx（2是常數(shù)且人工0）有如下性質(zhì)：

（1）當(dāng)kVO時(shí)二正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一、三象限，自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值也隨著逐漸

增大

（2）當(dāng)kVO時(shí)，正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)二、四象限，自變量x的值逐漸增大時(shí)，y的值那么隨著

逐漸減小

18.3反比例函數(shù)

I.如果兩個(gè)變量的每一組對(duì)應(yīng)值的乘積是一個(gè)不等于零的常數(shù)，那么就說(shuō)這兩個(gè)變量成反比例

2.解析式形如&（k是常數(shù),的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中k也叫做反比例系數(shù)

X

反比例函數(shù)的定義域是不等于零的一切實(shí)數(shù)

3.反比例函數(shù)），=々左是常數(shù)，攵工0）有如下性質(zhì)：

x

（I）當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第一、三象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，當(dāng)自變量x的值逐漸增大

時(shí)，y的值那么隨著逐漸減小

（2）當(dāng)kVO時(shí)，函數(shù)圖像的兩支分別在第二、四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)。自變量x的值逐漸增大

時(shí)，y的值也隨著逐漸增大

18.4函數(shù)的表示法

1.把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)------解析法

2.把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用圖像來(lái)表示……圖像法

3.把兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系用表格來(lái)表示---列表法

第十九章幾何證明

19.1命題和證明

1.我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的證明方式是演繹證明，簡(jiǎn)稱證明

2.能界定某個(gè)對(duì)象含義的句子叫做定義

3.判斷一件事情的句子叫做命題；其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯(cuò)誤的命題叫做假命題

4.數(shù)學(xué)命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩局部組成

5.命題可以寫成“如果……那么……”的形式，如果后是題設(shè)，那么后市結(jié)論

19.2證明舉例

1.平行的判定，全等三角形的判定

19.3逆命題和逆定理

1.在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，二第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題

的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題同做它的逆

命題

2如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明也是定理,那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理.其中一個(gè)叫做另一個(gè)的

逆定理

19.4線段的垂直平分線

1.線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的任意?點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

2、逆定理：和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

19.5角的平分線

1、角的平分線定理：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。

2、逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部［包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。

19.6軌跡

1、和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線

2、在一個(gè)叫的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線

3、到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心、定長(zhǎng)為半徑的圓

19.7直角三角形全等的判定

I.定理1：如果直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)記為H.L）

2.其他全等三角形的判定定理對(duì)于直角三角形仍然適用

19.8直角三角形的性質(zhì)

1.定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

2.推論1：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

3.推論2：在直角三角形中，如果一條之驕傲便等于斜邊的一般，那么這條直角邊所對(duì)的角等于30

19.9勾股定理

1.定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊

2.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的立方

3.勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角

三角形

19.10兩點(diǎn)間距離公式

1.如果直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)4芭，,）、8（七,月），那么A、3兩點(diǎn)的距離

22

AB=y/（x2-x,）+（y2-yl）

八年級(jí)下冊(cè)

第二十章一次函數(shù)

20.1一次函數(shù)的概念

1.一般地，解析式形如丁=丘+"hh是常數(shù)，ZwO）的函數(shù)叫做一次函數(shù)；

一次函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù)

2.一般地，我們把函數(shù)y=c1c為常數(shù)）叫做常值函數(shù)

20.2一次函數(shù)的圖像

1.列表、描點(diǎn)、連線

2.一條直線與），軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做這條直線在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱直線的截距

3.一般地，直線），=區(qū)+8伏4是常數(shù),女工0）與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0.b）,

直線的截距是b

4.次函數(shù)>,十力（b#0）的圖像可以由正比例函數(shù)），=丘的圖像平移得到

當(dāng)h>0時(shí)，向上平移b個(gè)單位，當(dāng)bVO時(shí).向下平移b的絕對(duì)值個(gè)單位

5.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系（看圖）

20.3一次函數(shù)的性質(zhì)

1.一次函數(shù)y="+b（hb是常數(shù),k力（））具有以下性質(zhì)：

當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而增大

當(dāng)kVO時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的值增大而減小

2.

①如下圖，當(dāng)k>0,b>0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限（直線不經(jīng)過(guò)第四象限）:

②如下圖，當(dāng)k>0,b>0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第二象限）;

③如下圖，當(dāng)k<0,b>0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第三象限）;

④如下圖，當(dāng)k<0,b<0時(shí),直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限（直線不經(jīng)過(guò)第一象限）.

20.4一次函數(shù)的應(yīng)用

1.利用一次函數(shù)及圖像解決實(shí)際問(wèn)題

第二十一章代數(shù)方程

21.1一元整式方程

1.cvc=\2（a是正整數(shù)），x是未知數(shù)，a是用字母表示的數(shù)，于是，在項(xiàng)ax中，字母a是項(xiàng)的系數(shù)，

我們把a(bǔ)叫做字母系數(shù)，我們把a(bǔ)叫做字母系數(shù)，這個(gè)方程是含字母系數(shù)的一元一次方程

2.如果方程中只有一個(gè)未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式，那么這個(gè)方程叫做一元整式方程

3.如果經(jīng)過(guò)整理的一元整式方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是n（n是正整數(shù)），那么這方程就叫做一

元n次方程；其中次數(shù)n大于2的方程統(tǒng)稱為一元高次方程，本章簡(jiǎn)稱高次方程

21.2二項(xiàng)方程

1.如果一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么這樣的方程就叫

做二項(xiàng)方程；一般形式為c/x"+6=O］。工0,〃工0,n是正整數(shù)）

2.解一元n（n>2）次二項(xiàng)方程，可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的n次方根

3.對(duì)于二項(xiàng)方程=O（。工0,6/0）

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，如果ab<0,那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)：如果ab>0,

那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

213可化為一元二次方程的分式方程

解分式方程,可以通過(guò)方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母,約去分母,轉(zhuǎn)化為正式方程來(lái)

解

2.注意將所得的根帶入最簡(jiǎn)公分母中檢驗(yàn)是否為增根(也可芍入方程中)

3.換元法可將某些特殊的方程化繁為簡(jiǎn)，并且在解分式方程的過(guò)程中，防止了出現(xiàn)解高次方程的問(wèn)題,

起到降次的作用

21.4無(wú)理方程

1.方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程

2.整式方程和分式方程統(tǒng)稱為有理方程

3.有理方程和無(wú)理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱代數(shù)方程

4.解簡(jiǎn)單的無(wú)理方程，可以通過(guò)去根號(hào)轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，解簡(jiǎn)單無(wú)理方程的