河南省許昌市小學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

河南省許昌市小學(xué)小學(xué)奧數(shù)系列8-2-1抽屜原理（二）

姓名:班級(jí):成績:

親愛的同學(xué)，經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，你們一定學(xué)到不少知識(shí)，今天就讓我們大顯身手吧！

一、（共35題；共160分）

1.（10分）在一個(gè)矩形內(nèi)任意放五點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上。證明：在以這五點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，

至少有一個(gè)的面積小于矩形面積的四分之一。

2.（5分）將全體自然數(shù)按照它們個(gè)位數(shù)字可分為10類：個(gè)位數(shù)字是1的為第1類，個(gè)位數(shù)字是2的為第2

類，…，個(gè)位數(shù)字是9的為第9類，個(gè)位數(shù)字是0的為第10類.

（1）任意取出6個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？

（2）任意取出7個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？如果一定，請簡要說明理由；

如果不一定，請舉出一個(gè)反例.

3.（5分）有黑、紅、藍(lán)三種顏色的手套各10只混在了一起，這些手套只要兩只顏色相同，即可配成一雙。

（1）把眼睛蒙上，至少要拿出幾只才能保證能配成1雙？

（2）至少要拿出幾只，才能保證能配成2雙？

（3）至少要拿出幾只，才能保證有2雙是相同顏色的？

4.（5分）把12個(gè)乒乓球放入5個(gè)盒子，至少有3個(gè)乒乓球要放人同一個(gè)盒子。為什么？

5.（5分）一個(gè)口袋里分別有4個(gè)紅球，7個(gè)黃球，8個(gè)黑球，為保證取出的球中有6個(gè)球顏色相同，則至少

要取多少個(gè)小球？

6.（5分）一個(gè)口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒。如果你閉上眼睛，至少取出多

少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？

7.（5分）平面上給定17個(gè)點(diǎn)，如果任意三個(gè)點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1,證明：在這17個(gè)點(diǎn)中必

有9個(gè)點(diǎn)可以落在同一半徑為1的圓內(nèi)。

a-。；?

8.（5分）3個(gè)小朋友一起做游戲，試說明其中必有兩個(gè)小朋友的性別相同。

9.（5分）圖書館有A,B,C,D四種圖書若干本，每人借一本書，至少要有多少個(gè)人借書，才能保證一定有

3人借的書相同?

10.（5分）六（1）班40名學(xué)生到圖書室借書，圖書室有科技、歷史和文藝三種書。要求：每種只能借1本,

每人至少可借1本，最多可借3本。六（1）班至少有幾人所借圖書是相同的？

11.（5分）在20米長的水泥陽臺(tái)上放11盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過2米.

12.（5分）六（1）班有49名學(xué)生，數(shù)學(xué)高老師了解到期中考試該班英語成績除3人外，均在86分以上后就

說：“我可以斷定，本班至少有4人成績相同”。王老師說的對嗎?為什么？

13.（5分）6只鴿子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，每個(gè)籠子里都必須有1只，一定有一個(gè)籠子里有2只鴿子.對嗎？

14.（1分）證明：任取6個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是5的倍數(shù)。

15.（5分）“華羅庚”杯數(shù)學(xué)競賽獲獎(jiǎng)的87名學(xué)生分別來自12所小學(xué)。試說明至少有8名學(xué)生來自同?所

學(xué)校。

16.（5分）10只蘋果放進(jìn)幾個(gè)抽屜，才能保證至少一個(gè)抽屜有4只或4只以上的蘋果？

17.（5分）在1米長的直尺上任意點(diǎn)五個(gè)點(diǎn)，請你說明這五個(gè)點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于25厘米.

18.（5分）黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩

雙筷子。問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求?

19.（5分）在邊長為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的

面積不超過1平方米.

20.（5分）給下面每個(gè)格子涂上黑色或紅色.觀察每一列，你有什么發(fā)現(xiàn)?

無論怎么涂，至少有

兩列的涂法相同。

能說出其中的道理嗎？

21.（5分）從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù).

22.（5分）有蘋果和桔子若干個(gè)，任意分成5堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶

數(shù)？

23.（5分）20道復(fù)習(xí)題，小明在兩周內(nèi)做完，每天至少做一道題.證明：小明一定在連續(xù)的若干天內(nèi)恰好

做了7道題目.

24.（5分）五年級(jí)有47名學(xué)生參加?次數(shù)學(xué)競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績在

60分以下，其余學(xué)生的成績均在75?95分之間。問：至少有幾名學(xué)生的成績相同？

25.（5分）邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).

26.（5分）池塘里有6只青蛙跳到4片荷葉上，總有一片荷葉上至少有2只青蛙。為什么？

27.（5分）把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)3本書，為什么？

28.（5分）（2018六下?云南月考）把若干個(gè)蘋果放進(jìn)9個(gè)抽屜里。不管怎么放，要保證總有?個(gè)抽屜里至

少放進(jìn)4個(gè)蘋果。那么至少應(yīng)該有多少個(gè)蘋果？

29.（5分）一副撲克有4種花色，每種花色13張，從中任意抽牌，最少要抽多少張才能保證有4張牌是同

一花色?為什么？

30.（5分）在長為100m的筆直馬路一側(cè)站了12人，不管他們怎樣站，至少有兩人的距離小于10m.這是為

什么呢？

31.（1分）口袋里裝著5個(gè)黃球和3人黑球，那么摸到球的可能性大些，至少摸出個(gè)球,

才能保證其中有一個(gè)是黃球。

32.（5分）證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。

33.（1分）制作HJm團(tuán)?國網(wǎng)回回回口這樣10張卡片，想一想，至少要抽出張卡片

才能保證既有偶數(shù)又有奇數(shù)？試一試

34.（1分）媽媽準(zhǔn)備了7只信封，在每只信封里都放了錢共100元，要求每一只信封里都放整元數(shù)，而且都

不相同，那么錢放得最多的一只信封里至少放元？

35.（1分）有趣的順口溜

東東學(xué)完植樹問題后，爺爺給他出了一道趣味題。爺爺念了一段順口溜：湖邊春色分外嬌，一株杏樹株桃.平

湖周圍三千米，六米一株都栽到。漫步湖畔景色美，可知桃栽了________?杏栽了________?聰明的同學(xué)們，你能

幫東東算一算嗎？

參考答案

（共35題；共160分）

1-1

解：如圖，將長方形按中線分為兩部分，則由抽用必然有3個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)區(qū)域，那么由這3個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積必

然小于該區(qū)域的一半,即長方形面的四分之一.

2-1、解：不T書.嬲）1、2、3、4、5、1陶沁?中，任怠兩個(gè)數(shù)的和都不是10W倍數(shù).

2-2、

解：一定有.將第1類與第9類合并，笫2類與笫8類合并，笫塊與第7類合并，笫供與雍6類合并，制造出4個(gè)抽卮；把第5類、

第10類分別，作1個(gè)抽尿，共6個(gè)抽聯(lián).任念7個(gè)互不同類的自然數(shù)，放到這&N蚓中，至少有1個(gè)蜘8里放2個(gè)數(shù).因?yàn)?個(gè)數(shù)

互不同類，所以后兩個(gè)抽屜中每個(gè)都不可能放兩個(gè)數(shù).當(dāng)兩個(gè)互不同類的數(shù)放到前4個(gè)抽卮的任何一個(gè)里面時(shí)，它們的和一定是

10的倍數(shù).

3-1、至少拿B4只才能保證能配成1雙.

3-2、至少拿出6只，才能俁證能配成2雙.

3-3、至少拿出10只，才能保證有成是相M色的.

解：12+5=2.i.3,2n=3（個(gè)）

4-1、答：因?yàn)槊總€(gè)盒子里告放入2個(gè)乒乓球，那么余下的乒乓球無論放入?個(gè)盒子里，至少有3個(gè)乒乓球饕放入同一個(gè)盒子里.

5-1、

解:考由最“壞”的情況，先取出4個(gè)江球，5個(gè)黃球,5個(gè)黑球，這樣再取一個(gè)（只能是黃球或黑球）,將有球顏色相同，

所以至少饕取出4+5+5+1=15（個(gè)）小球.

6-1、解：至少要?。?-1>5+1=21（粒）

7-1

解:如果17個(gè)點(diǎn)中，任意兩點(diǎn)之間的距商都小于1,那么，以這"個(gè)點(diǎn)中任意一點(diǎn)為國心，以1為半徑作TS,這17個(gè)點(diǎn)必然

全落在這個(gè)IS內(nèi).如果這17點(diǎn)中，存兩點(diǎn)之間距離不“、于1（即大于或等于1）,設(shè)這兩點(diǎn)為O］、O2,分別以5、O：為昌

心，1為半徑作兩個(gè)四（如圖）.把這兩個(gè)國看作兩個(gè)抽屜，由于―中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1,因此其他15個(gè)點(diǎn)中

每一點(diǎn)，到O］、0?的距商必有一個(gè)小于1.也就是說這些點(diǎn)^二3三；一個(gè)國中.根據(jù)抽卮原理必有一個(gè)國至少包含這15個(gè)點(diǎn)

中的2點(diǎn).由于03心是17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，因此這個(gè)囪至少包含0個(gè)點(diǎn)中的9個(gè)點(diǎn).

8-1

解：把3個(gè)小朋友看做3個(gè)物體，因?yàn)槿酥挥心?、女兩個(gè)性8!J,所以抽宸數(shù)有兩個(gè)，如果每個(gè)抽卮部有1個(gè)物體，月該還余1個(gè)物

體，這1個(gè)物體無論怎樣放，都會(huì)有1個(gè)抽應(yīng)放2個(gè)幡體了所以其中心有兩個(gè)小朋友的性WS同.

解：4x2+l=9（A）

9-1、答：至少要有9人借書.

婚：同學(xué)們借書情況共有7種.用A、B、C表示3種BB書借書的情況有:A,B,C,AB,AC,BC,ABC.

40+7=5......5

5+l=6（A）

10-u答：六（1）班至少有6人所借圖書是相同的.

11-1、

解:如果每兩盆之間的距兩都超過7米，那么忌距商超過?x（11一1）=20（米）.月一方面，可以使開始的10盆用兩盆

之間距需略大于2米，而最后兩盤之間小于2米.所以,至少有兩盆之間的距離不超過2米.

12-1、解：王老麗說得對，因?yàn)?6分到100分共有15個(gè)分?jǐn)?shù)，（49-3）子15=3...1,3+1=4伏），所以本班至少稗4人00事

13-1、

6只管子要飛進(jìn)5個(gè)籠子，如果每個(gè)籠子裝1只，這樣還剩下1只簿子.這只鴿子可以任意飛迸其中的—HE子,這樣至少有

-4^子里有2只鴿子.所以這句話是正確的.

14-1、

解：任何曲嫩以5,其余數(shù)只可能是0,1,2,3,4五種情形.那么沁自然數(shù)除以5,至少有兩個(gè)數(shù)的余數(shù)相同.如果兩

個(gè)數(shù)除以5的余數(shù)相同，月處它們的的是5的倍數(shù).

解:87+12=7-3,7*1=8（S）

15-1、答：假如每個(gè)學(xué)校*7人獲獎(jiǎng)，號(hào)該余下的3人無論墨瞬的都能保證至少有皓學(xué)生來自同一所學(xué)校.

16-1、解:抽屜個(gè)數(shù)小于4個(gè).

17-1

解：5個(gè)點(diǎn)最多把1米長的直尺分成4段，要想使每一段都盡量長，應(yīng)采取平均分的辦法.把1米長的五尺平均劃分成四段，

每一段25厘米，把這四段曹成四個(gè)抽席.當(dāng)把五個(gè)點(diǎn)隨息放入四個(gè)抽屆時(shí)，根據(jù)牯屜原理，一定有一個(gè)抽展里面有兩個(gè)或兩

個(gè)以上的點(diǎn)，落在同一段上的這兩點(diǎn)間的距圈T不大于25厘米，所以結(jié)論成立.

18-1、

解：根據(jù)最不利原則,至少取9根筷子就能俁證有一雙顏色不同，我們把顏色不同那雙篌子取出，再補(bǔ)2只筷子，就能又保證

一雙顏色不同筷子，所以取B11根筷子就得到顏色不同的兩雙筷子.

19-1、

解：將大正方形分成9個(gè)邊長為保的小正方形，則沁小正方形為"抽卮,M：28-9=3…1，則必有一個(gè)小正方形里

(上)至少有3+1=4(個(gè))點(diǎn)，著這四個(gè)點(diǎn)恰好落在這個(gè)小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，另隱以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為1平

方米；若有一個(gè)點(diǎn)落在正方形的內(nèi)部或邊上，則面積將小于1平方米.綜上所述，不論怎么放，必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的

四邊形的面積不超過1平方米.

20-1、

21-1、

解：把這204或分成以下13,看成10個(gè)抽展：(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,

18),(11),(13),(15),(17),(19),前5個(gè)抽屜中，任熏兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從這1(W嵋中任選11個(gè)數(shù)，

必有應(yīng)中要取2個(gè)數(shù)，它們只能從前5個(gè)弼屜中取出，這兩個(gè)數(shù)就滿足罌目要求.

22-1、

解:需先藪學(xué)生介紹奇G性：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+僖取=否數(shù)；偶數(shù)十偶數(shù)=偶數(shù).

先用列表法進(jìn)行搭配.由子期目只要求判斷兩堆水果的個(gè)數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個(gè)數(shù)的奇、偶性上來考古抽屜的設(shè)計(jì).對于

與堆水果中的蘋果、結(jié)子的個(gè)數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果中華果、精子個(gè)數(shù)的搭配就有4種情形：(奇，

奇)，(愛，保)，(依，奇)，(保，國)，其中括號(hào)中的第fT表示取果數(shù)的奇色性,第二個(gè)字表示桔子數(shù)的奇儡性.

將這4種情形看成4個(gè)抽屜，現(xiàn)有5堆水果，根據(jù)抽卮原理可知，這5堆水果里至少有2堆屬于上述4種情形的同一種情

形.由于瓷數(shù)加奇數(shù)為偈數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偈數(shù),所以在同TW5中的兩堆水果,其蘋果的急數(shù)與桔子的忌數(shù)都是偈數(shù).

23-1

解:設(shè)小明笫1臺(tái)了可順，前a了a2強(qiáng),前3^?了的臺(tái).....前14^?了的4臺(tái).顯然^=20,

而。］~的3的人于2。.考官。1,外，的，……，。14及q+7,。，+7r內(nèi)+7一,一，7這284SK,它們

27.

z

根般抽應(yīng)原理f這2szX卬必有兩個(gè)數(shù)相等.由于。［,再，為，……，的4亙不相等，。［+7＜。、+7t7,?8????

/+7也互不相等，因而這兩個(gè)相好的數(shù)只能一個(gè)在前一蛆，另一個(gè)在后一組中，即有：卬=q+7,所以力?q=7.這

表明從第丁+1天到第j天，小明恰好做了7道蹙.

解：75~95之間-7541=21（個(gè)）

47-3=44（名）

44+21=2..??..2

2+1=3（名）

24-1、答：至少有珞學(xué)生的成績相同.

25-1、

*：2點(diǎn)的分布是任意的.如果要證明“在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn),另吆這5個(gè)點(diǎn)中f有距離不大于

的兩點(diǎn),則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長為的小等邊三角形，則

5個(gè)點(diǎn)中的2點(diǎn)位于同一個(gè)4號(hào)邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于0.5.可以繼續(xù)拓展：邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若

有求+1個(gè)點(diǎn),則至少存在2點(diǎn)距離小于1.

解:6+4=L.....2,1+1=2（P）

26-1、答：因?yàn)槿绻科?/p>