高考數(shù)學(xué)（理）答題模板：專題01 復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

專題1復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

---------知識尋源-----------

【復(fù)數(shù)的概念】

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表

zjxo

復(fù)數(shù)的表示：

復(fù)數(shù)通常用字母Z表示，即2=@+杭(a,beR),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫復(fù)數(shù)的實(shí)

部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。

【復(fù)數(shù)的運(yùn)算】

1、復(fù)數(shù)Zi與Z2的和的定義：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

2、復(fù)數(shù)zi與Z2的差的定義：zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

3、復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a、b、c、d￡R)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)

(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,其實(shí)就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項(xiàng)式相乘，在所得的結(jié)果中把

i?換成-1,并且把實(shí)部與虛部分別合并，兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)。

a--\---b-i=-(-a--+-b-i-)-(-c---d-i-)=-a-c--+--b-d-+-b-e---a-d-J.

4、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算規(guī)則：c+出(c+di)?-成)。

共朝復(fù)數(shù)：

當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共扼復(fù)數(shù).

虛部不等于0的兩個共加復(fù)數(shù)也叫做共聊虛數(shù)。

-a-+-b--i=-(--a-+-b--i-Y-c----d-i-)=-a--c-+--b-d-+,-b-e----a--dJ

復(fù)數(shù)z=a+bi和c+力(c+di)(c-di)=a-bi(a、beR)互為共扼復(fù)數(shù)。

【復(fù)數(shù)的運(yùn)算律】

1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律：Z1+Z2=Z2+Z1；

結(jié)合律：(Zi+Zz)+Z3=Z1+(Z2+Z3)；

2、減法同加法一樣滿足交換律、結(jié)合律。

3、乘法運(yùn)算律：(1)zi(Z2Z3)=(Z1Z2)Z3；(2)zi(Z2+Z3)=Z1Z2+Z4；(3)Zt(Z2+Z3)=Z&+Z1Z3

---------示范例題-----------

【2017年高考全國I卷，理3】

設(shè)有下面四個命題

Pi:若復(fù)數(shù)z滿足一wR,則z€R；

z

p2：若復(fù)數(shù)z滿足則zwR；

p3：若復(fù)數(shù)4*2滿足Z]Z2￡R，則Z1=Z2；

〃4：若復(fù)數(shù)zeR,則三ER.

其中的真命題為

ZP\，P3B.PrP4C.P2，P3D.p29p4

【答案】B

【解析】

試題分析：令z=a+加3）6出），則由1=」^=勺絲七五得方=0,所以ZW及,故Pl正確；

當(dāng)z=i時(shí),因?yàn)閦?=產(chǎn)=-lwK,而z=i名及知,故p：不正確；

當(dāng)z】=ZN=i時(shí),滿足々n?=-le&，但4工4>知n不正確；

對于P4,因?yàn)閷?shí)數(shù)沒有虛部，所以它的共瓶復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故外正確，故選B.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì).

【點(diǎn)撥】分式形式的復(fù)數(shù)，分子分母同乘分母的共輒復(fù)數(shù)，化簡成2=。+尻（4,6￡/?）的形式進(jìn)行判斷,

共枕復(fù)數(shù)只需實(shí)部不變，虛部變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可.

答題思路

【命題意圖】高考對本部分內(nèi)容的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：1.理解復(fù)數(shù)的基本概念.理解復(fù)數(shù)相

等的充要條件：2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；能將代數(shù)形式的發(fā)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表

示，并能將復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示：3.會進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算：4.了

解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.

【命題規(guī)律】從近三年高考情況來看，本部分內(nèi)容為高考的必考內(nèi)容，尤其是復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等，

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共挽復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般為選擇題或填空題，難度

不大，解題時(shí)要正確把握復(fù)數(shù)概念及準(zhǔn)確運(yùn)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解.

【答題模板】解答本類題目，一般考慮如下三步：

第一步：構(gòu)造（求出）未知復(fù)數(shù)設(shè)2=。+〃（。*￡/?）,根據(jù)具體的要求設(shè)定。力（或求出4,6）；

?a+bi（a+bi）（c-di）ac~\~bd

第二步：借助復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，求出需求結(jié)果由一=工^=~

z2c-rdi（c+di）（c—di）c-\-d

（hr刀ci）

，/+；/—i（/+dW0）；Zi?為=（a+歷）?（c+di）=（a。-A）+（ad+bc）i等求出需求的結(jié)

果;

第三步：關(guān)注易錯點(diǎn)，檢驗(yàn)①共聊復(fù)數(shù)：a^biUOWR)與c+di(c,d￡R)互為共聊復(fù)數(shù)=a=c,

b=-d\②|z|=|d+bi|=?W+4.

【方法總結(jié)】

1.復(fù)數(shù)的相關(guān)概念

⑴對于復(fù)數(shù)a+歷(a,6WR),當(dāng)且僅當(dāng)8=0時(shí)，是實(shí)數(shù)；當(dāng)6#0時(shí)，是虛數(shù)；當(dāng)a=0且好0時(shí)，

是純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等：如果a,b,c,d都是實(shí)數(shù)，那么a+8i=c+dioa=c且力=d；a+6i=0oa=0且Z?

=0.

(3)共枕復(fù)數(shù)：a+歷(a,b￡R)與c+小(c,d￡R)互為共枕復(fù)數(shù)oa=c,b=~d.

2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)?=a+Z?i,Z2=c+成(a,b,c,d￡R).

運(yùn)算法則運(yùn)算形式

加法z】+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+加i

減法zi-Z2=(a+歷)—(c+di)=(a~c)+(b-cbi

乘法Z\?Z2=(a+歷)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

z\a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd(be-ad).

zic+di(c+M)(c—di)/+d/+d1

除法

(c+^0)

3.常用結(jié)論

(l)i4fl=l,i4fl+，=i,i4fl+2=-l,i，o+3=-i,〃￡M.

(2)(l±i)a=±2i,(a+bi)(a—bi)=，+反

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+bi-對座》復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù)的加法即向量的加法，滿足平行四邊形法則;

(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法即向量的減法，滿足三角形法則.

5.復(fù)數(shù)的模

向量應(yīng)的長度叫作復(fù)數(shù)z=&+bi（&》￡R）的模，記作|z|,即量|=|&+歷|=\/才+$.

6.模的運(yùn)算性質(zhì)

⑴|Z『=|；|2=Z?；；

⑵|0?勿I=I21II為I;

⑶國=B1.

真題練習(xí)

1.【2017年高考全國in卷】復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由題意：z=-l-2z,在第三象限.所以選C.

【考點(diǎn)】更數(shù)運(yùn)算

【點(diǎn)撥】首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉及數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)

〃+加(。,辦￡R)的實(shí)部為。、虛部為力、模為+3、對應(yīng)點(diǎn)為(。,方)、共胡為。一瓦.

2.【2017年高考全國H卷】含■一()

A.1+2/B.1-2/C.2+iD.2-i

【答案】D

【解析】

試題分析：由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則有：把:")(1)=27,故選D。

1+Z2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的除法

【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除。除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程。在做復(fù)數(shù)的除

法時(shí)，要注意利用共趣復(fù)數(shù)的性質(zhì)：若Z,Z2互為共扼復(fù)數(shù)，則?-Z2=|ZF=|切2,通過分子、分母同

乘以分母的共枕復(fù)數(shù)將分母實(shí)數(shù)化。

3.【2017年高考北京卷，理2】若復(fù)數(shù)(l-i)(〃+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是

(A)(-8,1)(B)(-8,-1)

(C)(1,+8)(D)(-1,+8)

【答案】B

【解析】

試題分析：z=(lT)g+i)=(a+l)+(l-a)i,因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以“_口＞0，解得：

a<-1,故選B.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)

數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.狂數(shù)z=a十加二一對號狂平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,

A)(a,Z?eR).復(fù)數(shù)z=a+Z?i(a,Z?eR).“叫平面向量OZ.

4.【2017年高考山東卷，理2】已知。€R,i是虛數(shù)單位，若z=a+?,z.z=4,則a;

(A)1或-1(B)V7或-V7(C)-6(D)6

【答案】A

【解析】試題分析：由z=〃+J8i,z?z=4得/+3=4,所以。=±1,故選A.

【考點(diǎn)】1.好數(shù)的概念.2.好數(shù)的運(yùn)算.

【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)。+〃(。1￡1^)的共規(guī)復(fù)數(shù)是。一方(4功￡1<),據(jù)此結(jié)合已知條件，求得4的方程即可.

5.【2017年高考浙江卷，理12]已知a,beR,(a+^i)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)則/+匕2=,

ab=.

【答案】5,2

【解析】

試題分析：由題意可得/+2Mi=3+4i,則"=3,解得=4,則/+從=5,燦=2

ab=2[Z;2=l

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念

【點(diǎn)撥】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌

握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b.c.dGK).其次要熟悉復(fù)數(shù)

相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)。+瓦(。淮￡氏)的實(shí)部為。、虛部為6、模為H、對應(yīng)點(diǎn)為(。,6)、共趣為

a-w-

6.【2017湖南婁底二?！咳魪?fù)數(shù)z滿足i(z-l)=l+i(i為虛數(shù)單位)，則2=()

A.2-iB.2+iC.l-2iD.l+2i

【答案】A

【解析】由已知得iz=l+2i,所以"匕二=2T,選A.

i

7.【2017河北唐山二?！吭O(shè)復(fù)數(shù)z滿足三1=1-3八則慟=()

z-2?1

A.5B.y/5C.2D.41

【答案】B

【解析】由三\二1-3晨得z+l=z-2-3zi+6i,即z=2+i,則|z|=JL故選B.

8.【2017江西4月質(zhì)檢】已知z=N-（，是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部是（）

-2/+1

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】因?yàn)閦=2-=i02）=i,所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部為0,故選A.

-2/+1-2i+l

9.【2017福建4月質(zhì)檢】已知彳是z的共挽復(fù)數(shù)，且目-彳=3+4"則z的虛部是（）

77

A.-B.一一C.4D.-4

66

【答案】C

【解析】設(shè)z=〃+=得同=0上+/,所以原式為J^TP'-a+Z?i=3+4i,

虛部為b所以選C

“2+從一〃=3

10.【2017四川資陽4月模擬】已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=〃2-i+0+〃）i（其中）為純虛

【答案】B

4，—1=0

【解析】解：復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)，貝U：{.二，解得：4=1,即:

1+4工0

本題選擇B選項(xiàng).

11.【2017安徽池州4月聯(lián)考】設(shè)i是虛數(shù)單位，彳是復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)，若z巨=2仁+i）,則z=（）

A.-\-iB.-1+iC.1+iD.\-i

【答案】C

【解析】設(shè)z=a+砥wR)，由z?l=2(1+i)有(〃+bi)(a-bi)=2(a-bi+i),解得〃=8=1,

所以z=l+i,選C.

12.12017四川瀘州四診】己知復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=2i(，是虛數(shù)單位)，則同=()

A.—B.-C.五D.2

22

【答案】C

2/'則同=曰=舄

【解析】由題意可得：z=------

1+Z

本題選擇C選項(xiàng).

13.12017重慶巴蜀中學(xué)三診】已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足iz+2=z-2i,則|z|二

【答案】2

【解析】2=2(1+"),所以2=2乙國=2.填2.

1—/

14.12017河北武邑中學(xué)三模】設(shè)z=」一+i,則⑸=

【答案】—

2

15.12017福建泉州考前適應(yīng)模擬一】若復(fù)數(shù)z滿足z?(l+i)2=|l+i。貝ijz=.

【答案】T

(解析］z-2z=(Vi+T)2=2,z=^=-i,故答案為T.

16.【2016年高考全國I卷，理2】設(shè)(l+i)x=l+yi,其中心y是實(shí)數(shù)，則上+圳二

(A)1(B)x/2(C)百(D)2

【答案】B

【解析】

試題分析：因?yàn)?l+i)/=l+yi,所以x+3=l+)，i,所以x=l,y=x=l,故僅+yi|=|l+i|=J5,故選B.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算

【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，屬得分題.高考中考查頻率較高

的內(nèi)容有：復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何意義、共枕復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算.這類問題一般難度不大,

但容易出現(xiàn)運(yùn)算錯誤，特別是i?=-1中的負(fù)號易忽略，所以做復(fù)數(shù)題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.