備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-用樣本估計(jì)總體

第2講用樣本估計(jì)總體1．頻率分布表、頻率分布直方圖的制作步驟及意義2．頻率分布折線圖用線段連接頻率分布直方圖中各個矩形上面一邊的eq\x(\s\up1(01))中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖．3．其他統(tǒng)計(jì)圖表(1)不同的統(tǒng)計(jì)圖在表示數(shù)據(jù)上的特點(diǎn)扇形圖主要用于直觀描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的eq\x(\s\up1(02))比例，條形圖和直方圖主要用于直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的eq\x(\s\up1(03))頻數(shù)和eq\x(\s\up1(04))頻率，折線圖主要用于描述數(shù)據(jù)隨eq\x(\s\up1(05))時間的變化趨勢．(2)不同的統(tǒng)計(jì)圖適用的數(shù)據(jù)類型條形圖適用于描述eq\x(\s\up1(06))離散型的數(shù)據(jù)，直方圖適用于描述eq\x(\s\up1(07))連續(xù)型數(shù)據(jù)．4．百分位數(shù)(1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)eq\x(\s\up1(08))小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)eq\x(\s\up1(09))大于或等于這個值．(2)計(jì)算步驟：計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按eq\x(\s\up1(10))從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步，計(jì)算i＝eq\x(\s\up1(11))n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第eq\x(\s\up1(12))j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i＋1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的eq\x(\s\up1(13))平均數(shù).5．總體集中趨勢的估計(jì)(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“eq\x(\s\up1(14))中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢．(2)一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用eq\x(\s\up1(15))平均數(shù)、eq\x(\s\up1(16))中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以用eq\x(\s\up1(17))眾數(shù).6．頻率分布直方圖中平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的求法(1)樣本平均數(shù)：可以用每個小矩形底邊中點(diǎn)的eq\x(\s\up1(18))橫坐標(biāo)與小矩形面積的乘積之和近似代替．(2)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該eq\x(\s\up1(19))相等.(3)將最高小矩形所在的區(qū)間eq\x(\s\up1(20))中點(diǎn)作為眾數(shù)的估計(jì)值．7．方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)假設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1，x2，…，xn，則①平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，②方差s2＝eq\x(\s\up1(21))eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，③標(biāo)準(zhǔn)差s＝eq\x(\s\up1(22))eq\r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2).(2)如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則稱S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(N),\s\do4(i＝1))(Yi－eq\x\to(Y))2為總體方差，S＝eq\r(S2)為總體標(biāo)準(zhǔn)差．如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))fi(Yi－eq\x\to(Y))2.(3)如果一個樣本中個體的變量值分別為y1，y2，…，yn，樣本平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，則稱s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2為樣本方差，s＝eq\r(s2)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．(4)標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差eq\x(\s\up1(23))越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差eq\x(\s\up1(24))越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?5)分層隨機(jī)抽樣的均值與方差分層隨機(jī)抽樣中，如果樣本量是按比例分配，記總的樣本平均數(shù)為eq\o(w,\s\up6(－))，樣本方差為s2.以分兩層抽樣的情況為例，假設(shè)第一層有m個數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,1)；第二層有n個數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為seq\o\al(2,2).則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))xi，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,m)eq\o(∑,\s\up6(m),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2.則①eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\x(\s\up1(25))eq\f(m,m＋n)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(n,m＋n)eq\o(y,\s\up6(－))，②s2＝eq\x(\s\up1(26))eq\f(1,m＋n){m[seq\o\al(2,1)＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(w,\s\up6(－)))2]＋n[seq\o\al(2,2)＋(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(w,\s\up6(－)))2]}＝eq\x(\s\up1(27))eq\f(1,m＋n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ms\o\al(2,1)＋ns\o\al(2,2)＋\f(mn,m＋n)\o(x,\s\up6(－))－\o(y,\s\up6(－))2)).平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則：①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1．為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中，可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案B解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差．故選B.2．某課外小組的同學(xué)們從社會實(shí)踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示：用電量/度120140160180200戶數(shù)23582則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．180,170 B．160,180C．160,170 D．180,160答案A解析用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)是180，排除B，C；將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置的兩個數(shù)是160,180，故這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是170.故選A.3．(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1,10x2，…，10xn的方差為()A．0.01 B．0.1C．1 D．10答案C解析因?yàn)閿?shù)據(jù)axi＋b(i＝1,2，…，n)的方差是數(shù)據(jù)xi(i＝1,2，…，n)的方差的a2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.故選C.4．(2019·全國Ⅱ卷)演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A．中位數(shù) B．平均數(shù)C．方差 D．極差答案A解析中位數(shù)是將9個數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)據(jù)，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差均受影響．故選A.5．(2021·天津高考)從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計(jì)其評分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得400個評分?jǐn)?shù)據(jù)分為8組：[66,70)，[70,74)，…，[94,98]，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量是()A．20 B．40C．64 D．80答案D解析由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間[82,86)內(nèi)的影視作品數(shù)量為400×0.050×4＝80.故選D.6．90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的75%分位數(shù)為________,80%分位數(shù)為________.答案9697.5解析10×75%＝7.5,10×80%＝8，所以75%分位數(shù)為x8＝96,80%分位數(shù)為eq\f(x8＋x9,2)＝eq\f(96＋99,2)＝97.5.多角度探究突破考向一統(tǒng)計(jì)圖表及應(yīng)用角度扇形圖例1(2018·全國Ⅰ卷)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半答案A解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，則新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為0.6M，增加了一倍，所以C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟(jì)收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半，所以D正確．故選A.角度折線圖例2(多選)(2021·濟(jì)南一中模擬)2021年3月12日是全國第44個植樹節(jié)，為提高大家愛勞動的意識，某中學(xué)組織開展植樹活動，并收集了高三年級1～11班植樹量的數(shù)據(jù)(單位：棵)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是()A．各班植樹的棵數(shù)不是逐班增加的B．4班植樹的棵數(shù)低于11個班的平均值C．各班植樹棵數(shù)的中位數(shù)為6班對應(yīng)的植樹棵數(shù)D．1至5班植樹的棵數(shù)相對于6至11班，波動更小，變化比較平穩(wěn)答案ABD解析從題圖可知，2班的植樹量少于1班，8班的植樹量少于7班，故A正確；4班的植數(shù)棵數(shù)為10,11個班中只有2,3,8班三個班的植樹棵數(shù)少于10棵，且大于5棵，其余7個班的植樹棵數(shù)都超過10棵，且有6,7,9,10,11班五個班的植樹棵數(shù)都不少于15棵，將這五個班中的植樹棵數(shù)各取出5棵，加到2,3,8班中去，除4班外，其余各班的植樹棵數(shù)都超過了4班，所以4班植樹的棵數(shù)低于11個班的平均值，故B正確；比6班植樹多的只有9,10,11三個班，其余七個班都比6班少，故6班所對應(yīng)的植樹棵數(shù)不是中位數(shù)，故C錯誤；1至5班的植樹棵數(shù)的極差在10以內(nèi)，6至11班的植樹棵數(shù)的極差超過了15，另外從題圖明顯看出，1至5班植樹的棵數(shù)相對于6至11班，波動更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確．故選ABD.角度頻率分布直方圖例3(1)(2020·天津高考)從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33)，[5.33,5.35)，…，[5.45,5.47)，[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A．10 B．18C．20 D．36答案B解析根據(jù)頻率分布直方圖可知，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)之間的頻率為(6.25＋5.00)×0.02＝0.225，則直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)零件的個數(shù)為80×0.225＝18.故選B.(2)(多選)在某次高中學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中正確的有()A．成績在[70,80]分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成績的平均分約為70.5分D．考生競賽成績的中位數(shù)為75分答案ABC解析根據(jù)頻率分布直方圖得，成績出現(xiàn)在[70,80]的頻率最大，故A正確；不及格的考生人數(shù)為10×(0.010＋0.015)×4000＝1000，故B正確；根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)考生競賽成績的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5分，故C正確；0.1＋0.15＋0.2＝0.45＜0.5,0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＞0.5，所以考生競賽成績的中位數(shù)為70＋eq\f(0.5－0.45,0.3)×10≈71.67分，故D錯誤．故選ABC.常見統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)(1)通過扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)折線圖可以顯示隨時間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢．(3)準(zhǔn)確理解頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點(diǎn)①頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果，不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率，不要和條形圖混淆．②頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，常利用頻率分布直方圖估計(jì)總體分布．1.(多選)比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是()A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C．乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值答案AC解析對于A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值，故A正確；對于B，甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以乙的直觀想象能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值，故B錯誤；對于C，甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為eq\f(1,6)×(4＋3＋4＋5＋3＋4)＝eq\f(23,6)，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為eq\f(1,6)×(5＋4＋3＋5＋4＋3)＝4>eq\f(23,6)，所以乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平，故C正確；對于D，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值，故D錯誤．故選AC.2．新型冠狀病毒疫情發(fā)生后，口罩的需求量大增，某口罩工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出兩種新的生產(chǎn)方式，為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取80名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組40人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．第一種生產(chǎn)方式40名工人完成同一生產(chǎn)任務(wù)所用時間(單位：min)如表：68728577838290838984888776917990879186928887817695946387857196637485929987827569第二種生產(chǎn)方式40名工人完成同一生產(chǎn)任務(wù)所用時間(單位：min)如扇形圖所示：(1)請?zhí)顚懙谝环N生產(chǎn)方式完成任務(wù)所用時間的頻數(shù)分布表，并作出頻率分布直方圖；生產(chǎn)時間[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)(2)試從扇形圖中估計(jì)第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖和扇形圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高，并說明理由．解(1)第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)所用時間的頻數(shù)分布表如下：生產(chǎn)時間[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻數(shù)481810頻率分布直方圖如下：(2)從扇形圖中估計(jì)第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為65×0.25＋75×0.5＋85×0.2＋95×0.05＝75.5min.(3)從頻率分布直方圖中估計(jì)第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為65×0.1＋75×0.2＋85×0.45＋95×0.25＝83.5min，從平均數(shù)的角度發(fā)現(xiàn)：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需要的時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高．多角度探究突破考向二用樣本估計(jì)總體角度總體百分位數(shù)的估計(jì)例4(1)一組數(shù)據(jù)為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，則這組數(shù)據(jù)的一個四分位數(shù)是()A．15 B．25C．50 D．75答案A解析由小到大排列的結(jié)果：6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11項(xiàng)，由11×25%＝2.75,11×50%＝5.5,11×75%＝8.25，故第25百分位數(shù)是15，第50百分位數(shù)是40，第75百分位數(shù)是43.故選A.(2)如圖是將高三某班80名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績(成績均為整數(shù))整理后畫出的頻率分布直方圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)是________.(結(jié)果保留兩位小數(shù))答案124.44解析由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在120分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分?jǐn)?shù)在130分以下的學(xué)生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數(shù)一定位于[120,130)內(nèi)．由120＋eq\f(0.80－0.70,0.925－0.70)×10≈124.44，故此班的模擬考試成績的80%分位數(shù)約為124.44.角度分層隨機(jī)抽樣的均值與方差例5(2022·廣東珠海模擬)某學(xué)校在上報(bào)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》高三年級學(xué)生的肺活量單項(xiàng)數(shù)據(jù)中，采用樣本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法．如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生20人，其肺活量平均數(shù)為3000mL，方差為10；抽取了女生30人，其肺活量平均數(shù)為2500mL，方差為20，則可估計(jì)高三年級全體學(xué)生肺活量的平均數(shù)為________，方差為________.答案270060280解析把男生樣本記為x1，x2，…，x20，其平均數(shù)記為eq\o(x,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,x)；把女生樣本記為y1，y2，…，y30，其平均數(shù)記為eq\o(y,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,y)；把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為eq\o(z,\s\up6(－))，方差記為s2.由eq\o(x,\s\up6(－))＝3000，eq\o(y,\s\up6(－))＝2500，根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(20,20＋30)eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\f(30,20＋30)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(2,5)×3000＋eq\f(3,5)×2500＝2700.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－))＋eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up6(－))＋eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]．由eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＝eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))xi－20eq\o(x,\s\up6(－))＝0，可得eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))2(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))＝2(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))·eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))＝0.同理可得eq\o(∑,\s\up6(30),\s\do4(j＝1))2(yj－eq\o(y,\s\up6(－)))(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))＝0.因此s2＝eq\f(1,50)[eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(20),\s\do4(i＝1))(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(30),\s\do4(j＝1))(yj－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋eq\o(∑,\s\up6(30),\s\do4(j＝1))(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,50){20[seq\o\al(2,x)＋(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]＋30[seq\o\al(2,y)＋(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(z,\s\up6(－)))2]}＝eq\f(1,50){20[102＋(3000－2700)2]＋30[202＋(2500－2700)2]}＝60280.據(jù)此可估計(jì)高三年級全體學(xué)生肺活量的平均數(shù)為2700，方差為60280.角度均值方差的應(yīng)用例6(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.9新設(shè)備10.110.410.110.010.1舊設(shè)備9.810.010.110.29.7新設(shè)備10.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．解(1)由表中的數(shù)據(jù)可得：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7,10)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.8－10)2＋(10.3－10)2＋(10.0－10)2＋(10.2－10)2＋(9.9－10)2＋(9.8－10)2＋(10.0－10)2＋(10.1－10)2＋(10.2－10)2＋(9.7－10)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.1－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.0－10.3)2＋(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋(10.6－10.3)2＋(10.5－10.3)2＋(10.4－10.3)2＋(10.5－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中的數(shù)據(jù)可得eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝10.3－10＝0.3，2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝2eq\r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq\r(0.0076)＝eq\r(0.0304)，因?yàn)?.3＝eq\r(0.09)>eq\r(0.0304)，所以eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))>2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10)).所以可以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高．1．頻率分布直方圖中第p百分位數(shù)的計(jì)算(1)確定百分位數(shù)所在的區(qū)間[a，b]．(2)確定小于a和小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比分別為fa%，fb%，則第p百分位數(shù)為a＋eq\f(p%－fa%,fb%－fa%)×(b－a)．2．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大?。?2)方差的簡化計(jì)算公式：s2＝eq\f(1,n)[(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－neq\o(x,\s\up6(－))2]，或?qū)懗蓅2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2，即方差等于原始數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方．3.有13位同學(xué)參加學(xué)校組織的才藝表演比賽，已知他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同，共設(shè)7個獲獎名額，某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個量，它是________(填“眾數(shù)”“中位數(shù)”或“平均數(shù)”)．答案中位數(shù)解析因?yàn)?位獲獎?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是13名參賽選手中最高的，所以把13個不同的分?jǐn)?shù)按從小到大排序，只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎了．4．某學(xué)校共有學(xué)生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，學(xué)校對學(xué)生在暑假期間每天的讀書時間做了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全體學(xué)生每天的讀書時間的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝3小時，方差為s2＝1.966，其中三個年級學(xué)生每天讀書時間的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1＝2.7，eq\o(x,\s\up6(－))2＝3.1，eq\o(x,\s\up6(－))3＝3.3，又已知高一學(xué)生、高二學(xué)生每天讀書時間的方差分別為seq\o\al(2,1)＝1，seq\o\al(2,2)＝2，則高三學(xué)生每天讀書時間的方差seq\o\al(2,3)＝________.答案3解析由題意可得，1.966＝eq\f(800,2000)×[1＋(2.7－3)2]＋eq\f(600,2000)×[2＋(3.1－3)2]＋eq\f(600,2000)×[seq\o\al(2,3)＋(3.3－3)2]，解得seq\o\al(2,3)＝3.5．(2021·天津河西區(qū)期末)某校為了解全校高中學(xué)生五一假期參加實(shí)踐活動的情況，抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動的時間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示．(1)求這100名學(xué)生中參加實(shí)踐活動時間在6～10小時的人數(shù)；(2)估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動時間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．解(1)100×[1－(0.04＋0.12＋0.05)×2]＝58，即這100名學(xué)生中參加實(shí)踐活動時間在6～10小時的人數(shù)為58.(2)由頻率分布直方圖可以看出，最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7，故這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動時間的眾數(shù)的估計(jì)值為7小時．(0.04＋0.12)×2＝0.32；(0.04＋0.12＋0.15)×2＝0.62，中位數(shù)t滿足6<t<8.由0.32＋(t－6)×0.15＝0.5，得t＝7.2，即這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動時間的中位數(shù)的估計(jì)值為7.2小時．由(0.04＋0.12＋0.15＋a＋0.05)×2＝1，解得a＝0.14.這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動時間的平均數(shù)的估計(jì)值為0.04×2×3＋0.12×2×5＋0.15×2×7＋0.14×2×9＋0.05×2×11＝7.16(小時)．一、單項(xiàng)選擇題1．(2021·廣東深圳模擬)已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均數(shù)是5，方差是9，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝()A．159 B．204C．231 D．636答案B解析根據(jù)題意，數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5，x6中平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝5，方差s2＝9，則s2＝eq\f(1,6)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6))－eq\o(x,\s\up6(－))2＝9，變形可得xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)＋xeq\o\al(2,5)＋xeq\o\al(2,6)＝204，故選B.2．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))A和eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sB B．eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA>sBC.eq\o(x,\s\up6(－))A>eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB D．eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，sA<sB答案B解析由圖可得樣本A的數(shù)據(jù)都在10及以下，樣本B的數(shù)據(jù)都在10及以上，所以eq\o(x,\s\up6(－))A<eq\o(x,\s\up6(－))B，樣本B的數(shù)據(jù)比樣本A的數(shù)據(jù)波動幅度小，所以sA>sB.故選B.3．在高一期中考試中，甲、乙兩個班的數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如下表：班級人數(shù)平均數(shù)方差甲20eq\o(x,\s\up6(－))甲2乙30eq\o(x,\s\up6(－))乙3其中eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為()A．3 B．2C．2.6 D．2.5答案C解析由題意可知兩個班的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，則兩個班數(shù)學(xué)成績的方差為s2＝eq\f(20,20＋30)×[2＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋eq\f(30,20＋30)[3＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(20,20＋30)×2＋eq\f(30,20＋30)×3＝2.6.4．如圖給出的是某小區(qū)居民一段時間內(nèi)訪問網(wǎng)站的比例圖，則下列選項(xiàng)中不超過21%的為()A．騰訊與百度的訪問量所占比例之和B．網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例之和C．淘寶與論壇的訪問量所占比例之和D．新浪與小說的訪問量所占比例之和答案B解析由于網(wǎng)易與搜狗的訪問量所占比例之和為18%，不超過21%.故選B.5．(2021·全國甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C解析由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，故C錯誤；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正確．故選C.6．恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度越高．統(tǒng)計(jì)改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了如圖的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()A．城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭B．隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高C．1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%D．隨著城鄉(xiāng)一體化進(jìn)程的推進(jìn)，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越小答案C解析由折線圖可知，對于A，因?yàn)槌擎?zhèn)的恩格爾系數(shù)較小，故城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民，A正確；對于B，城鎮(zhèn)和農(nóng)村的恩格爾系數(shù)整體上都在下降，說明城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高，B正確；對于C,1996～2000年我國農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)不低于50%，C錯誤；對于D，結(jié)合圖形得到城鎮(zhèn)和農(nóng)村家庭恩格爾系數(shù)之間的差距越來越小，說明城鎮(zhèn)和農(nóng)村家庭生活富裕程度差別越來越小，D正確．故選C.7．某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D．平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案D解析由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0℃以上，A正確；七月的平均溫差約為10℃，而一月的平均溫差約為5℃，故B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10℃左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20℃的月份為六月、七月、八月，只有3個，D錯誤．8．某調(diào)查機(jī)構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布扇形圖和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不一定正確的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980～1989年之間出生，80前指1979年及以前出生．A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多答案D解析由題圖易知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員90后占56%，A正確；僅90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×39.6%＝22.176%，超過20%，B正確；90后從事運(yùn)營崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%×17%＝9.52%>3%，C正確；90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的22.176%<41%，而題中未給出80后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布情況，故D不一定正確．二、多項(xiàng)選擇題9．(2021·新高考Ⅱ卷)下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案AC解析由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢．故選AC.10．(2021·衡水中學(xué)模擬)某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)，各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對5個險(xiǎn)種參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下的統(tǒng)計(jì)圖例：用該樣本估計(jì)總體，以下四個說法正確的是()A．54周歲及以上人群參保人數(shù)最少B．18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用最少C．丁險(xiǎn)種更受參保人青睞D．30周歲及以上的人群約占參保人群的20%答案AC解析對于A，由扇形圖可知，54周歲及以上人群參保人數(shù)最少，故A正確；對于B，由折線圖可知，18～29周歲人群人均參保費(fèi)用略低于4000，這類人占參保人群的20%，而54周歲及以上人群人均參保費(fèi)用約為6000，這類人僅占參保人群的8%，易知18～29周歲人群參?？傎M(fèi)用不是最少的，故B錯誤；對于C，由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故C正確；對于D，由扇形圖可知，30周歲及以上的人群約占參保人群的80%，故D錯誤．故選AC.11．為了了解某校九年級1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是()A．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25次B．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5次C．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約為320D．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約為32答案ABC解析由題圖可知眾數(shù)是27.5次，第一組數(shù)據(jù)的頻率為0.02×5＝0.1，第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.06×5＝0.3，第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.08×5＝0.4，所以中位數(shù)在第三組，設(shè)中位數(shù)為x，則由0.1＋0.3＋(x－25)×0.08＝0.5，解得x＝26.25，故中位數(shù)是26.25次，1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的頻率為0.2，所以估計(jì)該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的人數(shù)約為320；1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的頻率為0.1，所以該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約為160.故A，B，C正確，D錯誤．故選ABC.12．在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，我國有關(guān)機(jī)構(gòu)規(guī)定：“該事件在一段時間沒有發(fā)生規(guī)模群體感染的標(biāo)志為連續(xù)10天，每天新增加疑似病例不超過7人”．根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，不一定符合該標(biāo)志的是()A．甲地總體均值為3，中位數(shù)為4B．乙地總體均值為2，總體方差大于0C．丙地中位數(shù)為3，眾數(shù)為3D．丁地總體均值為2，總體方差為3答案ABC解析平均數(shù)和中位數(shù)不能確定某一天的病例不超過7人，A不一定符合該標(biāo)志；當(dāng)總體方差大于0時，不知道總體方差的具體數(shù)值，因此不能確定數(shù)據(jù)的波動大小，B不一定符合該標(biāo)志；中位數(shù)和眾數(shù)也不能確定某一天的病例不超過7人，C不一定符合該標(biāo)志；當(dāng)總體均值為2時，若有一個數(shù)據(jù)超過7，則方差就超過3，D一定符合該標(biāo)志．故選ABC.三、填空題13．為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機(jī)抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量．產(chǎn)品數(shù)量的分組區(qū)間為[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]，由此得到的頻率分布直方圖如圖．則產(chǎn)品數(shù)量位于[55,65)范圍內(nèi)的頻率為________；這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)是________.答案0.413解析由直方圖可知，產(chǎn)品數(shù)量在[55,65)的頻率為1－(0.005＋0.010＋0.020＋0.025)×10＝0.4，這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55,75)的人數(shù)為20×(0.040＋0.025)×10＝13.14．已知30個數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是8.2，這30個數(shù)據(jù)從小到大排列后第18個數(shù)據(jù)是7.8，則第19個數(shù)據(jù)是________.答案8.6解析由30×60%＝18，設(shè)第19個數(shù)據(jù)為x，則eq\f(7.8＋x,2)＝8.2，解得x＝8.6，即第19個數(shù)據(jù)是8.6.15．從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中各抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命(單位：年)跟蹤調(diào)查結(jié)果如下：甲：3,4,5,6,8,8,8,10；乙：4,6,6,6,8,9,12,13；丙：3,3,4,7,9,10,11,12.三個廠家在廣告中都稱該產(chǎn)品的使用壽命是8年，請根據(jù)結(jié)果判斷廠家在廣告中分別運(yùn)用了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)中的哪一種集中趨勢的特征數(shù)：甲________，乙________，丙________.答案眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)解析甲、乙、丙三個廠家從不同角度描述了一組數(shù)據(jù)的特征，甲：該組數(shù)據(jù)8出現(xiàn)的次數(shù)最多；乙：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4＋6×3＋8＋9＋12＋13,8)＝8；丙：該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是eq\f(7＋9,2)＝8.16．甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)體重的平均數(shù)為60kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為________，方差為________.答案68kg296解析由題意可知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝60，甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為w甲＝eq\f(1,1＋4)＝eq\f(1,5)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝70，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為w乙＝eq\f(4,1＋4)＝eq\f(4,5)，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為eq\o(x,\s\up6(－))＝w甲eq\o(x,\s\up6(－))甲＋w乙eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,5)×60＋eq\f(4,5)×70＝68(kg)，甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為s2＝w甲[seq\o\al(2,甲)＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋w乙[seq\o\al(2,乙)＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,5)×[200＋(60－68)2]＋eq\f(4,5)×[300＋(70－68)2]＝296.四、解答題17．(2019·全國Ⅲ卷)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.18．某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價(jià)，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按0.5元/千瓦時收費(fèi)，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按0.8元/千瓦時收費(fèi)，超過400千瓦時的部分按1.0元/千瓦時收費(fèi)．(1)求某戶居民用電費(fèi)用y(單位：元)關(guān)于月用電量x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式；(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計(jì)分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖．若這100戶居民中，今年1月份用電費(fèi)用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計(jì)算用電量的75%分位數(shù)．解(1)當(dāng)0≤x≤200時，y＝0.5x；當(dāng)200<x≤400時，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；當(dāng)x>400時，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.所以y與x之間的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，0≤x≤200，,0.8x－60，200<x≤400，,x－140，x>400.))(2)由(1)可知，當(dāng)y＝260時，x＝400，即用電量低于400千瓦時的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.0010×100＋2×100b＋0.0030×100＝0.8，,100a＋0.0005×100＝0.2，))解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)設(shè)75%分位數(shù)為m，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時的所占比例為(0.0010＋0.0020＋0.0030)×100＝60%，用電量低于400千瓦時的占80%，所以75%分位數(shù)m在[300,400)內(nèi)，所以0.6＋(m－300)×0.0020＝0.75，解得m＝375，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時．19．我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理(即確定一個居民月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，用水量不超過a的部分按照平價(jià)收費(fèi)，超過a的部分按照議價(jià)收費(fèi))．為了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量(單位：t)，制作了頻率分布直方圖．(1)由于某種原因頻率分布直方圖部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，請?jiān)趫D中將其補(bǔ)充完整；(2)用樣本估計(jì)總體，如果希望80%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，則月均用水量的最低標(biāo)準(zhǔn)定為多少噸？并說明理由；(3)從頻率分布直方圖中估計(jì)該100位居民月均用水量的平均數(shù)．(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表)解(1)(2)月